Benutzer:HenrikHolke/Clausen-Funktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik ist die Clausen-Funktion durch folgendes Integral definiert:

Allegmeine Definition

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner definiert man für komplexe s mit Re s > 1:

Diese Definition kann auf die gesamte komplexe Ebene analytisch fortgesetzt werden.

Beziehung zum Polylogarithmus

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:

.

Kummers Beziehung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ernst Kummer und Rogers führen folgende für gültige Beziehung an:

Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für rationale Werte von kann die Funktion als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann als einfache Summe aufgefasst werden, welche die Hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten Dirichlet L-Funktionen einfach zu berechnen.

die Clausen-Function als eine Regularisierungs-Methode

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgender divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:

which can be taken to have the value . By integrating, one may give a meaning to the series:

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen s verallgemeinert werden.

Reihenentwicklung

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für ) ist

ist dabei die Riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass für große n schnell gegen 0 konvergiert.

Spezielle Werte

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige spezielle Werte sind:

,

wobei G die Catalansche Konstante ist.