Chordale Metrik

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Die chordale Metrik ist eine Metrik auf der riemannschen Zahlenkugel, die mithilfe der stereografischen Projektion definiert wird.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit wird die in den euklidischen Raum eingebettete Sphäre bezeichnet. Sei nun die Umkehrabbildung der stereografischen Projektion durch den Nordpol mit . Für zwei Punkte auf der riemannschen Zahlenkugel ist die chordale Metrik definiert durch

,

wobei die euklidische Norm bezeichnet.

Für Punkte ergibt sich explizit die Darstellung

.

Für und kann die Darstellung

ermittelt werden und für gilt

.[1]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die riemannsche Zahlenkugel ist bezüglich der chordalen Metrik ein kompakter metrischer Raum. Da in für ein beliebiges die chordale Metrik und die euklidische Metrik äquivalent sind, sind Eigenschaften wie Offenheit oder Abgeschlossenheit von beschränkten Teilmengen von für die beiden Metriken identisch.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da es auch eine stereografische Projektion von der -Sphäre in die Einpunktkompaktifizierung von gibt, kann die obige Definition verallgemeinert werden und man erhält dadurch, dass bezüglich dieser Metrik auch ein kompakter metrischer Raum ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. Walter de Gruyter 2007, ISBN 9783110195392, S. 354–355.