Diskussion:Funktionentheorie

Charakterisierung Satz von Picard

Da war ich vorhin zu schnell. exp(1/z) hat natürlich eine wesentliche Sing. in 0. Nehmen wir stattdessen 1/z exp(z). Diese Funktion hat in 0 einen Pol, nimmt aber alle Werte ausser 0 an.

Beweis hierfür: die Funktion wird sicher nicht 0. Mehr Werte kann sie aber nicht auslassen, da sie im unendlichen eine wesentliche Singularität hat und daher nach Picard in jeder Umgebung von Unendlich alle Werte ausser 0 annimmt. --MaLeZig (Diskussion) 09:10, 20. Mär. 2013 (CET)

ergaenzungsvorschlag

Ich schlage folgende Ergänzung vor:

Im folgenden sei U eine offene Teilmenge von C, a ein Element aus U, f eine Abbildung von U in C, dann heisst f komplex differenzierbar in a, wenn folgendes gilt:

$f'(a)=\lim _{w\to 0}{\frac {f(a+w)-f(a)}{w}}$

Dabei wird vorausgesetzt, dass w und w + a in U liegen, also im Definitionsbereich von f. Der Limes auf der rechten Seite existiere für jedes a aus U, die linke Seite wird dann als f'(a) definiert.

Man kann zeigen, dass die Funktion f', die man auf diese Weise erhält, wieder holomorph ist. f' heisst Ableitung von f.

f ist als komplexwertige Funktion in der Form f = u + iv darstellbar, mit reellwertigen Funktion u und v, für eine komplexe Zahl z aus U gilt dann f(z) = u(z) + iv(z).

z lässt sich als komplexe Zahl in der Form z = (x,y) darstellen, mit reellen Zahlen x und y: f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y).

Daher lassen sich die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial u}{\partial x}}$ und ${\frac {\partial u}{\partial y}}$, sowie ${\frac {\partial v}{\partial x}}$ und ${\frac {\partial v}{\partial y}}$ bilden.

Man kann zeigen, dass die komplexe Differenzierbarkeit mit folgenden Eigenschaften der partiellen Ableitungen gleichwertig ist:

${\frac {\partial u}{\partial x}}$ = ${\frac {\partial v}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial u}{\partial y}}$ = $-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Dies sind die Cauchy Riemannschen partiellen Differentialgleichungen. Sie implizieren, dass u und v harmonische Funktionen sind.

Vielleicht kann man das auch unter "komplex differenzierbar" oder "Cauchy Riemannsche partielle Differentialgleichungen" bringen.

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Die nachfolgenden Abschnitte sind zum Teil in den Links zur Funktionentheorie erfasst, ich fasse also im wesentlichen nur zusammen, was vielleicht in einem Übersichtsartikel über Funktionentheorie Verwendung finden könnte.

Holomorphe Funktionen bilden die Klassen der komplex differenzierbaren Funktionen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich in Potenzreihen entwickeln lassen. Dabei kann es vorkommen, dass nur endlich viele der Koeffizienten von Null verschieden sind.

Bei der Entwicklung in Potenzreihen zeigt sich, dass ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion existiert, den man in der reellen Analysis nicht erkennt, ausgedrückt wird dieser Zusammenhang durch die Eulersche Identität.

Meromorphe Funktionen sind holomorph bis auf Polstellen. Polstellen bezeichnet man auch als Singularitäten.

Die Reihenentwickung dieser Funktionen enthält über den holomorphen Teil hinaus Potenzen der Form ${\frac {1}{z}},{\frac {1}{z^{2}}},...,{\frac {1}{z^{n}}}$ ,wobei n die Ordnung des Poles angibt.

Daneben gibt es Funktionen mit wesentlichen Singularitäten. Sie sind dadurch charakterisiert, dass eine Funktion in jeder Umgebung einer solchen Singularität jeden beliebigen komplexen Zahlenwert annehmen kann. Wesentliche Singularitäten sind keine Polstellen. Die Reihenentwicklung bricht für negative Exponenten $z^{-n}$ nicht ab (Laurentreihen mit unendlich vielen von Null verschiedenen Koeffizienten für negative Exponenten).

Der Residuensatz ermöglicht die Berechnung von (uneigentlichen) Integralen, und ist somit für die Ingenieurmathematik wichtig. Komplexe Zahlen sind fester Bestandteil der Programmiersprache Fortran, die in mathematisch physikalischen Umgebungen immer noch verwendet wird.

Komplexe Zahlen ermöglichen die Angabe sogenannter n.ter Einheitswurzeln, z.B. hat die Gleichung $z^{n}=1$ genau n verschiedene Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen.

Die Diskussion der analytischen Fortsetzbarkeit von Funktionen, z.B. von $f(z)=z^{n}$, ist ein Thema der Funktionentheorie und es führt u.a. zur Definition Riemannscher Flächen.

