Benutzer:Filomusa/Labor Frobenius 1877

Zum Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)

Ergänzung des elementaren Beweises nach Pontrjagin, Topologische Gruppen, Teil 1 bzw. seiner Arbeit Über stetige algebraische Körper (1932).

Wahrscheinlich gibt Pontrjagin hier den Beweis von Leonard Dickson wieder, auf den er am Ende seines Artikels Über stetige algebraische Körper verweist und der sich in Leonard Dicksons Buch Algebren und ihre Zahlentheorie (deutsche Ausgabe, Seite 46, Satz V) befinden soll, siehe Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Ueber stetige algebraische Körper (= Annals of Mathematics, II. Series. Vol. 33, No. 1). Januar 1932. 

Frobenius gab also 1877 eine Klassifikation endlichdimension aller reeller Divisionsalgebren.

Im Jahre 1881 gab Charles Sanders Peirce einen Beweis, der – leicht verallgemeinernd – die Klassifikation aller solcher reellen Divisionsalgebren $\mathbb {D}$ liefert, deren sämtliche kommutative Zwischenkörper $\mathbb {R} (a)$ für jedes Element $a\in \mathbb {D}$ algebraisch oder (äquivalent) endlichdimensional über $\mathbb {R}$ sind. Der Fundamentalsatz der Algebra zeigt, dass es dabei in Wahrheit nur um höchstens quadratische Erweiterungen geht.

Der Satz von Gelfand-Tornheim bzw. der Satz von Gelfand-Mazur besagen, dass sich die Klassifikation reeller normierter Divisionsalgebren auf die Klassifikation nach Charles S. Peirce zurückführen lässt und dieselben Archetypen $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H}$ identifiziert.

Elementarer Beweis nach Charles Sanders Peirce (1881)

Im Jahre 1881 veröffentlichte Charles Sanders Peirce eine elementaren Beweis für die folgende Aussage, die etwas schwächere Voraussetzungen hat als der Satz von Frobenius:

Es sei $\mathbb {D}$ eine reelle Divisionsalgebra, in der jedes Element reell algebraisch (das heißt, Nullstelle eines reellen Polynoms) ist. Dann ist $\mathbb {D} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}$.

Beweis: Jedes Element $a\in \mathbb {D}$ Nullstelle seines Minimalpolynoms $\mu _{a}(X)\in \mathbb {R} [X]$, und $\mathbb {R} [a]\simeq \mathbb {R} [X]/(\mu _{a}(X))$ ein (kommutativer) Teilkörper der Divisionsalgebra $\mathbb {D}$ und endlicher Erweiterungskörper von $\mathbb {R}$ ist . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat $\mu _{a}$ als irreduzibles Polynome den Grad $\deg \mu _{a}(X)\leq 2$. Also genügt es, den folgenden Satz zu beweisen:

Es sei $\mathbb {D}$ eine reelle Divisionsalgebra, in der jedes Element höchstens quadratischen Grad über $\mathbb {R}$ hat. (Das heißt: Jedes Element $a\in \mathbb {D}$ ist Nullstelle eines quadratischen oder linearen reellen Polynoms, genügt also einer quadratischen oder linearen Gleichung.) Dann ist $\mathbb {D} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}$.

Beweis: Für das Folgende wird die Einbettung $\mathbb {R} \hookrightarrow \mathbb {D} ,x\mapsto x\cdot 1_{\mathbb {D} }$ als vollzogen angenommen, das heißt, $\mathbb {R}$ wird als reeller Unterraum der reellen Divisionsalgebra betrachtet: $\mathbb {R} \subset \mathbb {D}$.

Die Beweisidee orientiert sich an Eigenschaften des Hamiltonschen Quaternionenschiefkörpers $\mathbb {H}$ (siehe Epilog) und seiner direkten Zerlegung in einen reellen und den imaginären Anteil: $\mathbb {H} =\mathbb {R} \oplus \mathbb {I}$ mit $\mathbb {R} =\{a\in \mathbb {H} \mid a^{2}\geq 0\}$ und $\mathbb {I} =\{a\in \mathbb {H} \mid a^{2}\leq 0\}=\mathbb {R} \,\mathrm {i} \oplus \mathbb {R} \,\mathrm {j} \oplus \mathbb {R} \,\mathrm {k}$ mit einem Tripel $(\mathrm {i,j,k} )$ Hamiltonscher Quaternioneneinheiten mit $-1=\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i\,j\,k}$, welche die multiplikative Struktur festlegen. Mit den Voraussetzungen des Satzes gelingt die Zerlegung anhand der Fallunterscheidung gemäß dem Diskriminantenkriterium aus der Mitternachtsformel: Für ein $a\in \mathbb {D} \backslash \mathbb {R}$ ist das Minimalpolynom quadratisch $\mu _{a}(X)=X^{2}+p_{a}X+q_{a}$ und die quadratische Ergänzung liefert $\textstyle \mu _{a}(X)=\left(X-{\frac {-p_{a}}{2}}\right)^{2}-\underbrace {\left(\left({\frac {p_{a}}{2}}\right)^{2}-q_{a}\right)} _{=:\Delta _{a}}$. Für ein $a\in \mathbb {R} \subset \mathbb {D}$ betrachte (anstelle seines linearen Minimalpolynoms $X-a$) das quadratische Polynom $X^{2}+p_{a}X+q_{a}:=(X-a)(X-a)=X^{2}-2aX+a^{2}$. Nur für reelles $a$ ist die Diskriminante $\textstyle \Delta _{a}=\left(\left({\frac {p_{a}}{2}}\right)^{2}-q_{a}\right)=a^{2}-a^{2}=0$, andernfalls ist sie negativ. So erhält man stets eine Zerlegung $a=\mathbf {s} (a)+\mathbf {v} (a)$ mit $\textstyle \mathbf {v} (a)=a-{\frac {-p_{a}}{2}}\in \mathbb {J} :=\{b\in \mathbb {D} \mid b^{2}\leq 0\}$ und $\textstyle \mathbf {s} (a)={\frac {-p_{a}}{2}}\in \mathbb {R}$. Unter den Voraussetzungen des Satzes bleibt zu zeigen, dass es eine eindeutige Zerlegung in reelle Unterräume ist und dass $\dim \mathbb {J} \in \{0,1,3\}$. Der Beweis legt die Struktur von $\mathbb {D}$ offen.

