Greibach-Normalform

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Die Greibach-Normalform ist ein Begriff der theoretischen Informatik, der im Zusammenhang mit kontextfreien Sprachen von Interesse ist. Sie ist nach der US-Informatikerin Sheila A. Greibach benannt und beschreibt eine Normalform der kontextfreien Grammatiken. Jede kontextfreie Grammatik, nach der nicht das leere Wort abgeleitet werden kann, kann in eine Greibach-Normalform transformiert werden. Die herausragende Eigenschaft der Greibach-Normalform ist, dass bei jedem Ableitungsschritt jeweils genau ein Terminalzeichen entsteht. Damit ist sie der natürliche Zwischenschritt bei der Umformung einer kontextfreien Grammatik in einen äquivalenten nichtdeterministischen Kellerautomaten ohne -Übergänge.

Eine weitere Normalform für kontextfreie Grammatiken ist die Chomsky-Normalform.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine kontextfreie Grammatik (vgl. Chomsky-Hierarchie), also , mit . Dabei sei die Menge der Nichtterminalsymbole, die Menge der Terminalsymbole, die Menge von Produktionsregeln und das Startsymbol. Sei das leere Element .

ist in Greibach-Normalform (kurz GNF), wenn alle Produktionen aus die Form mit haben, wobei ein Terminalsymbol ist und und für Nichtterminale sind. Das Besondere an dieser Form ist also, dass auf der rechten Seite jeder Produktion genau ein Terminalsymbol gefolgt von beliebig vielen Nichtterminalen steht. Es ist aber insbesondere möglich, dass auf der rechten Seite der Produktion nur ein Terminalsymbol steht.

Mit erhält man eine reguläre Grammatik als Spezialfall einer kontextfreien Grammatik in Greibach-Normalform.

Für alle mit gibt es ein , mit , in Greibach-Normalform.

Ist allerdings , dann darf nie auf der rechten Seite einer Produktion vorkommen. Somit ist gewährleistet, dass auch Sprachen, die das leere Wort enthalten, von einer Grammatik in Greibach-Normalform erzeugt werden können.

Konstruktion der GNF[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der folgende Algorithmus überführt eine Grammatik von der Chomsky-Normalform in die Greibach-Normalform. Der Algorithmus ist von theoretischer Bedeutung da er zeigt dass jede kontextfreie Grammatik, nach der nicht das leere Wort abgeleitet werden kann, in eine Greibach-Normalform transformiert werden kann. Die erzeugte Greibach-Normalform ist aber nicht minimal und es existieren Algorithmen mir besserer Laufzeit die kleine Greibach-Normalformen berechnen.[1]

Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hierbei sind im Folgenden:

  • Nichtterminale (hier repräsentiert bereits vorhandene und im Schema neu eingeführte Nichtterminalsymbole)
  • Terminale und
  • das Vokabular der Grammatik
  • Folgen von Nichtterminalen (z. B. )
  • Folgen von Terminalen und Nichtterminalen (z. B. )

Vorbereitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zunächst bringt man die Grammatik in Chomsky-Normalform. Für das unten angegebene Schema braucht man eine beliebige totale Ordnung auf den Nichtterminalen. Dazu kann man die vorkommenden Nichtterminale in mit umbenennen. Hierzu geht man wie folgt vor:

  • Das erste vorkommende Nichtterminal wird in umbenannt.
  • Das zweite vorkommende Nichtterminal wird in umbenannt.
  • Dieses Schema wird fortgesetzt bis man alle vorkommenden Nichtterminale ersetzt hat.

Beispiel:

  • Die erste vorkommende Variable ist , und wird deswegen in umbenannt.
  • Die zweite vorkommende Variable ist , und wird deswegen in umbenannt.
  • führt man diese Schema weiter kommt man zu

Phase 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In dieser Phase verwendet der Algorithmus die folgenden zwei Formen von Ersetzungen von Regeln. Nach diesem Schritt gilt für alle Regeln der Grammatik, dass .

