Diskussion:Einbettungssatz von Nash

Sollte das nicht "isomorph" statt isometrisch heissen?

Nein.--Gunther 17:04, 19. Jun 2006 (CEST)

Gibt es Beweise oder zumindest Beweisskizzen zum Einbettungssatz? Ein Satz ohne Beweis ist relativ unnötig. --83.187.187.186 22:19, 22. Sep. 2009 (CEST)

Warum denn? Man kann den Satz anwenden. -- Digamma 11:39, 19. Jun. 2010 (CEST)

In dem Artikel wird indirekt der Körper der reellen Zahlen angenommen. Jedoch müsste sich der Satz auch auf beliebige Körper verallgemeinern lassen. Für welche Körper wurde der Satz ursprünglich definiert?--86.32.120.51 13:10, 8. Apr. 2010 (CEST)

Riemannsche Mannigfaltigkeiten gibt es nur über dem Körper der reellen Zahlen. Insofern lässt sich der Satz auch nicht auf beliebige Körper verallgemeinern. Schließlich geht es um Differenzialgeometrie, eine wesentliche Eigenschaft einer Einbettung einer Mannigfaltigkeit ist, dass die Abbildung differenzierbar ist. Über anderen Körpern (außer $\mathbb {C}$) ergäbe das alles gar keinen Sinn. --Digamma 09:32, 22. Mai 2010 (CEST)

Wie ist die Schranke für die Dimension zu verstehen?

$n\geq m+1$ soll heißen, dass die obere Schranke oberhalb von $m$ liegen muss? (welche, für die $n=m$ möglich ist, gibt es natürlich ;)) Und ist auch bewiesen, dass die $n={\text{großer Bruch}}$-Schranken tatsächlich erreicht werden? Wäre schön, wenn das jemand alles ein wenig präziser formulieren könnte, ich kann es nicht und werde aus dem englischen Artikel auch nicht 100%ig schlau (dort wird immerhin erklärt, dass $k\geq 3$ hier auch $k=\infty$ oder Analytizität bedeuten kann). --Chricho ¹ ² ³ 17:21, 12. Jun. 2012 (CEST)

Die Ungleichung ist so zu verstehen, dass fuer jede riemannsche Mannigfaltigkeit eine Einbettung moeglich ist (unter den angegebenen Differenzierbarkeitsbedingungen). Bei den Gleichungen ist es genauso, fuer diese Dimension ist fuer jede RM eine Einbettung moeglich.--Claude J (Diskussion) 07:55, 13. Jun. 2012 (CEST)

Die Ungleichung verstehe ich immer noch nicht. Eine Einbettung in welche Dimension ist immer möglich? In irgendeine? D. h. für das $n$ ist keine obere Schranke bekannt? Was ist das $m+1$? --Chricho ¹ ² ³ 11:01, 13. Jun. 2012 (CEST)

Immer moeglich ist eine Einbettung in einen euklid. Raum der Dimension n, die die Ungleichung erfuellt, dim m ist die Dimension der riemannschen Mannigf. (obere Schranken sind hier sinnlos, falls in dim n einbettbar trivialerweise auch in dim n+1)--Claude J (Diskussion) 11:19, 13. Jun. 2012 (CEST)

Ich meinte eine obere Schranke für die minimal benötigte Zahl an Dimensionen. --Chricho ¹ ² ³ 11:53, 13. Jun. 2012 (CEST)

Die angebenen Terme geben doch obere Schranken für die minimal benötigte Dimension an. Es wird keine Aussage darüber gemacht, wie groß die Dimension mindestens sein muss. Irgendwie verstehe ich nicht, was du nicht verstehst. --Digamma (Diskussion) 13:41, 13. Jun. 2012 (CEST)

Ich versuche, irgendetwas daraus zu lesen, dass da einmal ein $\geq$ steht und einmal ein $=$ – soll das also beides dasselbe bedeuten? --Chricho ¹ ² ³ 16:54, 13. Jun. 2012 (CEST)

Ich denke ja. Wenn es eine Einbettung für n = ... gibt, dann gibt es erst recht eine für n ≥ ... Ich kenne leider die Beweise nicht und weiß deshalb nicht, ob dort explizit für eine bestimmte Dimension gezeigt wird, dass eine Einbettung existiert (das würde die Schreibweise mit = erklären), oder ob zunächst nur gezeigt wird, dass es für hinreichend großes n eine Einbettung gibt und erst in einem nächsten Schritt, dass n hinreichend groß ist, wenn es größer ... ist (das spräche für die Schreibweise mit ≥ ). --Digamma (Diskussion) 20:26, 13. Jun. 2012 (CEST)

Ich denke auch, die Formulierung steht so in dem Aufsatz on Guenther (ICM Kyoto pdf). Die schranke im Fall C1 ist aber falsch, auch in der engl. wiki. Es muss 2 m + 1 heissen, nicht m +1.--Claude J (Diskussion) 20:32, 13. Jun. 2012 (CEST)