C. S. Peirce' Beweisschritte sind daher:

no.	Aussage des Beweisschrittes	Im Originalbeweis: Step no.
1	Jedes Element $a\in \mathbb {D}$ besitzt eine eindeutige Darstellung als Summe $a=\mathbf {s} (a)+\mathbf {v} (a)$ mit $\mathbf {s} (a)\in \mathbb {R} \subset \mathbb {D}$ und $\mathbf {v} (a)\in \mathbb {J} :=\{a\in \mathbb {D} \mid 0\geq a^{2}\in \mathbb {R} \}$. Dabei ist $\mathbb {R} \cap \mathbb {J} =\emptyset$. Die Abbildungen $s\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ und $v\colon \mathbb {D} \to \mathbb {J}$ sind somit wohldefiniert, und dabei gilt: $a\in \mathbb {J} \Leftrightarrow \mathbf {s} (a)=0\Leftrightarrow \mathbf {v} (a)=a$.	Step 5: $\mathbf {s} \colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$, $\mathbf {v} \colon \mathbb {D} \to \mathbb {J}$ sind wohldefiniert durch die definierende Gleichung $a=\mathbf {s} (a)+\mathbf {v} (a)\quad \forall a\in \mathbb {D}$.
2	$\mathbb {J}$ ist ein reeller Unterraum der Divisionsalgebra $\mathbb {D}$ aufgefasst als Vektorraum über $\mathbb {R}$. Die Divisionsalgebra besitzt also – aufgefasst als reeller Vektorraum – die Zerlegung $\mathbb {D} =\mathbb {R} \oplus \mathbb {J}$ in reelle Unterräume. Es bestehen also die spaltenden exakten Sequenzen $0\longrightarrow \mathbb {J} \longrightarrow \mathbb {D} {\stackrel {s}{\;\longrightarrow \;}}\mathbb {R} \longrightarrow 0$ und $0\longleftarrow \mathbb {J} {\stackrel {v}{\;\longleftarrow \;}}\mathbb {D} \longleftarrow \mathbb {R} \longleftarrow 0$. Dabei sind $s\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ und $v\colon \mathbb {D} \to \mathbb {J}$ die beiden reell linearen Projektionen.	In drei Steps: Step 6: $a,b\in \mathbb {J}$ linear unabhängig $\Rightarrow a,b,\mathbf {v} (ab)$ linear unabhängig. Dies kann dann nicht wie oben in Folgerung 8 begründet werden, da an dieser Stelle die Linearität von $s,v$ bzw. von $\mathbb {J} =\{b\in \mathbb {D} \mid b^{2}\leq 0\}$, mithin die direkte Summe $\mathbb {D} =\mathbb {R} \oplus \mathbb {J}$ nicht bewiesen ist. Step 7: $a,b\in \mathbb {J} \Rightarrow \exists r\in \mathbb {R} :ba=r\cdot {\overline {ab}}$. Step 8: $a,b\in \mathbb {J} \Rightarrow {\overline {ab}}=ba$, also in Step 7 ist stets $r=1$. Im selben Schritt folgt zugleich, dass $\mathbb {J}$ ein reeller Unterraum ist, weil $\mathbf {s} (r_{1}a+r_{2}b)$ für reelle Koeffizienten $r_{i}$ (in dortigen Bezeichnungen das „$x$“) verschwinden muss. Hier also folgt $\mathbb {D} =\mathbb {R} \oplus \mathbb {J}$ (was bei Peirce nicht extra erwähnt ist).
3	Dabei gilt: $\dim \mathbb {J} \quad {\begin{cases}=0&\Rightarrow \mathbb {D} =\mathbb {R} {\text{.}}\\=1&\Rightarrow \mathbb {D} =\mathbb {C} {\text{.}}\\>1&\Rightarrow \mathbb {D} =\mathbb {H} {\text{.}}\end{cases}}$	Step 9: Es gilt: $2\neq \dim \mathbb {J} \leq 3$. Also folgen die drei Fälle $\mathbb {D} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}$.

Zum 1. Beweisschritt (Step 5): Klar ist $\mathbb {R} \cap \mathbb {J} =\{0\}$. Zur Zerlegung eines $a\in \mathbb {D}$ betrachte sein Minimalpolynom $\textstyle \mu _{a}(X)$. Es ist dann und nur dann linear $X-x$, wenn $a=x\in \mathbb {R}$; die gesuchte Zerlegung ist dann $s=a,v=0$. Andernfalls ist das Minimalpolynom quadratisch $\textstyle \mu _{a}(X)=:X^{2}+pX+q=\left(X-{\frac {-p}{2}}\right)^{2}+\left[q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\right]$. Da $\mu _{a}(X)$ reell irreduzibel ist (d. h, keine reellen Nullstellen besitzt), gilt $\textstyle \left(a-{\frac {-p}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q<0$, also liegt $\textstyle v:=a-{\frac {-p}{2}}\in \mathbb {J}$, und mit $\textstyle s:={\frac {-p}{2}}$ ist die Zerlegung gefunden.

Ist $a=s'+v'=s+v$ eine zweite Zerlegung, so folgt $v^{2}=(v'+(s'-s))^{2}=(v')^{2}+2v'(s'-s)+(s'-s)^{2}$. Es muss daher $v'(s'-s)=0$ gelten, woraus die Eindeutigkeit folgt.

Es seien also für jedes $a\in {\mathit {D}}$ die reellen („skalaren“) und (rein) imaginären („vektoriellen“) Komponenten definiert durch $a=:\mathbf {s} (a)+\mathbf {v} (a)=:s_{a}+v_{a}$ mit $\mathbf {s} (a)\in \mathbb {R} \subset \mathbb {D}$ und $\mathbf {v} (a)\in \mathbb {J}$.

Zum 2. Beweissschritt:

• Step 6

Mit den obigen Bezeichnungen gilt für $x,y\in \mathbb {R}$ zunächst: $\mathbf {v} (ab)=xa+yb\Leftrightarrow ab=xa+yb-\mathbf {s} (ab)$.

Multiplikation mit $b$ von rechts liefert die äquivalente Gleichung:

${\begin{array}{rcl}ab^{2}=xab+yb^{2}-\mathbf {s} (ab\,)b&=&x\,[xa+yb-\mathbf {s} (ab)]+y\,b^{2}-\mathbf {s} (ab)\,b\\&=&x^{2}\,a+xy\,b-x\,\mathbf {s} (ab)+y\,b^{2}-\mathbf {s} (ab)\,b\\&=&x^{2}\,a+(xy-\mathbf {s} (ab))b-x\,\mathbf {s} (ab)+y\,b^{2}\end{array}}$

Durch Koeffizientenvergleich folgt $b^{2}=x^{2}\wedge xy=\mathbf {s} (ab)\wedge x\mathbf {s} (ab)=yb^{2}$. Schon die erste Gleichung erzwingt $\{x,b\}\in \mathbb {R} \cap \mathbb {J} =\{0\}$, wie gewünscht.

• Step 7

Zunächst ist $a^{2}\,b^{2}=ab^{2}a=ab\cdot ba=[\mathbf {s} (ab)+\mathbf {v} (ab)]\cdot [\mathbf {s} (ba)+\mathbf {v} (ba)]=\mathbf {s} (ab)\,\mathbf {s} (ba)+\mathbf {s} (ab)\,\mathbf {v} (ba)+\mathbf {s} (ba)\,\mathbf {v} (ab)+\mathbf {s} \left(\mathbf {v} (ab)\,\mathbf {v} (ba)\right)+\mathbf {v} \left(\mathbf {v} (ab)\,\mathbf {v} (ba)\right)$.

Also gilt $\mathbf {v} (\mathbf {v} (ab)\,\mathbf {v} (ba))=a^{2}\,b^{2}-[\mathbf {s} (ab)\,\mathbf {s} (ba)+\mathbf {s} (ab)\,\mathbf {v} (ba)+\mathbf {s} (ba)\,\mathbf {v} (ab)+\mathbf {s} (\mathbf {v} (ab)\,\mathbf {v} (ba))]$.

Sind $\mathbf {v} (ab),\mathbf {v} (ba)$ linear abhängig, so muss wegen $\mathbf {v} (ab)\in \mathbb {R} \mathbf {v} (ba)$ die linke Seite verschwinden; sind sie es nicht, so müssen nach Step 6 beide Seiten dieser Gleichung verschwinden. In jedem Falle gilt daher $\mathbf {s} (ba)\,\mathbf {v} (ab)=a^{2}\,b^{2}-[\mathbf {s} (ab)\,\mathbf {s} (ba)+\mathbf {s} (ab)\,\mathbf {v} (ba)+\mathbf {s} (\mathbf {v} (ab)\,\mathbf {v} (ba))]$.

