Jacobi-Matrix

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit Jacobi-Matrizen in der Analysis; zu Jacobi-Matrizen in der Operatortheorie siehe Jacobi-Operator.

Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion ist die -Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion bezüglich der Standardbasen des und des . Sie wird mit , , oder bezeichnet.

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Funktion, deren partielle Ableitungen alle existieren, mit den Komponentenfunktionen . Außerdem werden mit die Koordinaten im Urbildraum bezeichnet. Für ist die Jacobi-Matrix im Punkt dann durch

,

beziehungsweise ausführlich durch

definiert.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen von .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion sei gegeben durch

Dann ist

und damit die Jacobi-Matrix

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist die Funktion total differenzierbar, so ist die Jacobi-Matrix eine Koordinatendarstellung der Ableitung von .
  • Für entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von . Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.
  • Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für einen Punkt ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von in der Nähe von verwendet werden:

    Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

Determinante der Jacobi-Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Jacobi-Determinante

Sei , es wird also eine differenzierbare Funktion betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix am Punkt eine quadratische -Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt ungleich null, so ist die Funktion in einer Umgebung von invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist , so kann man natürlich keine Determinante der -Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neben Funktionen kann man auch Funktionen auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine -Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die -Jacobi-Matrix am Punkt ist durch

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen , sodass gilt. Die Funktionen und kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien die Koordinaten in und setze für alle . Die -Jacobi-Matrix der holomorphen Funktion am Punkt ist dann definiert durch

.

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen , so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]