Flächengruppe

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, werden die Fundamentalgruppen geschlossener, orientierbarer Flächen als Flächengruppen (engl.: surface groups) bezeichnet.

Definition

Sei $g\geq 1$ eine natürliche Zahl und $S_{g}$ die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht $g$.

• 
  $g=1$: Torus
• 
  $g=2$: Doppeltorus
• 
  $g=3$ Brezelfläche

Die Fundamentalgruppen $\pi _{1}S_{g}$ werden als Flächengruppen bezeichnet.

Präsentierung

Die Flächengruppe $\pi _{1}S_{g}$ hat die Präsentierung

$\pi _{1}S_{g}=\langle a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g}\mid \Pi _{i=1}^{g}\left[a_{i},b_{i}\right]=1\rangle$.

Zum Beispiel ist $\pi _{1}S_{1}=\mathbb {Z} ^{2}$.

Hyperbolizität

Mit Ausnahme von $\pi _{1}S_{1}=\mathbb {Z} ^{2}$ sind alle Flächengruppen hyperbolisch. Max Dehn benutzte hyperbolische Geometrie, um das Wortproblem für Flächengruppen zu lösen. Diese Arbeit gilt als Vorläufer für die in den 1980er Jahren von Gromow entwickelte Theorie der hyperbolische Gruppen.

Flächengruppen sind – wie alle hyperbolischen Gruppen – automatische Gruppen, ihr Wortproblem lässt sich also in quadratischer Zeit lösen.

Darstellungen (Höhere Teichmüllertheorie)

Die Theorie der Darstellungen von Flächengruppen $\pi _{1}S_{g}$ in Lie-Gruppen $G$ wird als Höhere Teichmüller-Theorie bezeichnet. Klassische Teichmüller-Theorie ist der Spezialfall $G=PSL(2,\mathbb {R} )$, in diesem Fall vermittelt die Holonomie eine Bijektion zwischen dem Teichmüller-Raum und einer Zusammenhangskomponente von $Rep(\pi _{1}S_{g},G):=Hom(\pi _{1}S_{g},PSL(2,\mathbb {R} ))/conj.$.

Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät

Im Folgenden bezeichnet $Hom(\pi _{1}S_{g},G)$ die Darstellungsvarietät, deren Zusammenhangskomponenten – für zusammenhängende Lie-Gruppen $G$ – den Zusammenhangskomponenten von $Rep(\pi _{1}S_{g})$ entsprechen.

• Für kompakte, zusammenhängende Gruppen $G$ entsprechen die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät den Elementen von $\pi _{1}G$.
• Für $G=PSL(2,\mathbb {R} )$ werden die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät durch die Werte der Euler-Klasse $e$ klassifiziert. Weil nach der Milnor-Wood-Ungleichung die Euler-Klasse genau die ganzzahligen Werte im Intervall $\left[\chi (S_{g}),-\chi (S_{g})\right]$ annehmen kann, hat die Darstellungsvarietät $4g-3$ Zusammenhangskomponenten. Eine Darstellung ist treu mit diskretem Bild genau dann, wenn $\mid e\mid =\chi (S_{g})$.
• Für $G=SL(2,\mathbb {R} )$ hat die Darstellungsvarietät $2^{2g+1}+2g-3$ Zusammenhangskomponenten.
• Für $G=PSL(2,\mathbb {C} )$ oder $G=SO(3)$ werden die Zusammenhangskomponenten von $Rep(\pi _{1}S_{g},G)$ durch die Werte der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse $w_{2}$ klassifiziert, die Darstellungsvarietät hat zwei Zusammenhangskomponenten.
• Für $G=SL(2,\mathbb {C} )$ oder $G=SU(2)$ ist die Darstellungsvarietät zusammenhängend.
• Für $G=PSL(n,\mathbb {R} )$ mit $n\geq 3$ hat die Darstellungsvarietät 3 Komponenten, falls $n$ ungerade ist, und 6 Komponenten, falls $n$ gerade ist. Der Beweis benutzt die Theorie der Higgs-Bündel.

Literatur

• Heiner Zieschang, Elmar Vogt, Hans-Dieter Coldewey: Flächen und ebene diskontinuierliche Gruppen (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 122). Springer, Berlin u. a. 1970.