Die Eindeutigkeit der Zerlegung (nach Step 5) liefert nun: $\mathbf {s} (ba)\,\mathbf {v} (ab)=-\mathbf {s} (ab)\,\mathbf {v} (ba)$ und damit die Behauptung für $r={\frac {\mathbf {s} (ba)}{\mathbf {s} (ab)}}$.

• Step 8

Es ist $[xa+yb-\mathbf {s} (xa+yb)]^{2}\in \mathbb {R} _{\leq 0}$ nach Definition der Abbildung $\mathbf {s}$ (Step 5). Zur Abkürzung setze $s=\mathbf {s} (xa+yb)$ und berechne den quadratischen Ausdruck zu $x^{2}a^{2}+y^{2}b^{2}+s^{2}-2sxa-2syb+xy(1-r)\mathbf {v} (ab)=C\in \mathbb {R} _{\leq 0}$, das heißt:

$xy(1-r)\mathbf {v} (ab)=C-[x^{2}a^{2}+y^{2}b^{2}+s^{2}]+2sxa+2syb$.

Gemäß Step 6 folgt entweder $\mathbf {v} (ab)=0$ oder $1-r=0$, wovon das erste ausscheidet, weil sonst $ab=\mathbf {s} (ab)$, das heißt $ab^{2}=\mathbf {s} (ab)b$ gölte – im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von $a,b$. Also ist $r=1$ und $\mathbf {s} (ab)=\mathbf {s} (ba)$.

Überdies folgt $\mathbf {s} (xa+yb)=s=0$, womit $\mathbb {J} {\stackrel {\text{per def.}}{=}}\{b\in \mathbb {D} \mid b^{2}\leq 0\}<\mathbb {D}$ als ein reeller Unterraum entlarvt ist. Damit ist $(a,b)\mapsto -\mathbf {s} (ab)$ eine symmetrische, positiv definite reelle Bilinearform, also ein euklidisches Skalarprodukt auf $\mathbb {J}$.

Unmittelbare Folgerungen aus Step 8:

• Beachte, dass für $a,b\in \mathbb {D}$ allgemein zunächst $ab=\mathbf {s} (a)\mathbf {s} (b)+\mathbf {s} (a)\mathbf {v} (b)+\mathbf {s} (b)\mathbf {v} (a)+\mathbf {s} (\mathbf {v} (a)\mathbf {v} (b))+\mathbf {v} (\mathbf {v} (a)\mathbf {v} (b))$. Also folgt ${\overline {ab}}={\overline {b}}{\overline {a}}$, sobald dies für $a=\mathbf {v} (a),b=\mathbf {v} (b)\in \mathbb {J}$ gezeigt ist, wobei ja trivialerweise ${\overline {b}}{\overline {a}}=(-b)(-a)=(-1)^{2}ba=ba$. Also zeigt Step 8, dass die Konjugation antihomomorph ist: ${\overline {ab}}={\overline {b}}\cdot {\overline {a}}\,\forall a,b\in \mathbb {D}$.
• Konjugation liefert Konjugation liefert konjugierte Nullstellen ...

Zum 3. und letzten Beweisschritt (Step 9): Nach Step 6 gibt zu zwei linear unabhängigen $a,b\in \mathbb {J}$ einen dritten, nämlich $\mathbf {v} (ab)$, so dass alle drei linear unabhängig sind. Werden sie jeweils (auf die Länge 1) normiert, will sagen $\mathrm {i} =:{\sqrt {\frac {-1}{a^{2}}}}\,a$, $\mathrm {j} =:{\sqrt {\frac {-1}{b^{2}}}}\,b$, $\mathrm {k} =:{\sqrt {\frac {-1}{(\mathbf {v} (ab))^{2}}}}\,\mathbf {v} (ab)$, so gilt $-1=\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i\,j\,k}$. Angenommen, es gäbe einen vierten linear unabhängiger Vektor $\mathrm {l}$, so ließe sich dieser zu diesen dreien orthonormalisieren, und es gölte dann: $-\mathrm {l} =\mathrm {l} \,\mathrm {ijk} =-\mathrm {iljk} =+\mathrm {ijlk} =-\mathrm {ijkl} =+\mathrm {l}$, im Widerspruch zur Annahme.

Folgerungen aus der direkten Zerlegung

Um den begrifflichen Hintergrund für die Rechnungen zum letzten Beweisschritt deutlicher hervortreten zu lassen, lohnt es sich, einige Folgerungen aus der Zerlegung zu ziehen, durch welche die multiplikative Struktur von $\mathbb {D}$ beleuchtet und $\mathbb {J}$ als ein euklidischer Vektorraum erkannt wird. Damit wird es möglich, Tripel Hamiltonscher Quaternionen mit Hilfe von Orthonormalbasen zu erzeugen und zu charakterisieren. Auch ein Zusammenhang zum Kreuzprodukt wird ersichtlich werden.

Die Eigenschaften, die für den Beweisfortgang benötigt werden, sind mit einem Sternchen „*“ gekennzeichnet.

Unmittelbare Folgerungen aus der Zerlegung $\mathbb {D} =\mathbb {R} \oplus \mathbb {J}$

