Brownsches Blatt

Ein brownsches Blatt (englisch Brownian sheet) ist eine multiparametrische Verallgemeinerung der brownschen Bewegung zu einem gaußschen Zufallsfeld. Das brownsche Blatt ist die Lösung einer hyperbolischen stochastischen partiellen Differentialgleichung, einem Saitenschwingungsproblem unter weißem Rauschen.

Die Integration bezüglich brownscher Blätter führt zu multiparametrischen stochastischen Integralen.

In der Literatur wird manchmal auch nur der $2$-parametrige Fall $(2,d)$ als brownsches Blatt bezeichnet. Wir folgen hier Walsh, der die Bezeichnung brownsches Blatt für den Fall $(n,d)$ verwendet (wie es auch in verwendet wird).

Definition

Notation

• $a\wedge b:=\operatorname {min} (a,b)$
• $\mathbb {R} _{+}^{n}:=[0,\infty )^{n}=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\colon t_{i}\geq 0,\;i=1,\dots ,n\}$

Ein $(n,d)$-brownsches Blatt ist ein Zufallsfeld $B_{t}$, das heißt $B_{t}$ ist ein $d$-dimensionaler Zufallsprozess mit einer $n$-dimensionalen Indexmenge. Man nennt $B_{t}$ auch $d$-dimensionales, $n$-parametrisches brownsches Blatt.

(n,d)-brownsches Blatt

Ein gaußscher Prozess $B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})$ nennt man $(n,d)$-brownsches Blatt, falls er zentrierter ist, d. h. $\mathbb {E} [B_{t}]=0$ für alle $t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}$, und seine Kovarianzfunktion für $1\leq i,j\leq d$ durch

$\operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}s_{l}\wedge t_{l}&{\text{falls }}i=j,\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

gegeben ist.

Aus der Definition der Kovarianzfunktion folgt, dass der Prozess fast sicher am Rand verschwindet, d. h.

$B(0,t_{2},\dots ,t_{n})=B(t_{1},0,\dots ,t_{n})=\cdots =B(t_{1},t_{2},\dots ,0)=0$

fast sicher.

(n,1)-brownsches Blatt

Jedes der $B^{(i)}=(B_{r}^{(i)},r\in \mathbb {R} _{+}^{n})$ ist ein unabhängiges $(n,1)$-brownsches Blatt mit Kovarianzfunktion

$\operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(i)})=(s_{1}\wedge t_{1})\cdots (s_{n}\wedge t_{n}).$

Beispiele

• $(1,1)$-brownsches Blatt ist die brownsche Bewegung in $\mathbb {R} ^{1}$.
• $(1,d)$-brownsches Blatt ist die brownsche Bewegung in $\mathbb {R} ^{d}$.
• $(2,1)$-brownsches Blatt ist die ein-dimensionale brownsche Bewegung $X_{t,s}$ auf der Indexmenge $(t,s)\in [0,\infty )\times [0,\infty )$ (z. B. eine Raum- und Zeitdimension).

Lösung einer hyperbolischen SPDE

Das stochastische Saitenschwingungsproblem betrachtet die Schwingung einer Seite $\varphi (t,x)$ auf die eine externe stochastische Kraft $F(t,x)$ wirkt, wobei $t$ die Zeit und $x$ die Position bezeichnet. Diese Kraft wird als Zufallsmengenfunktion (englisch random set function) ${\dot {W}}$ genannt weißes Rauschen modelliert. Sei $(W_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})$ ein brownsches Blatt, dann gilt für das weiße Rauschen

$W_{t}={\dot {W}}((0,t])=\int _{(0,t_{1}]\times \cdots \times (0,t_{n}]}{\dot {W}}(\mathrm {d} x)$

und ${\dot {W}}$ kann als die Zeit-Distributionsableitung eines brownschen Blattes verstanden werden.

Sei $n=2$ und betrachte die hyperbolische SPDE

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}X(s_{1},s_{2})}{\partial s_{1}\partial s_{2}}}=\alpha (X(s_{1},s_{2})){\dot {W}}_{s_{1}s_{2}}+\beta (X(s_{1},s_{2}))\\X(s_{1},0)=X(0,s_{2})=0.\end{cases}}$

Die Lösung $X$ im Fall $\alpha \equiv 1,\beta \equiv 0$ ist ein brownsches Blatt.

Literatur

• Walsh, John B.: An introduction to stochastic partial differential equations. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 1986, ISBN 978-3-540-39781-6. 
• Davar Khoshnevisan: Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields. Hrsg.: Springer. ISBN 978-0-387-95459-2.