Weitere Themen sind das Randverhalten von meromorphen Funktionen auf Gebieten, insbesondere im Einheitskreis, und unter welchen Bedingungen sie sich auf den Rand stetig oder analytisch fortsetzen lassen. WoSa 14:21, 15. Apr 2004 (CEST)

Unpräzise

Hm, ich habe die Funktionentheorie nicht mehr 100% drauf und gerade auch keine Zeit alles nachzuschauen, aber der Artikel kommt mir nicht sauber vor. Ich schreibe einfach mal auf, was mir auffällt - kann man dann bei Gelegenheit mal nachprüfen (kann mich ja auch irren :-):

• Der Unterschied zwischen 2-dimensional reell differenzierbar und komplex differenzierbar wird nicht klar.
  • Wenn ich mich recht erinnere ist die Grenzwertbildung in beiden Fällen eine stärkere Forderung an eine Funktion, als die Grenzwertbildung der 1-dimensionalen reellen Differenzierung, weil man im 1-dimensionalen Fall sich bei der Grenzwertbildung halt nur von links oder rechts nähert (und damit nur diese beiden Grenzwerte übereinstimmen müssen), während im 2-dimensionalen Fall halt viel mehr Wege bei der Grenzwertbildung möglich sind (von links, rechts, oben, unten, schräg oben usw.), die alle den gleichen Grenzwert geben müssen.
  • Bei der 2-dimensionalen Differenzierung folgt allerdings im Allgemeinen nicht, dass auch alle höheren Ableitungen existieren. Warum ist das eigentlich so im komplexen Fall?
• Daher: Bei der Definition der Ableitung, also des Grenzwerts, sollte betont werden, dass $w\to 0$ sich auf einem beliebigen Weg innerhalb der komplexen Ebene (genauer: des Definitionsbereich) gegen 0 nähern kann, nicht nur von links oder rechts (wie beim reellen Fall).
• Bei der gegebenen Definition der komplexen Ableitung sieht man auf den ersten Blick keinen Abstand, im folgenden Satz steht, dass er benötigt wird. Warum eigentlich? (Ich vermute für epsilon-delta Definition des Grenzwerts)
• Eine Cauchyformel wird gegeben, aber die komplexe Integration nicht erklärt (siehe die Frage oben) -> z.B. reelle Parametrisierung des z-Weges, durch z = z(t) (t reell) und Transformation dz = dz/dt dt und der entsprechenden Integralgrenzen..

--Marc van Woerkom 23:44, 23. Aug 2006 (CEST)

Der Unterschied zwischen reeller und komplexer Differenzierbarkeit besteht in der Gültigkeit der C-R-Differentialgleichungen. "Wege" bei Grenzwerten sind eigentlich seit Epsilon-Delta-Zeiten aus der Mode. Dass die höheren Ableitungen existieren, kann man im Kontext der Regularitätstheorie elliptischer Differentialoperatoren sehen. Komplexe Wegintegrale sind unter Kurvenintegral erklärt.--Gunther 22:34, 30. Aug 2006 (CEST)

In der Zwischenzeit habe ich Zeit für das Buch von Remmert gefunden. Deine Bemerkung mit den C-R-DGln stimmt zwar, der eigentliche Grund lässt sich aber wesentlich einsichtiger ausdrücken durch "muss C-linearisierbar" (statt nur "R-linearisierbar") sein. "Wege" waren im anschaulichen Sinne, z.B. bei der Folgenwahl, gemeint, nicht im streng topologischen Sinne. Sehe ich übrigens gerade auch im Remmert, wenn er bei den C-R-Dgln c+ih oder c+h (c komplex, h reell) gegen c laufen lässt. --Marc van Woerkom 03:58, 3. Sep 2006 (CEST)

Der Satz "Sie lassen sich in Laurentreihen entwickeln, die aber nur endlich viele Reihenglieder besitzen, bei denen Potenzen mit negativen Exponenten vorkommen." zu den meromorphen Funktionen ist missverständlich. Heißt das, dass die Laurentreihe nur endlich viele Glieder hat, oder soll es heißen, dass nur endlich viele Glieder negative Exponenten haben? 91.9.215.98 15:58, 21. Apr. 2007 (CEST)

Geometriesche Aspekte fehlen

Dieses Lemma beschäftigt sich nur mit der Funktionentheorie, welche man in der ersten Vorlesungsreihe über dieses Thema behandelt. Riemann'sche Fläche und die Resultate dort fehlen komplett genauso wie komplexe Mannigfaltigkeiten. Ebenso geht aus dem Artikel nicht hervor, dass man mit Algebraische Geometrie in der Funktionentheorie sehr weit kommt, bzw. dass Funktionentheorie und algebraische Geometrie einen großen Schnitt haben.

Begriff Funktionentheorie

Hallo,

Es wäre eventuell erwähnenswert dass der Begriff "Funktionentheorie" nicht immer für die komplexe Analysis gestanden hat, sondern auch genereller als "theorie der funktionen" gelehrt/geforscht/geschrieben wurde. (nicht signierter Beitrag von 83.219.116.120 (Diskussion) 23:34, 23. Nov. 2016 (CET))

Warum?

Warum können Mathematiker in einem allgemeinen Lexikon (!) nicht so schreiben, dass es auch geniessbar ist? Nein, es macht keine Freude. Ich überlege ernsthaft, meine Spenden einzustellen. Es fängt schon bei formalen Dingen an:Geht man mit der Maus über die blauen Wörter, werden diese in einem Kasten näher erläutert (siehe: eindimensional). Bei 'komplexen Differenzierbarkeit' wird von 'Holomomorphie' geschwärmt, bei 'komplexen Abstandsbegriff' nur von komplexen Zahlen und nicht vom Abstand. Bei f(a+w) wird nicht definiert, ob a, w komplex sind. Hier fehlt es schlicht an der Didaktik. Man sollte nur Leute so Artikel schreiben lassen, die auch Ahnung haben - vom verständlichen Schreiben. D. May 2003:F7:AF35:8800:D55:8FA7:7441:AB28 03:00, 30. Jan. 2021 (CET)