no	Schlagwort	Erläuterung
1*	Erinnerung	Da in $\mathbb {R}$ (als einem angeordneten Körper) jedes Quadrat positiv ist, gilt – wie oben bereits festgestellt – die Implikation $a\in \mathbb {J} \Rightarrow \forall r\in \mathbb {R} :r\,a\in \mathbb {J}$, da ja $(ra)^{2}=r^{2}\,a^{2}\leq 0$.
2*	Normalisierung, imaginäre Einheiten	Da umgekehrt in $\mathbb {R}$ (als einem reell abgeschlossenen Körper) jede positive Zahl ein Quadrat ist, lässt sich jede imaginäre Größe $a\in \mathbb {J} \backslash \{0\}$ normalisieren, das heißt zu einer „Einheit“ skalieren: Ist nämlich $a^{2}=-r^{2}$ mit einem $r>0$, so ist $\textstyle {\frac {1}{r}}\,a\in \mathbb {J}$ mit $\textstyle ({\frac {1}{r}}\,a)^{2}=-1$. Jede imaginäre Einheit ist Nullstelle von $X^{2}+1$.
5*	Lineare Abhängigkeit modulo $\mathbb {R}$	Jede nicht verschwindende reelle Zahl $x\in \mathbb {R} \cdot 1_{\mathbb {D} },x\neq 0$ ist linear unabhängig von jedem nicht verschwindenden (rein) imaginären Element $v\in \mathbb {J} \simeq \mathbb {D} /\mathbb {R} ,\,v\neq 0$. Für eine Menge von Elementen $B\subset \mathbb {J}$ gilt also: $B$ ist genau dann reell linear unabhängig, wenn schon $\{1_{\mathbb {D} }\}\cup B$ reell linear unabhängig ist. Allgemeiner gilt sogar für eine Menge $B=\{b_{1},b_{2},\dots \}\subset \mathbb {D}$ von Elementen: $\mathbf {v} (B)=\{\mathbf {v} (b_{1}),\mathbf {v} (b_{2}),\dots \}$ ist genau dann reell linear unabhängig, wenn $\{1_{\mathbb {D} }\}\cup B$ reell linear unabhängig ist. Denn modulo $\mathbb {R} \cdot 1_{\mathbb {D} }$ spielen nur die imaginären Anteile von $B$ eine Rolle.
6*	Kriterium für Lineare Unabhängigkeit	Ist $B=\{a,b\}$ linear abhängig, so ist $ab\in \mathbb {R}$, das heißt $\mathbf {v} (ab)=0$ (oder äquivalent $\mathbf {s} (ab)=ab$). Kontraposition liefert: Gilt $\mathbf {v} (ab)\neq 0$ (oder äquivalent $a\,b\in \mathbb {D} \backslash \mathbb {R}$), so sind $a,b$ linear unabhängig. – Ist umgekehrt $\mathbf {v} (ab)=0$, das heißt $ab=s_{ab}\in \mathbb {R}$, so sind $a,b$ linear abhängig. Denn in diesem Falle ist $a=s_{ab}\,b^{-1}$, also verschwindet $\textstyle ax+b=a(x+s_{ab}\,a^{-2})$ für $\textstyle x:=-s_{ab}\,{\frac {1}{a^{2}}}\in \mathbb {R}$. Folglich ist $\mathbf {v} (ab)\neq 0$ ein Kriterium für die lineare Unabhängigkeit zweier Elemente $a,b\in \mathbb {J}$.
7	Basistransformationen durch Multiplikation	Die Linksmultiplikation $\lambda _{b}\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D} ,x\mapsto bx$ mit einem Element $b\in \mathbb {D} ,b\neq 0$ ist ein Isomorphismus auf $\mathbb {D}$ als einem reellen Vektorraum, transformiert also jede Basis in eine weitere Basis. Dasselbe gilt auch für die Rechtsmultiplikation $\rho _{b}\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D} ,x\mapsto xb$. Isomorphismen (und ihre Umkehrabbildungen) überführen linear unabhängige Mengen in linear unabhängige Mengen, insbesondere Basen in Basen.
8*	Lineare Unabhängigkeit von $a,b,\mathbf {v} (ab)$	Da für $a\in \mathbb {J}$ das Paar $\{1,a\}$ stets linear unabhängig ist, ist auch also $\{b,ab\}$ linear unabhängig für ein beliebiges $b\in \mathbb {D} ^{\times }$. Sind dabei $a,b\in \mathbb {J}$ linear unabhängig, so sind also äquivalent: $b,1$ linear unabhängig. $ab,a$ linear unabhängig, da das Bild nach Linksmultiplikation mit $a$. $1,ab,a$ linear unabhängig, denn $a,b$ sind linear unabhängig, also $ab\notin \mathbb {R}$, das heißt $\mathbf {v} (ab)\neq 0$. $b,ab^{2},ab$ linear unabhängig, das das Bild nach Rechtsmultiplikation mit $b$. $b,a,\mathbf {v} (ab)$ linear unabhängig, da der Faktor $b^{2}\in \mathbb {R}$ und die Komponente $\mathbf {s} (ab)$ eliminiert werden können. Also sind bei linear unabhängigen $a,b$ auch $a,b,\mathbf {v} (ab)$ voneinander linear unabhängig.
3	Konjugation, Involution	Die Abbildung ${\overline {\;\cdot \;}}\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D} ,\,a\mapsto {\overline {a}}:=\mathbf {s} (a)-\mathbf {v} (a)$ heißt Konjugation und hat die Ordnung $2$, das heißt: ${\overline {\overline {a}}}=a$. Die Fixpunktmenge unter der Konjugation ist $\mathbb {R} \subset \mathbb {D}$. Es ist stets $a\cdot {\overline {a}}=s_{a}^{2}-v_{a}^{2}\geq 0$. Die Konjugation ist ein Antiautomorphismus auf der reellen Algebra: ${\overline {ab}}={\overline {b}}{\overline {a}}$, denn wegen $ab=s_{a}s_{b}+s_{a}v_{b}+s_{b}v_{a}+v_{a}v_{b}$ genügt es, die Behauptung für $v_{a}=a\in \mathbb {J} ,v_{b}=b\in \mathbb {J}$ zu zeigen. Da oben $\mathbf {v} (ab)+\mathbf {v} (ba)=\mathbf {v} (ab+ba)=0$ gezeigt wurde, gilt tatsächlich $\mathbf {v} ({\overline {ab}})=-\mathbf {v} (ab)=\mathbf {v} (ba)=v\left((-b)(-a)\right)=\mathbf {v} ({\overline {b}}{\overline {a}})$. Ebenso gilt $\mathbf {s} ({\overline {ab}})=\mathbf {s} (ab)=s\left((-a)(-b)\right)=\mathbf {s} ({\overline {a}}{\overline {b}})$ Es bleibt jedoch $\mathbf {s} ({\overline {ab}})=\mathbf {s} ({\overline {b}}{\overline {a}})$ zu zeigen oder, was äquivalent sein muss, $(ab)({\overline {ab}})=(ab)({\overline {b}}{\overline {a}})$.
4	Kommutator	Für $a,b\in \mathbb {J}$ gilt also $\mathbf {v} (ab)=-\mathbf {v} (ba)$, und es gilt $\mathbf {s} (ab)=\mathbf {s} (ba)$ sogar für $a,b\in \mathbb {D}$. Denn … Mit anderen Worten gilt für Kommutator $[a,b]:=ab-ba=2\,\mathbf {v} (ab)$.
3a	konjugierte Nullstellen	Nullstellen irreduzibler reeller Polynome sind konjugiert (gemäß Emil Artins Überlegung).
3b	innere Automorphismen	Zeige $bab^{-1}{\stackrel {\text{?}}{\;=\;}}{\overline {a}}$. Hiermit wird der Verbindung zur Argumentation aus der klassischen Algebrentheorie deutlich.