Einsetzen der Produktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit dieser Ersetzungsregel entfernt der Algorithmus alle Regeln der . Die Voraussetzung ist dass es keine rekursiven Regeln für das Nichtterminal gibt. Die Regeln der Form werden dann ersetzt indem das Nichtterminal durch seine Produktionen ersetzt werden.

Regel1()
 für alle 
    für alle 
       Füge  hinzu
    ende
    Entferne 
 ende

Beispiel: mit wird zu .

Ersetzen von linksrekursiven Regeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Linksrekursive Regeln haben die Form , d. h. eine Variable kann wieder auf sich selbst ableiten. Durch wiederholtes Einsetzen sieht man leicht, dass durch linksrekursive Regeln genau der reguläre Ausdruck

erzeugt werden kann. Dies kann leicht anders erreicht werden:

Man ersetzt die Regeln für linksrekursive durch:

und fügt neue Regeln für ein:

Regel2()
 für alle 
    Füge  hinzu
 ende
 für alle 
    Füge  hinzu
    Füge  hinzu
    Entferne 
 ende

Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Algorithmus wendet die obigen zwei Ersetzungsregeln für bis sodass zunächst immer Regeln der From ersetzt werden und dann linksrekursive Regeln mit elimiert werden.

 für i:=1 bis m 
    für j:=1 bis i-1   
       Regel1()
    ende
    Regel2()
 ende

Ab jetzt gibt es nur noch Regeln der Form oder der Form . Insbesondere gilt dass alle Regeln auf der rechten Seite mit einem Terminalsymbol beginnen.

Phase 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diese Phase werden alle Regeln über die Nichtterminale in die Form transformiert. Der Algorithmus beginnt bei den Regeln und ersetzt Regeln die mit einem Nichtterminal beginnen werden indem die Produktionen des Nichtterminals eingesetzen werden. Hier wird ausgenutzt dass wenn Regeln betrachtet werden den Regeln für j > i schon in der gewünschten Form sind.

 für i:=m-1 bis 1
    für j:=i+1 bis m
         Regel1()
    ende
 ende

Phase 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im letzten Schritt werden alle Regeln über die neuen Nichtterminale in die Greibach-Normalform transformiert. Regeln die mit einem Nichtterminal beginnen werden ersetzt indem die Produktionen dieses Nichtterminals eingesetzen werden.

 für alle 
    für alle 
       Füge  hinzu
    ende
    Entferne 
 ende

Hier wird ausgenutzt dass die Regeln alle schon in Greibach Normalform sind und die nie als erstes Symbol der rechten Seite einer Regel auftreten.

Eine strengere Variante der Greibach-Normalform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist auch möglich, die Produktionen einer kontextfreien Grammatik so in Greibach-Normalform umzuformen, dass auf jeder rechten Seite maximal 2 Variablen vorkommen. Die resultierenden Produktionen haben dann also die Form , oder .

Konstruktion eines Kellerautomaten aus der GNF[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um aus einer Grammatik in GNF einen Kellerautomaten zu konstruieren, wähle die Zustandsmenge von als , das Kelleralphabet , das Bandalphabet , das Kellerstartsymbol und die Menge der Endzustände . Als Übergangsrelation wähle . akzeptiert über leeren Keller. Beweis per Induktion[2].

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Uwe Schöning: Theoretische Informatik – kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, ISBN 978-3-8274-1824-1, 1.3 Kontextfreie Sprachen.
  • Ingo Wegener: Theoretische Informatik. Eine algorithmenorientierte Einführung. B.G. Teubner, Stuttgart, ISBN 3-519-02123-4, 7.1 Die Greibach-Normalform für kontextfreie Grammatiken.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Norbert Blum, Robert Koch: Greibach Normal Form Transformation Revisited. In: Information and Computation. 150, Nr. 1, 1999, S. 112–118. doi:10.1006/inco.1998.2772.
  2. Beweis der Konstruktion des Kellerautomaten aus der GNF