Polylogarithmus

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Der Polylogarithmus ist eine spezielle Funktion, die durch die Reihe

definiert ist. Für geht der Polylogarithmus in den gewöhnlichen Logarithmus über:

Im Fall oder spricht man entsprechend von Dilogarithmus oder Trilogarithmus. Die Definition gilt für komplexe und mit . Durch analytische Fortsetzung lässt sich diese Definition auf weitere ausdehnen.

Verschiedene Polylogarithmusfunktionen in der komplexen Ebene
Complex polylogminus3.jpg
Complex polylogminus2.jpg
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Complex polylog0.jpg
Complex polylog1.jpg
Complex polylog2.jpg
Complex polylog3.jpg

In den wichtigsten Anwendungsfällen ist eine natürliche Zahl. Für diese Fälle kann man den Polylogarithmus durch die Rekursion

definieren, wonach der Dilogarithmus ein Integral des Logarithmus ist, der Trilogarithmus ein Integral des Dilogarithmus, und so fort. Für negative ganzzahlige Werte von lässt sich der Polylogarithmus durch rationale Funktionen ausdrücken.

Der Polylogarithmus taucht beispielsweise im Zusammenhang mit der Fermi-Dirac-Verteilung und der Bose-Einstein-Verteilung auf. Zudem kann mit ihm im hexadezimalen Zahlensystem eine beliebige Stelle von polylogarithmischen Konstanten (z. B. ) einzeln berechnet werden.

Funktionswerte und Rekursionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graphen verschiedener ganzzahliger Polylogarithmen

Einige explizite Funktionsterme für spezielle ganzzahlige Werte von :

Formal kann man mit der (für alle z divergierenden) Reihe definieren. Obwohl diese Reihe nicht konvergiert, kann diese Definition zum Beweis von Funktionalgleichungen (im Ring der formal definierten Laurent-Reihen) verwendet werden.

Für alle ganzzahligen nichtpositiven Werte von kann der Polylogarithmus als Quotient von Polynomen geschrieben werden. In diesen Fällen ist er also eine rationale Funktion. Für die drei kleinsten positiven Werte von sind im Folgenden die Funktionswerte an der Stelle angegeben:

ist dabei die Riemannsche Zetafunktion. Für größeres sind keine derartigen Formeln bekannt.

Es gilt

und

mit der dirichletschen -Funktion[1].

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung der Polylogarithmen sind wieder Polylogarithmen:

Integraldarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Polylogarithmus lässt sich für alle komplexen durch

mit Hilfe des Integralausdrucks für die Lerchsche Zeta-Funktion darstellen. Dabei ist die unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mehrdimensionale Polylogarithmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die mehrdimensionalen Polylogarithmen sind folgendermaßen definiert[2]:

Lerchsche Zeta-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Polylogarithmus ist ein Spezialfall der transzendenten Lerchschen Zeta-Funktion:

Nielsens verallgemeinerte Polylogarithmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nielsen fand folgende Verallgemeinerung für den Polylogarithmus[3]:

Es gilt:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alexander Goncharov: Polylogarithms in arithmetic and geometry. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), 374–387, Birkhäuser, Basel, 1995. pdf

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Multidimensional Polylogarithms. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Nielsen Generalized Polylogarithm. In: MathWorld (englisch).