9	Euklidisches Skalarprodukt	Die Abbildung $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {D} \times \mathbb {D} \to \mathbb {R} ,\,(a,b)\mapsto ab\mapsto -\mathbf {s} (ab)$ ist reell bilinear und nicht ausgeartet: Für ein $a\in \mathbb {D}$ betrachte nämlich $0=\langle a,b\rangle =-\mathbf {s} (ab)$ für je $b\in \{1,a\}$ und schließe daraus $a^{2}\in s^{-1}(0)\cap \mathbb {R} _{\leq 0}=\mathbb {J} \cap \mathbb {R} _{\leq 0}=\{0\}$. Hierbei fließt ein, dass es in $\mathbb {D}$ als einem Schiefkörper keine Nullteiler gibt. Zugleich wird klar, dass für jedes $a\in \mathbb {J} \backslash \{0\}$ stets $\mathbb {a} ^{\bot }\cap \mathbb {R} =\{0\}$, mithin $\mathbb {a} ^{\bot }\subset \mathbb {J}$; die Einschränkung $\langle \cdot ,\cdot \rangle {\big \vert }_{\mathbb {J} \times \mathbb {J} }$ ist also ebenfalls nicht ausgeartet. Zudem ist sie (nach Definition von $\mathbb {J}$) positiv semidefinit und symmetrisch da $\mathbf {s} (ab+ba)=\mathbf {s} (ab)+\mathbf {s} (ba)$. Dazu bleibt zu zeigen, dass $\mathbf {s} (ab)=\mathbf {s} (ba)$.
10	Orthogonalität	Für $a=s_{a}+v_{a}\in \mathbb {D}$ und $b=s_{b}+v_{b}\in \mathbb {D}$ gilt gemäß Zerlegung $a\,b=s_{a}\,s_{b}+v_{a}\,v_{b}+s_{a}\,v_{b}+s_{b}\,v_{a}$. Speziell für $a=v_{a},b=v_{b}\in \mathbb {J}$ gilt $\mathbf {s} (ab)+\mathbf {v} (ab)=ab=v_{a}\,v_{b}$, und mithin die Äquivalenz: $a\bot b\Leftrightarrow \mathbf {s} (ab)=0\Leftrightarrow \mathbf {v} (ab)=ab=v_{a}\,v_{b}\Leftrightarrow ab\in \mathbb {J}$.
11*	Orthogonalisierung	Peirce rechnet das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren am Beispiel des reellen Vektorraums $\mathbb {J}$ per pedes durch. Dabei legt er (implizit) das Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ zugrunde, so dass $a\bot b\Leftrightarrow \mathbf {s} (ab)=0\Leftrightarrow ab\in \mathbb {J}$. Es wird also gezeigt: Ist ein System $m$ linear unabhängiger Elemente $a_{1},\dots ,a_{m}\in \mathbb {J}$ gegeben, so können Sie (mit einer geeigneten regulären Matrix) zu einem Orthogonalsystem $b_{1},b_{2}\dots ,b_{m}\in \mathbb {J}$ transformiert werden, in dem je zwei Elemente zueinander orthogonal stehen. Der Beweis nimmt per Induktion an, dass dies für $b_{1},\dots ,b_{m-1}$ schon vollzogen sei. Ist $a_{m}b_{\mu }=s_{\mu }+v_{\mu }$ für $\mu =1,\dots ,m-1$, so ist $a_{m}\rightsquigarrow b_{m}:=a_{m}+\sum _{\nu =1}^{m-1}s_{\nu }b_{\nu }\neq 0$ die gesuchte Transformation, denn für $\mu =1,\dots ,m-1$ ist $b_{m}b_{\mu }=a_{m}b_{\mu }+\sum _{\nu =1}^{m-1}s_{\nu }b_{\nu }b_{\mu }=s_{\mu }+v_{\mu }+\underbrace {s_{\mu }\,(b_{\mu })^{2}} _{=-s_{\mu }}+\sum _{\nu =1 \atop \nu \neq \mu }^{m-1}s_{\nu }b_{\nu }b_{\mu }\in \mathbb {J}$ gemäß Voraussetzung, das heißt $b_{m}\bot b_{\nu }$, wie gewünscht. – Mit diesem Vorgehen und mit Hilfe von Folgerung 10 (Orthogonalität) zeigt Peirce für $m=2$, dass es dann sogar $m=3$ linear unabhängige Elemente gibt.. Ferner wird es benötigt, um den Fall $m=4$ zu einem Widerspruch zu führen.
12*	Orthonormalisierung	Sind also $m$ linear unabhängige Elemente aus $\mathbb {J}$ gegeben, so lassen sie sich in ein Orthogonalsystem aus Einheiten, das heißt in ein Orthonormalsystem, transformieren.
13	Orthonormalbasis	Nach Folgerung 2 (imaginäre Einheiten) und Folgerung 10 (Orthogonalität) ist eine Orthonormalbasis $B=\{\mathrm {i} _{\nu }\mid \nu =1,\dots ,m\}$ von $\mathbb {J}$ gekennzeichnet durch $\mathrm {i} _{\mu }^{2}=-1$ und $\mathrm {i} _{\mu }\,\mathrm {i} _{\nu }\in B$ für $1\leq \mu ,\nu \leq m,\,\mu \neq \nu$.
14	Betrag	Setzt man $\Vert a\Vert :={\sqrt {a\cdot {\overline {a}}}}$, so ist $\Vert \cdot \Vert \colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ ein Betrag. Wählt man nämlich in $\mathbb {J}$ eine Orthonormalbasis $(\mathrm {i} _{\nu })_{\nu }$, so ist $\Vert \cdot \Vert$ bezüglich dieser Basis die euklidische Norm. Für $a\in \mathbb {D} ^{\times }$ ist $\textstyle a^{-1}={\frac {1}{\Vert a\Vert ^{2}}}{\overline {a}}$. Dadurch wird $\mathbb {D}$ zu einem reell normierten Schiefkörper. Zudem ist diese Norm sogar multiplikativ, denn $\Vert ab\Vert ^{2}=ab\,{\overline {ab}}=ab\,{\overline {b}}{\overline {a}}=a\,\Vert b\Vert ^{2}\,{\overline {a}}=\Vert a\Vert ^{2}\,\Vert b\Vert ^{2}$. – Es lässt sich zeigen, dass algebraischen Operationen im Sinne dieser Norm stetig sind.
15	Einheiten in $\mathbb {D}$	Elemente $a\in \mathbb {D}$ mit $\Vert a\Vert =1$ heißen Einheiten. Liegen sie sogar in $\mathbb {J}$, so heißt dies $a^{2}=-1$, wie oben definiert: Dies sind die imaginären Einheiten.
16*	Kriterien für Tripel Hamiltonscher Quaternioneneinheiten	Sind Elemente $\mathrm {i} ,\mathrm {j} \in \mathbb {J}$ gewählt und $\mathrm {k} :=\mathrm {i} \,\mathrm {j}$ gesetzt, dann gilt wegen $\mathrm {ik} =\mathrm {iij} =-\Vert \mathrm {i} \Vert ^{2}\,\mathrm {j} \in \mathbb {J}$ nach Folgerung 9 (euklidisches Skalarprodukt) auch $\mathrm {i} \bot \mathrm {k}$ und ebenso $\mathrm {k} \bot \mathrm {j}$. Dann sind offenkundig äquivalent: $\mathrm {k} \in \mathbb {J}$ und $\mathrm {i} ^{2}=-1=\mathrm {j} ^{2}$. $\mathrm {i} \bot \mathrm {j}$ und $\mathrm {i} ^{2}=-1=\mathrm {j} ^{2}$. $\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ bilden Orthonormalsystem. $\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ erfüllen die Beziehungen eines Tripels Hamiltonscher Quaternioneneinheiten, das heißt: $\mathrm {i,j,k}$ sind Einheiten in $\mathbb {J}$, das heißt: $-1=\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}$. Sie stehen in den Beziehungen $\mathrm {i\,j} =\mathrm {k}$, $\mathrm {j\,k} =\mathrm {i}$ und $\mathrm {k\,i} =\mathrm {j}$, das heißt stehen paarweise senkrecht aufeinander. $\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ sind Einheiten in $\mathbb {J}$ mit $\mathrm {ijk} =-1$. $\mathrm {i\,j} +\mathrm {j\,i} =0$ und $\mathrm {i} ^{2}=-1=\mathrm {j} ^{2}$. (Wirklich? Warum? Wozu?)
17	Kreuzprodukt	Übrigens gilt: $\times \colon \mathbb {D} \times \mathbb {D} ,(a,b)\to a\times b:=\mathbf {v} (ab)$ ist reell bilinear. Eingeschränkt auf $\mathbb {J} \times \mathbb {J}$ ist sie antisymmetrisch, so dass die Abbildung $\mathbb {J} \times \mathbb {J} \times \mathbb {J} \colon (x,a,b)\mapsto -\mathbf {s} (x,a\times b)$ trilinear und alternierend ist. Es wird daher bei $\dim \mathbb {J} =3$ folgen, dass $-\mathbf {s} (x,a\times b)=V\det(x,a,b)$ für $x,a,b\in \mathbb {J}$. Dabei ist der reelle Normierungsfaktor $V=1$, wie man dem Fall $(x,a,b)=(\mathrm {k,i,j} )$ wird entnehmen können.

