Chirale Symmetrie

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Die Chirale Symmetrie (von griechisch χέρι Hand) ist eine mögliche Symmetrie der Lagrangefunktion in der Quantenfeldtheorie, die vielfach – zumindest näherungsweise – gegeben ist und dann eine wichtige Rolle spielt, z. B. bei den Pionen.

Dabei werden linkshändiger und rechtshändiger Anteil der Fermionischen Felder unabhängig transformiert. Die chirale Symmetrietransformation kann aufgeteilt werden in eine Komponente, die linkshändigen und rechtshändigen Anteil gleich behandelt (Vektor-Symmetrie), und eine Komponente, die sie „entgegengesetzt“ behandelt (Axiale Symmetrie). Der letztgenannte Anteil verschwindet durch Quark-Kondensation in der erstgenannten Phase.

Beispiel: u- und d-Quarks in der QCD[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte die Quantenchromodynamik (QCD) mit den beiden masselosen Quarks u und d. Die Lagrange-Funktion lautet

Das i bedeutet dabei die imaginäre Einheit und den Dirac-Operator in der Feynman-Slash-Notation. Die u und d sind die vierkomponentigen Dirac-Spinoren und der Überstrich bezeichnet die Dirac-Adjungierte.

Nach der Quantenchromodynamik sind die Mesonen aus je einem Quark und einem Antiquark zusammengesetzt, z. B. das aus einem und einem . Das ändert jedoch die folgende Herleitung nicht prinzipiell.

In der Darstellung der linkshändigen und rechtshändigen Spinoren erhält man also zunächst

Es wird definiert

Somit folgt

Die Lagrangefunktion bleibt bei Rotation der mit unitären 2×2-Matrizen L und bei Rotation der mit unitären 2×2-Matrizen R jeweils invariant. Diese Symmetrie der Langrangefunktion wird Flavor-Symmetrie oder Chirale Symmetrie genannt und als notiert. Sie kann in folgende Teilsymmetrien zerlegt werden

Die Vektor-Symmetrie lautet

und entspricht der Baryonenzahl-Erhaltung.

Die entsprechende axiale Operation ist

Sie entspricht keiner  Erhaltungsgröße, da sie durch eine Quanten-Anomalie gebrochen wird.

Es stellt sich heraus, dass die verbleibende chirale Symmetrie zur Vektor-Untergruppe (der Isospin-Gruppe) spontan gebrochen wird. Die Symmetriebrechung äußert sich dabei durch ein entsprechendes, vollständiges Quark-Kondensat.

Die Goldstonebosonen, die den drei gebrochenen Generatoren der Transformation entsprechen, sind die Pionen. Da die Massen der Quarks nicht gleich sind, ist die nur näherungsweise eine Symmetrie des Systems. Die Pionen sind somit keine „echten“, masselosen Goldstone-Bosonen, sondern sog. Pseudo-Goldstonebosonen.

Chiraler Limes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von der „chiralen Symmetrie“ zu unterscheiden  ist der sogenannte „chirale Limes“ () einer einzelnen Dirac-Gleichung. Dieser Limes ist am besten bei Neutrinos bzw. ihren Antiteilchen mit ihrer wohldefinierten Chiralität realisiert („Linksschraube“ bzw. „Rechtsschraube“ bzgl. Spin und Impuls bei Neutrinos bzw. Antineutrinos, ), sowie im Festkörper bei den Graphenen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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