Chow-Gruppe

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In der Algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Chow-Gruppen eine wichtige Invariante von Varietäten.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine glatte, irreduzible, projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i

ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen (nicht notwendig glatten) Untervarietäten der Kodimension . Ein Element ist also eine endliche Summe

mit und irreduzible Untervarietät.

Zwei Untervarietäten

heißen rational äquivalent, wenn es eine Untervarietät

, welche flach über ist,

sowie mit

gibt. Rationale Äquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zykelgruppe .

Die Chow-Gruppe ist definiert als Quotient der Zykel-Gruppe modulo rationaler Äquivalenz:

.

Chow-Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Schnittprodukt definiert eine Abbildung

für alle . Der Chow-Ring ist die direkte Summe der Chow-Gruppen

mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für jede glatte, irreduzible Varietät ist
.
  • ist die Picardgruppe
.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Chow, Wei-Liang (1956), "On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety", Annals of Mathematics 64: 450–479, ISSN 0003-486X
  • Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323