Beweisvariante nach Dickson/Pontrjagin

Pontrjagin überliefert unter Hinweis auf Leonard Dickson eine Beweisvariante, die sich vor allem im zweiten Beweisschritt vom Peirce unterscheidet.

Folgerungen aus der eindeutigen Zerlegung (1. Beweisschritt): Mit der Signumfunktion $\operatorname {sign}$ gilt offensichtlich $\operatorname {sign} \,(ra)^{2}=\operatorname {sign} \,a^{2}$ für beliebige Elemente $r\in \mathbb {R} ,a\in \mathbb {R} \cup \mathbb {J}$, so dass mit $a$ stets auch jedes $ra$ reell bzw. imaginär ist. Also ist die Menge $\mathbb {J}$ bereits dann ein reeller Unterraum, wenn sie additive Halbgruppe ist, das heißt, wenn gilt: $a,b\in \mathbb {J} \Rightarrow a+b\in \mathbb {J}$.

Für die Abbildungen $s\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ und $v\colon \mathbb {D} \to \mathbb {J}$ gilt wegen der eindeutigen Zerlegung:

• Ist eine von beiden additiv, so ist es auch die andere.
• Ist eine von beiden reell linear, so ist es auch die andere.

Der eindeutigen Zerlegung wegen aber gilt tatsächlich $\mathbf {s} (ra)=r\,\mathbf {s} (a)$ und $\mathbf {v} (ra)=r\,\mathbf {v} (a)$.

Also gilt: Ist eine der beiden Abbildungen $s,v$ additiv, so sind beide reell linear und $\mathbb {J}$ ein Unterraum im Vektorraum $\mathbb {D}$.

Nun gilt für $a,b\in \mathbb {D}$ allgemein $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+ab+ba$. Speziell für $a,b\in \mathbb {J}$ sind also äquivalent:

• $a+b\in \mathbb {J}$.
• $ab+ba\in \mathbb {R} \wedge a^{2}+b^{2}+ab+ba\leq 0$.
• $ab+ba\in \mathbb {R}$, denn im entgegengesetzten Fall $a^{2}+b^{2}+ab+ba\geq 0$ folgt $(a+b)^{2}\geq 0$, also $a+b\in \mathbb {R}$, und wegen $a=(a+b)-b$ erzwingt die eindeutige Zerlegung $a+b=0$.
• $\mathbf {v} (ab+ba)=0$.

Somit folgt aus der eindeutigen Zerlegung, welche Aussagen mit der Aussage des zweiten Beweisschrittes äquivalent und also zu zeigen sind,

no	denn angesichts der Gleichheit $\mathbb {J} =\{a\in \mathbb {D} \mid \mathbf {s} (a)=0\}$ sind folgende Aussagen äquivalent:
i	$\mathbb {J}$ ist ein reeller Unterraum der Divisionsalgebra $\mathbb {D}$ aufgefasst als Vektorraum über $\mathbb {R}$, das heißt $\operatorname {span} _{\mathbb {R} }(\mathbb {J} )\subset \mathbb {J}$.
ii	Die Abbildung $s\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ ist reell linear.
ii	Die Abbildung $v\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ ist reell linear.
iv	$\mathbb {J}$ ist bezüglich Addition eine (Halb-)Gruppe: $a,b\in \mathbb {J} \Rightarrow a+b\in \mathbb {J}$.
v	Die Abbildung $s\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ ist additiv.
vi	Die Abbildung $v\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ ist additiv.
vii	$\forall a,b\in \mathbb {J} :\mathbf {v} (ab+ba)=0$.
viii	$\forall a,b\in \mathbb {J} :\mathbf {s} (ab+ba)=ab+ba$.
ix	$\forall a,b\in \mathbb {J} :ab+ba\in \mathbb {R}$.

Definiere $\mathbf {s} (ab+ba)=:\mathbf {s} (a,b)$ und $\mathbf {v} (ab+ba)=:\mathbf {v} (a,b)$ für $a,b\in \mathbb {D}$.

Im 2. Beweisschritt wird nun gezeigt, dass jede der obigen, äquivalenten Aussagen tatsächlich wahr ist: Dazu seien also $a,b\in \mathbb {J}$ ausgewählt. Zu zeigen ist $\mathbf {s} (xa+yb)=0$ für jede reelle Linearkombination von $a,b\in \mathbb {J}$, wobei nur der Fall $xy\neq 0$ fraglich und zu beweisen ist.

Es gilt:

${\begin{aligned}\mathbf {s} (xa+yb)^{2}+2\,\mathbf {s} (xa+yb)\,\mathbf {v} (xa+yb)+\mathbf {v} (xa+yb)^{2}&=&(xa+yb)^{2}&=&x^{2}\,a^{2}+y^{2}\,b^{2}+xy\,(ab+ba)\\&&&=&x^{2}\,a^{2}+y^{2}\,b^{2}+xy\,(\mathbf {s} (a,b)+\mathbf {v} (a,b))\end{aligned}}$

Wegen der Eindeutigkeit der Summenzerlegung (Beweisschritt 1) müssen die imaginären Anteile stets identisch sein:

$2\,\mathbf {s} (xa+yb)\,\mathbf {v} (xa+yb)=xy\,\mathbf {v} (a,b)$

(*)

Nun darf $\mathbf {v} (xa+yb)\neq 0$ angenommen werden, denn andernfalls ist $xa+yb=r\in \mathbb {R}$, also $xa=r-yb$, wobei der Eindeutigkeit wegen $r=0$ und folglich $a,b$ reell linear abhängig sind, mithin $\mathbf {s} (xa+yb)=0$, wie gewünscht. Hiermit ist für $a,b\in \mathbb {J}$ gezeigt: $\mathbf {v} (xa+yb)=0\Rightarrow xa+yb=0$.

Es sei daher nun vorausgesetzt, dass $a,b\in \mathbb {J}$ reell linear unabhängig sind, also $\mathbf {v} (xa+yb)=0$ nur im trivialen Falle $x=0=y$.

Unter der Annahme, dass $\mathbf {v} (a,b)\neq 0$, gilt dann die Implikation $xy\neq 0\Rightarrow \mathbf {s} (xa+yb)\neq 0$, und für $xy\neq 0$ also stets

$xa+yb=\mathbf {s} (xa+yb)+\mathbf {v} (xa+yb)=\mathbf {s} (xa+yb)+{\frac {xy}{2\,\mathbf {s} (xa+yb)}}\,\mathbf {v} (a,b)$

In dieser Gleichung im Schiefkörper $\mathbb {D}$ mit den Unbekannten $a,b$ und $\mathbf {v} (a,b)$ wähle man zwei Paare $(x,y),(x',y')$ reeller Koeffizienten mit den Eigenschaften $xy\neq 0\neq x'\,y'$ und $(x',y')\notin \mathbb {R} (x,y)$, so dass zwei reell linear unabhängige Gleichungen entstehen, aus denen sich die Unbekannte $\mathbf {v} (a,b)$ eliminieren lässt zu einer Gleichung $x''a+y''b=r''$ mit reellen $x'',y'',r''\in \mathbb {R}$ und $(x'',y'')\neq (0,0)$, woraus (wie soeben) die lineare Abhängigkeit von $a,b$ folgt, was ausgeschlossen war.

Also ist die Annahme falsch, und stattdessen gilt $\mathbf {v} (a,b)=0$, das heißt $ab+ba\in \mathbb {R}$ für Elemente $a,b\in \mathbb {J}$. Wegen Gleichung (*) folgt hieraus $\mathbf {s} (xa+yb)=0$ und damit die Tatsache, dass $\mathbb {J} <\mathbb {D}$ reeller Unterraum ist, wie gewünscht. Die Abbildungen $s,S\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ sind also reell linear, ebenso wie $v\colon \mathbb {D} \to \mathbb {J}$.

