Chiralität (Physik)

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Die Chiralität (griechisches Kunstwort, die Händigkeit, abgeleitet vom Wortstamm χειρ~, ch[e]ir~ - hand~), bezeichnet in der Physik ein abstraktes Konzept im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie. Im Gegensatz zur Chiralität in der Chemie existiert keine konkrete bildliche Visualisierung der Chiralität physikalischer Größen in Form einer Spiegelung am ebenen Spiegel; statt dessen beschreibt sie das Verhalten eines Systems unter Paritätsoperationen. Die Chiralität ist eine entscheidende Größe im Rahmen der schwachen Wechselwirkung, da W-Bosonen nur an Teilchen mit negativer Chiralität und Antiteilchen mit positiver Chiralität koppeln.

Von der Chiralität zu unterscheiden ist das Konzept der Helizität.

Definition[Bearbeiten]

Die fünfte Gamma-Matrix  \gamma^5 = \mathrm i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 heißt Chiralitätsoperator; er ist hermitesch und selbstinvers. Seine Eigenwerte sind daher  \pm 1. Den zum Eigenwert +1 gehörigen Eigenzustand nennt man den Zustand positiver/rechtshändiger Chiralität, den zum Eigenwert -1 gehörigen Zustand nennt man den Zustand negativer/linkshändiger Chiralität.

Masselose Fermionen[Bearbeiten]

Aus der Dirac-Gleichung lässt sich im Grenzfall masseloser Fermionen wie Neutrinos(Anm. 1) die Weyl-Gleichung  \mathrm i \gamma^\mu \partial_\mu \psi= 0 erhalten. Im Rahmen der Weyl-Gleichung bietet es sich an, die Dirac-Matrizen nicht in Dirac-, sondern in Weyl-Darstellung zu notieren, sodass nur Blockmatrizen auf der Nichtdiagonalen auftreten. Durch das Fehlen des Masseterms entkoppeln somit die vier Komponenten der Dirac-Spinoren zu zwei unabhängigen Zweierspinoren

\mathrm i \begin{pmatrix} 0 & \left(\part_0+ \vec{\sigma}\cdot \vec{\nabla}\right)\\ \left(\part_0-\vec{\sigma}\cdot \vec{\nabla}\right)&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_L\\ \psi_R \end{pmatrix} = 0 .

Der Chiralitätsoperator in Weyl-Darstellung ist diagonal

 \gamma^5 = \begin{pmatrix} - I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix} ,

sodass der obere Zweierspinor  \psi_\text{L} direkt als linkshändiger und der untere Spinor  \psi_\text{R} als rechtshändiger Anteil gedeutet werden kann. Da Neutrinos nur schwach wechselwirken, sind rechtshändige Neutrinos bzw. linkshändige Antineutrinos sogenannte sterile Teilchen. Im Rahmen des Standardmodells sind daher alle Neutrinos negativer Chiralität und Antineutrinos positiver Chiralität.

Massebehaftete Fermionen[Bearbeiten]

Aus der Eigenschaft des Chiralitätsoperators bzw. der fünften Gamma-Matrix ihr Selbstinverses zu sein, folgt, dass die Operatoren  P_\text{R} = \frac{1 + \gamma^5}{2} und  P_\text{L} = \frac{1 - \gamma^5}{2} einen vollständigen Satz von Projektionsoperatoren bilden. Sie projizieren die Anteile positiver bzw. negativer Chiralität aus dem Dirac-Spinor hinaus:  \gamma^5 P_\text{R/L} \psi \equiv \gamma^5 \psi_\text{R/L} = \pm \psi_\text{R/L} . Jeder Dirac-Spinor kann auf diese Weise in einen Anteil rechts- beziehungsweise linkshändiger Chiralität zerlegt werden.

Chiralität und CP-Invarianz[Bearbeiten]

Die Chiralität von Teilchen ist aufgrund der Tatsache, dass der Chiralitätsoperator mit den Gamma-Matrizen antikommutiert, nicht invariant unter Paritätsoperationen  \mathcal P :

 \mathcal P \psi_\text{R/L}(x) = \gamma^0 \frac{1\pm \gamma^5}{2} \psi(\mathcal P x) = \frac{1 \mp \gamma^5}{2} \gamma^0\psi(\mathcal P x) = (\mathcal P \psi(x))_\text{L/R}

Ebenso ändert die Ladungskonjugation (Charge conjugation)  \mathcal C die Chiralität, da der Chiralitätsoperator zudem gleich seines komplex Konjugierten ist:

 \mathcal C \psi_\text{R/L}(x) = \mathrm i \gamma^2 \frac{1\pm \gamma^{5^*}}{2} \psi^*(x) =  \frac{1\mp\gamma^{5}}{2} \mathrm i \gamma^2 \psi^*(x) = (\mathcal C \psi(x))_\text{L/R}

Da somit Paritätsoperation und Ladungskonjugation gleichermaßen die Chiralität umkehren, bleibt die Chiralität unter einer Nacheinanderausführung von beiden Operationen erhalten. Diesen Fakt bezeichnet man als CP-Invarianz.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten]

(Anm. 1) Im Rahmen des Standardmodells sind Neutrinos masselos. Experimente im Rahmen der Neutrinooszillation haben jedoch gezeigt, dass sie eine nichtverschwindende Masse besitzen; die Beschreibung von Neutrinos als massive Objekte bedarf jedoch weiterführender physikalischer Modelle.