Bers-Schnitt

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Bers-Schnitt des (2-dimensionalen) Teichmüllerraums des punktierten Torus.

In der Mathematik sind Bers-Schnitte (engl. Bers slices) die Bilder gewisser Einbettungen des Teichmüller-Raums in den Raum der quasifuchsschen Gruppen. Sie haben oft eine fraktale Gestalt.

Bers-Schnitte und die mit ihrer Hilfe definierte skinning map spielen eine Rolle in vielen Beweisen der niedrig-dimensionalen Geometrie, zum Beispiel in Thurstons Beweis der Geometrisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.

Sei eine geschlossene Fläche und die zugehörige Flächengruppe. Man bezeichnet mit den Teichmüller-Raum von und mit den Raum aller derjenigen Homomorphismen , deren Bild eine quasifuchssche Gruppe ist.

Simultane Uniformisierung gibt eine Bijektion

.

Für ein fixiertes heißt dann die

entsprechende Teilmenge von der (zu gehörende) Bers-Schnitt.

Bers-Kompaktifizierung

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Mittels der Einbettung von in den Modulraum der markierten hyperbolischen Mannigfaltigkeiten homotopieäquivalent zu kann man den Bers-Schnitt in diesen Modulraum einbetten. Sein Bild ist relativ kompakt, seine Kompaktifizierung heißt Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums.

Kerckhoff und Thurston haben bewiesen, dass die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf der Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums nicht stetig ist. Insbesondere stimmt die Bers-Kompaktifizierung nicht mit Thurstons Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums überein.

Für eine geometrisch endliche hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit gibt ihr konformer Rand einen Punkt im Teichmüller-Raum . Andererseits ist das Bild von eine quasifuchssche Gruppe und gibt somit einen Punkt in . Die so definierte Abbildung

ist auf der ersten Komponente die Identitätsabbildung, ist also von der Form

.

Die Abbildung

heißt skinning map.

Thurstons Bounded Image Theorem besagt, dass das Bild der skinning map endlichen Durchmesser hat. Es ist ein wesentlicher Schritt beim Beweis der Hyperbolisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.

  • Lipman Bers: Uniformization, moduli, and Kleinian groups. Bull. London Math. Soc. 4 (1972), 257–300. pdf
  • Komori-Sugawa: Bers embedding of the Teichmüller space of a once-punctured torus. Conform. Geom. Dyn. 8 (2004), 115–142 pdf
  • Komori-Sugawa-Wada-Yamashita: Drawing Bers embeddings of the Teichmüller space of once-punctured tori. Experiment. Math. 15 (2006), no. 1, 51–60. pdf