Zu zeigen bleibt,

• dass notwendig $m\leq 3$,
• dass der Fall $\dim \mathbb {J} =2$ ausgeschlossen ist, und
• dass sich solche Einheiten im Falle $m=3=\dim \mathbb {J}$ wie die Hamiltonschen Quaternionen verhalten.

Zum 3. Beweisschritt: Der Fall $\mathbb {J} =\{0\}$ liefert offenkundig $\mathbb {D} =\mathbb {R}$, und der Fall $\dim \mathbb {J} =1$ liefert $\mathbb {J} \simeq \mathbb {R} \,\mathrm {i}$ und somit $\mathbb {D} \simeq \mathbb {C}$. Einzig der Fall $\dim \mathbb {J} >1$ erfordert nähere Betrachtung. Dazu wird gezeigt: $\dim \mathbb {J} \geq 2\Rightarrow 3{\stackrel {\text{(i)}}{\;\leq \;}}\dim \mathbb {J} {\stackrel {\text{(ii)}}{\;\leq \;}}3$.

• zu (i): Sind zwei reell linear unabhängige Elemente $\mathrm {a,b} \in \mathbb {J}$ gegeben, so sind nach Folgerung 8 die drei Elemente $a,b,\mathbf {v} (ab)$ linear unabhängig. Da sie sich nach Folgerung 12 orthonormalisieren lassen, enthält $\mathbb {J}$ auch ein Element, das senkrecht auf der von ihnen aufgespannten Ebene steht. Es gibt in diesem Falle also ein Orthonormalsystem $\mathrm {i,j,k} \in \mathbb {J}$, das sich wie Hamiltonsche Quaternioneneinheiten verhält. Also gilt $\mathbb {H} \hookrightarrow \mathbb {D}$, und die Teilaussage „$\dim \mathbb {J} \geq 2\Rightarrow 3{\stackrel {\text{(i)}}{\;\leq \;}}\dim \mathbb {J}$“ ist bewiesen.
• zu (ii): Gemäß (i) sei also $\mathbb {H} \hookrightarrow \mathbb {D}$ eingebettet vermöge eines Tripels $(\mathrm {i,j,k} )=(\mathrm {i} _{0},\mathrm {j} _{0},\mathrm {k} _{0})$ Hamiltonscher Quaternioneneinheiten. Annahme: Es gebe $\mathrm {i} _{1}\in \mathbb {J}$, so dass $\mathrm {i,j,k} ,\mathrm {i} _{1}\in \mathbb {J}$ reell linear unabhängig sind. Gemäß obiger Folgerung 12 (Orthonormalisierung) sei ohne Einschränkung $\mathrm {i} _{1}^{2}=-1$ und orthogonal zu den übrigen. Dann verhält sich jedes der drei Tripel $(\mathrm {i} ,\mathrm {i} _{1},\mathrm {i} _{2}:=\mathrm {i\,i} _{1})$, $(\mathrm {i} _{1},\mathrm {j} ,\mathrm {k} _{1}:=\mathrm {i} _{1}\mathrm {j} )$ und $(\mathrm {k} ,\mathrm {i} _{1},\mathrm {j} _{1}:=\mathrm {k} \mathrm {i} _{1})$ wie ein Tripel Hamiltonscher Quaternioneneinheiten. Indem man den Faktor $\mathrm {i} _{1}$ von links nach rechts durch das Produkt zieht, führt nun die Assoziativität – zusammen mit der Antikommutativität Hamiltonscher Einheiten – zu der Gleichung $-\mathrm {i} _{1}=\mathrm {i} _{1}\,\mathrm {ijk} =-\mathrm {i} \mathrm {i_{1}\,jk} =+\mathrm {i} \,\mathrm {ji_{1}\,k} =-\mathrm {i} \mathrm {j\,ki_{1}} =+\mathrm {i} _{1}$. Daraus folgt $\mathrm {i} _{1}=0$ im Widerspruch zur Annahme. Damit ist auch die Teilaussage „$3{\stackrel {\text{(ii)}}{\;\geq \;}}\dim \mathbb {J}$“ bewiesen.

Wir zeigen, dass in diesem Fall $\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ sich wie Quaternioneneinheiten in $\mathbb {H}$ verhalten und linear unabhängig über $\mathbb {R}$ sind, so dass $\mathbb {D} \hookrightarrow \mathbb {H}$.

(Auf die Normierung verzichten wir zunächst, da wir auch $\mathbb {Q}$ im Blick haben, verallgemeinerte Quaternionenalgebren …)

Nach Voraussetzung gelte $\mathrm {i} ^{2}=-r<0$, $\mathrm {j} ^{2}=-s<0$ und $\mathrm {k} ^{2}=-t<0$. Es ist $\mathrm {k} \mathrm {j} \mathrm {i} =\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {j} \mathrm {i} =(-r)\,(-s)=rs>0$, also $\textstyle \mathrm {k} {\frac {1}{rs}}\mathrm {j} \mathrm {i} =1$, so dass $\textstyle {\frac {1}{rs}}\mathrm {j} \mathrm {i} =\mathrm {k} ^{-1}={\frac {-1}{t}}\mathrm {k} ={\frac {-1}{t}}\mathrm {i} \mathrm {j}$. Da $\mathbb {J}$ reeller Unterraum ist, muss $(\underbrace {\mathrm {i} +\mathrm {j} } _{\in \mathbb {J} })^{2}=-s-r+\mathrm {i} \mathrm {j} +\mathrm {j} \mathrm {i}$ reell (sogar negativ) sein, also auch $\mathrm {i} \mathrm {j} +\mathrm {j} \mathrm {i}$ (das gilt allgemein für $a,b\in \mathbb {J}$). Damit gilt $\textstyle {\frac {1}{rs}}\mathrm {j} \mathrm {i} ={\frac {-1}{t}}\mathrm {i} \mathrm {j} ={\frac {1}{t}}\mathrm {j} \mathrm {i}$, also $t=rs$. Für $r=1=s$ ist auch $t=1$, d. h.: Sind zwei der drei Einheiten, so auch die dritte.

Das Inverse von $\mathrm {i} \mathrm {j} =\mathrm {k}$ ist $\mathrm {j} \mathrm {i} =-\mathrm {k}$ oder äquivalent $\textstyle \mathrm {j} ^{-1}\,\mathrm {i} ^{-1}=\mathrm {k} ^{-1}={\frac {-1}{t}}\mathrm {k}$.

Multiplikation von links mit $\mathrm {i}$ ergibt $\mathrm {j} =-\mathrm {i\,k}$. Entsprechend ergeben sich auch die übrigen Relationen.

In einer Gleichung $0=x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k}$ mit reellen $x,y,z\in \mathbb {R}$ ergibt Multiplikation von links mit $\mathrm {k}$ die Relation $y\mathrm {j} =z\mathrm {i} +z$, so dass der Eindeutigkeit wegen $z=0$ also $x\mathrm {i\,j} =-y$ folgt. Wegen $(\mathrm {i\,j} )^{2}=-1$ geht dies nur für $x=0=y$. Also sind $\mathrm {i,j,k}$ linear unabhängig.

