Catalansche Konstante

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Die catalansche Konstante, üblicherweise mit bezeichnet, ist eine mathematische Konstante. Sie ist der Wert der Reihe

also der Wert der dirichletschen Betafunktion an der Stelle 2. Die Konstante ist nach Eugène Catalan benannt. Ihre Irrationalität wird vermutet, ist aber bis heute unbewiesen. Bekannt ist, dass unendlich viele der Zahlen , irrational sein müssen, dabei mindestens eine von und .[1]

Geschichte und Bezeichnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Catalan bezeichnete diese Konstante in einer Arbeit von 1867 mit und gab zahlreiche Integral- und Reihendarstellungen dafür an.

Wert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Näherungswert ist

(Folge A006752 in OEIS)

Derzeit (28. Februar 2020) sind, nach einer Berechnung von Seungmin Kim vom 16. Juli 2019, 600.000.000.000 Nachkommastellen bekannt.[2]

Weitere Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt eine reichhaltige Fülle anderer Darstellungen, ein Bruchteil davon wird im Folgenden wiedergegeben:

Integraldarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Reihendarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach S. Ramanujan gilt:

Eine andere Reihe enthält die Riemannsche Zetafunktion:

Sehr schnell konvergiert folgende Summe (Alexandru Lupaş 2000):[3][4]

Nach Jesus Guillera gelten folgende Serien, welche schneller konvergieren, als die Serie von Lupaş:[4][5][6]

,
.

Nach Pilehrood gelten folgende Serien, welche ebenfalls schneller konvergieren, als die Serie von Lupaş:[4][7]

,
.

BBP-artige Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man hat lange nach einer BBP-Reihe gesucht. Zunächst wurden nur sehr lange Exemplare gefunden. Relativ kurz ist die 9-gliedrige von Victor Adamchik (2007):

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • E. Catalan: Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies (1. April 1865), Mémoires couronnés et mémoires des savants étrangers 33, 1867, S. 1–50 (französisch; „G=0,915 965 594 177 21“ auf S. 30; im Internet-Archiv: [1])
  • L. A. Ljusternik: Mathematical Analysis. Functions, Limits, Series, Continued Fractions, 1965, S. 313–314 (englisch)

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan’s constant (PDF-Datei, 207 kB), Mathematische Annalen 326, August 2003, S. 705–721 (englisch).
  2. Alexander Yee: Records set by y-cruncher. 24. August 2017, abgerufen am 28. Februar 2020 (englisch).
  3. Alexandru Lupaş: Formulae for some classical constants (PDF-Datei, 169 kB), Preprint, 2000; in Heiner Gonska et al. (Hrsg.): Proceedings of the 4th Romanian-German seminar on approximation theory and its applications, Braşov, Romania, July 3-5, 2000, Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik der Gerhard-Mercator-Universität Duisburg SM-DU-485, 2000, S. 70–76.
  4. a b c Alexander J. Yee: Formulas and Algorithms. Abgerufen am 15. März 2020 (englisch).
  5. Jesus Guillera: a new formula for computing the Catalan constant. Abgerufen am 15. März 2020 (englisch).
  6. Jesus Guillera: Hypergeometric Identities for 10 extended Ramanujan-type series. arxiv:1104.0396v1.
  7. Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood: Series acceleration formulas for beta values. In: Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. Band 12, Nr. 2, 2010, S. 223–236 (inria.fr).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]