Fréchet-Ableitung

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Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im auf normierte Räume. Bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen ergibt sich aus diesem Differenzierbarkeitsbegriff der übliche Begriff der totalen Differenzierbarkeit.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung der drei Abbildungen

Es seien und zwei normierte Räume und eine offene Teilmenge. Ein Operator heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle , wenn es einen beschränkten linearen Operator derart gibt, dass

gilt. Der Operator heißt Fréchet-Ableitung von an der Stelle . Existiert die Fréchet-Ableitung für alle , dann heißt die Abbildung mit die Fréchet-Ableitung von auf . Mit wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von nach bezeichnet.

Äquivalente Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine äquivalente Definition ist:

Zu jedem gibt es ein so, dass

für alle mit . Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:

für .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für endlichdimensionale normierte Räume sind alle linearen Operatoren Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist die Ableitung der lineare Operator selbst: für alle .

Im unendlichdimensionalen Fall sind unter den linearen Operatoren genau die beschränkten (=stetigen) Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

Reellwertige Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge definiert ist, und besitzt stetige partielle Ableitungen, dann ist auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle wird durch den üblichen Gradienten von gegeben gemäß:

Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im . Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

Integraloperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei , stetig und stetig und im zweiten Argument stetig differenzierbar. Der nichtlineare Integraloperator definiert durch

ist fréchet-differenzierbar. Seine Ableitung lautet

Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt nämlich

mit und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von auf gilt

für . Für gilt also

was die Darstellung der Ableitung beweist.

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die totale Ableitung im auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Folgende Gleichungen gelten, sofern sie im Sinne obiger Definition sinnvoll sind, insbesondere also die vorkommenden Abbildungen an den entsprechenden Stellen differenzierbar sind:

  • .
  • Kettenregel: . Das Produkt ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.
  • Ist ein stetiger, linearer Operator, so ist A überall differenzierbar und es gilt . Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich daraus die Folgerung, dass man stetige, lineare Operatoren aus der Ableitung herausziehen darf: und .
  • Produktregel: Ist eine stetige, n-fach lineare Abbildung, so ist

Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei an der Stelle Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung das Gâteaux-Differential und es gilt:

.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von an der Stelle , die im Folgenden mit bezeichnet wird, und es gilt:

.

Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht. Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:

Falls in einer Umgebung von Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt das Gâteaux-Differential in jedem Punkt der Umgebung stetig und linear ist, und die Abbildung

gegeben durch

im Punkt stetig ist bezüglich der Operatornorm auf , so ist im Punkt Fréchet-differenzierbar.

Diese Bedingung ist nicht notwendig. Etwa existieren schon im Eindimensionalen total differenzierbare Funktionen, die nicht stetig differenzierbar sind.

Anwendungsbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fréchet-Ableitung kann z. B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:

Es sei ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf durch eine Quelle im Punkt gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion in die Laplace-Gleichung:

und die Dirichlet Randbedingung:

Mit bezeichnen wir die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt beschreibt.

Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet aus, welches enthält. Auf dem Rand von messen wir die Werte der Lösung des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur . Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand von aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.

Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator beschreiben, der den unbekannten Rand auf die bekannte Spur abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:

Diese Gleichung kann z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:

Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion . Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:

Hierbei bezeichnet die Fréchet-Ableitung des Operators (Die Existenz der Fréchet-Ableitung für kann gezeigt werden und kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden!). Diese Gleichung wird dann nach aufgelöst, wobei wir mit eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rainer Kress: Linear Integral Equations. Second Edition. Springer 1998, ISBN 0-387-98700-2
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. Teubner, Stuttgart – Leipzig, ISBN 3-519-42232-8