Oktonionen

Der obige Beweis legt offen, dass sich zu $n$ Basiseinheiten und einem weiteren linear unabhängigen Vektor gleich einige weitere finden lassen und das jeweils drei von ihnen wie ein Hamiltonsches Tripel verhalten. Allerdings setzt das Assoziativgesetz enge Grenzen: Denn für $n=3$ stieße ein vierter linear unabhängiger Vektor auf einen Widerspruch, den das Assoziativgesetz herbeiführt. Kurz: Im obigen Beweis erzwingt das Assosoziativgesetz die Schranke $\dim \mathbb {J} \leq 3$.

Wenn aber auf diese verzichtet wird, so lässt sich tatsächlich die Konstruktion fortführen.

Multiplikation der Oktonionen mit Hilfe der Fano-Ebene

Ohne das Assoziativgesetz steht augenscheinlich einer höheren Dimension nichts im Wege, ja es folgt sogar aus den bisherigen Überlegungen $\dim \mathbb {J} \geq 4\Rightarrow \dim \mathbb {J} \geq 7$, wie die Fano-Ebene illustriert: eine vierte imaginäre Einheit gebiert (bei Multiplikation mit jeder imaginären Einheit des gegebenen Hamiltonschen Tripels) eine weitere (also fünfte, secchste und siebte) imaginäre Einheit. Nachzuweisen ist, dass sie alle aufeinander senkrecht stehen, also zueinander linear unabhängig sind. Eine vierte imaginäre Einheit erzwingt also eine Orthonormalbasis eines Unterraumes $\mathbb {U} \subset \mathbb {J}$ der Dimension $7$.

Wahrscheinlich lässt sich dann aus dem Alternativgesetz ableiten, dass $\mathbb {U} =\mathbb {J}$, also insgesamt $\dim \mathbb {J} \geq 4\Rightarrow \dim \mathbb {J} =7$, womit die Einzigartigkeit des Alternativkörpers $\mathbb {O}$ der Oktionen bewiesen ist.

Möglicherweise könnte das gehen, durch Betrachtung eines langen Produktes mit einem achten orthonormalen Element: $+1=(-1)^{8}=ii\,jj\,kk\,\cdots i_{8}i_{8}=\dots$ und einer geeigneten sukzessiven Klammerverschiebung aufgrund des Alternativgesetzes/Flexibilitätsgesetz (siehe Oktonionen)?

Epilog

Für $a\in \mathbb {D}$ setze ${\overline {a}}:=\mathbf {s} (a)-\mathbf {v} (a)$, so ist $S(a)=a+{\overline {a}}=2\,\mathbf {s} (a)$ und $\mu _{a}(0)=N(a)=a\cdot {\overline {a}}=\mathbf {s} (a)^{2}-\mathbf {v} (a)^{2}\geq 0$, denn $\mu _{a}(X)=(X-a)(X-{\overline {a}})$. Trivialerweise gilt ${\overline {ra}}=r\,{\overline {a}}$ für $r\in \mathbb {R}$, da dies auch für $\mathbf {s} (a),S(a)$ und $\mathbf {v} (a)$ gilt. Es wurde gezeigt, dass die Spur $S(\cdot )\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ additiv und mithin $\mathbb {R}$-linear ist. Die Norm $N(\cdot )\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ ist multiplikativ, also auf $\mathbb {D} ^{\times }\to \mathbb {R} ^{\times }$ ein Gruppenhomomorphismus. Daher liefert $\vert \cdot \vert \colon \mathbb {D} \to \mathbb {R} _{\geq 0},\,a\mapsto {\sqrt {N(a)}}$ eine Bewertung (und erst recht eine reelle Norm), wenn es die Dreiecksungleichung erfüllt. Dies tut es, weil es bezüglich einer Orthonormalbasis (also einem Hamiltonschen Tripel) gerade die euklidische Norm ist.

Für $a,b\in \mathbb {J}$ mit $a=a_{1}\,\mathrm {i} +a_{2}\,\mathrm {j} +a_{3}\,\mathrm {k}$ und $b=b_{1}\,\mathrm {i} +b_{2}\,\mathrm {j} +b_{3}\,\mathrm {k}$ gilt $\textstyle a\,b=\underbrace {-\sum _{\nu =1}^{3}a_{\nu }b_{\nu }} _{=\mathbf {s} (a\,b)\in \mathbb {R} }+\underbrace {\mathrm {i} \,{\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}-\mathrm {j} \,{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}+\mathrm {k} \,{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}} _{={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&\mathrm {i} \\a_{2}&b_{2}&\mathrm {j} \\a_{3}&b_{3}&\mathrm {k} \end{vmatrix}}=\mathbf {v} (a\,b)\in \mathbb {J} }$, wobei ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}:=\det A$ für eine Matrix definiert sei. Das Produkt $a\,b$ auf $\mathbb {J}$ lässt sich also mit Skalarprodukt $\textstyle \left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle$ und Vektorprodukt (Kreuzprodukt) $\textstyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$auf dem dreidimensionalen reellen Raum $\mathbb {J}$ (bezogen auf die Basisvektoren $1,\mathrm {i,j,k}$) ausdrücken:

$a\,b=-\left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle +{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$

Für das Kreuzprodukt ist durch die Eigenschaft eindeutig bestimmt:

$\forall {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}:\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&x_{1}\\a_{2}&b_{2}&x_{2}\\a_{3}&b_{3}&x_{3}\end{pmatrix}}=\left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle$

Für $a=\underbrace {a_{0}} _{\mathbf {s} (a)}+\underbrace {a_{1}\mathrm {i} +a_{2}\mathrm {j} +a_{3}\mathrm {k} } _{\mathbf {v} (a)}\in \mathbb {D}$ mit $a_{0}\in \mathbb {R}$ und entsprechend $b\in \mathbb {D}$ gilt also:

$ab=\underbrace {\mathbf {s} (a)\mathbf {s} (b)} _{\mathbf {s} (ab)}+\underbrace {\mathbf {s} (a)\mathbf {v} (b)+\mathbf {s} (b)\mathbf {v} (a)+\mathbf {v} (a)\mathbf {v} (b)} _{=\mathbf {v} (ab)}=\underbrace {a_{0}b_{0}+\left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle } _{=\mathbf {s} (ab)\in \mathbb {R} }+\underbrace {a_{0}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}+b_{0}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}} _{=\mathbf {v} (ab)\in \mathbb {J} }$

Literatur

• Benjamin Peirce: Linear Associative Algebra. In: American Journal of Mathematics, vol. 4, no. 1,. 1881, S. 221–226., abgerufen am 13. März 2023. 
  • online: doi:10.2307/2369153
• Richard Palais: The classification of real division algebras (= American Mathematical Monthly. Band 75). 1968, S. 366–368. 
  • online: Home Page of Richard S. Palais (PDF, Abruf am 2023-03-13)
• Reinhold Baer (Halle) und Helmut Hasse (Marburg): Zusammenhang und Dimension topologischer Körperräume. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle-Journal), Band 167 (1931). 5. Mai 1931, S. 40–45, abgerufen am 4. Januar 2023. 
• Leonard Dickson: Algebren und ihre Arithmetik. 
• Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Topologische Gruppen. 1957. 

Beweis von Richard Sheldon Palais (1968)

Im Jahre 1968 veröffentlichte Richard Sheldon Palais einen Beweis, der neben dem Fundamentalsatz der Algebra lediglich Eigenwerttheorie voraussetzt (Satz von Cayley-Hamilton, Zerlegung in Eigenräume).

• Richard Sheldon Palais: The Classification of Real Division Algebras. In: The American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4. April 1968, S. 366-368, abgerufen am 13. März 2023.