Picardgruppe

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Die Picardgruppe ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie. Sie ist eine wichtige Invariante von kommutativen Ringen mit Eins und Schemata. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Émile Picard.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Die Picardgruppe von Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Modul über einem Ring , so wird projektiv vom Rang 1 genannt, wenn er projektiv ist und lokal vom Rang 1 ist, wenn also für alle Primideale von gilt:

Sind und projektiv vom Rang 1, dann auch

und der duale Modul

Es gilt:

und

Die Isomorphieklassen von projektiven Moduln vom Rang 1 über einem Ring bilden daher eine Gruppe. Diese wird als Picardgruppe bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Pic als Funktor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Ringhomomorphismus

induziert einen Gruppenhomomorphismus

denn durch wird zu einer -Algebra. Ist ein projektiver Modul vom Rang 1 über , so ist

ein projektiver Modul vom Rang über .

ist ein kovarianter Funktor.

Die Picardgruppe und die Idealklassengruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei eine multiplikative Menge ohne Nullteiler. (Eine Menge ist multiplikativ, wenn und .) Ein -Ideal ist ein -Untermodul von , für das es ein Element gibt, sodass

Bezeichne

die Menge der invertierbaren S-Ideale von und

die Menge der invertierbaren Hauptideale.

wird als die -Idealklassengruppe bezeichnet.

Es existiert eine exakte Folge:

Um also die Picardgruppe als Idealklassengruppe darzustellen, muss eine multiplikative Menge ohne Nullteiler gefunden werden, sodass

ist.

Wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

  • ist ein Integritätsring und
  • ist ein reduzierter Ring, der nur endlich viele minimale Primideale hat und
  • ist noethersch und

Dann ist die Picardgruppe von gleich der -Idealklassengruppe von .

Die Picardgruppe eines Schemas[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Definition für Ringe lässt sich auf geringte Räume, insbesondere auf Schemata übertragen.

Eine invertierbare Garbe eines geringten Raumes ist eine lokal freie Modulgarbe vom Rang 1.

Sind und invertierbare Garben auf einem geringten Raum, dann ist auch eine invertierbare Garbe. Außerdem gibt es eine invertierbare Garbe

sodass

Ferner gilt:

Die Picardgruppe eines geringten Raumes, insbesondere eines Schemas, ist die Gruppe der Isomorphismenklasse von invertierbaren Garben mit dem Tensorprodukt als Verknüpfung.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Picardgruppe ist isomorph zur ersten Kohomologiegruppe:

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist

der projektive Raum über einem Körper, so ist

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]