Chow-Gruppe

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Chow-Gruppen eine wichtige Invariante von Varietäten.

Definition

Sei $X$ eine glatte, irreduzible, projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i

${\mathcal {Z}}^{i}(X)$

ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen (nicht notwendig glatten) Untervarietäten $W\subset X$ der Kodimension $i$. Ein Element $Z\in {\mathcal {Z}}^{i}(X)$ ist also eine endliche Summe

$Z=\sum _{\alpha }n_{\alpha }W_{\alpha }$

mit $n_{\alpha }\in \mathbb {Z}$ und $W_{\alpha }\subset X$ irreduzible Untervarietät der Kodimension $i$.

Zwei Untervarietäten

$Y,Z\subset X$

heißen rational äquivalent, wenn es eine Untervarietät

$V\subset X\times P^{1}$, welche flach über $P^{1}$ ist,

sowie $a,b\in P^{1}$ mit

$pr_{X}(V\cap X\times \left\{a\right\})=Y,pr_{X}(V\cap X\times \left\{b\right\})=Z$

gibt. Rationale Äquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zykelgruppe ${\mathcal {Z}}^{i}(X)$.

Die Chow-Gruppe $CH^{i}(X)$ ist definiert als Quotient der Zykel-Gruppe modulo rationaler Äquivalenz:

$CH^{i}(X)={\mathcal {Z}}^{i}(X)/\sim$.

Chow-Ring

Das Schnittprodukt $\times$ von Untervarietäten (anschaulich: modulo rationaler Äquivalenz bringt man Untervarietäten in allgemeine Lage und nimmt dann ihren Durchschnitt) definiert eine Abbildung

$CH^{i}(X)\otimes CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X)$

für alle $i,j$. Der Chow-Ring ist die direkte Summe der Chow-Gruppen

$CH(X)=\bigoplus _{i=0}^{\infty }CH^{i}(X)$

mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation.

Mittels des Schnittprodukts $\times \colon CH^{k}(X)\otimes CH^{l}(X)\to CH^{k+l}(X)$ definiert man das globale Schnittprodukt $\cdot \colon CH^{k}(X)\otimes CH^{l}(X)\to CH^{k+l-\dim(X)}(X)$ durch

$x\cdot y:=\Delta ^{*}(x\times y)$

für die diagonale Einbettung $\Delta \colon X\to X\times X$.

Beispiele

• Für jede glatte, irreduzible Varietät ist

$CH^{0}(X)=\mathbb {Z}$.

• $CH^{1}(X)$ ist die Picardgruppe

$CH^{1}(X)=Pic(X)$.

• Für den $n$-dimensionalen affinen Raum $A^{n}$ gilt

$CH^{k}(A^{n})=0$ für $k\not =0,n$,

$CH^{n}(A^{n})=\mathbb {Z}$.

• Für den $n$-dimensionalen projektiven Raum $P^{n}$ gilt

$CH^{k}(P^{n})=\mathbb {Z}$ für $0\leq k\leq n+1$

$CH^{k}(P^{n})=0$ für $k>n+1$

Beziehung zur algebraischen K-Theorie

Sei $K(X)$ der Funktionenkörper der Varietät $X$ und $K_{*}^{M}(K(X))$ die Milnorsche K-Theorie dieses Körpers. Dann ist

$CH^{k}(X)=\operatorname {Kokern} \left(\bigcup _{x\in X_{(p+1)}}K_{1}^{M}(K(X))\to \bigcup _{x\in X_{(p)}}K_{0}^{M}(K(X))\right),$

wobei $X_{(p)}$ die Menge aller Punkte von $X$ der Dimension $p$ ist.

Literatur

• Wei-Liang Chow: On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, Band 64, 1956, S. 450–479, ISSN 0003-486X
• William Fulton: Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323