Diskussion:Lineare Hülle

L((1,0)(0,1)) = R x R ist klar. Aber: Was ist eigentlich die lineare Huelle der leeren Menge? Auch der triviale Raum {0} muss sich doch erzeugen lassen.

Genau. Der triviale Raum ist die lineare Hülle der leeren Menge. (Bei der Definition mittels Linearkombinationen muss man dabei zulassen, dass die Anzahl der Summanden null ist.) --Digamma 20:01, 30. Jan. 2008 (CET)

Schreibweise

wieso wird einmal span{} und einmal span() geschrieben?

Der Einfachheit halber lässt man die runden Klammern weg wenn die Menge selbst mit geschweiften Klammern dargestellt wird. --Digamma 20:01, 30. Jan. 2008 (CET)

Fehler?

Bin grad am Mathelernen und da fragte ich mich: was ist eigentlich ein Erzeugendensystem?

hier steht:

Die Menge der Vektoren $\{\mathbf {v} _{i}:i\in I\}$ wird Erzeugendensystem von U genannt."

jedoch ist es doch vielmehr so: http://www1-c703.uibk.ac.at/users/netzer/MatmetVo05Teil2.pdf

also:

"Die Vektoren v v V r 1,K, ∈ nennt man Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor aus V als Linearkombination dieser Vektoren dargestellt werden kann."

aber das kann ich der Definition hier nicht entnehmen, oder verstehe ich da etwas falsch? --Danz 21:12, 22. Jun 2006 (CEST)

$\{v_{i}\mid i\in I\}$ heißt Erzeugendensystem von $U$, wenn $U$ der Spann der Vektoren ist. Vgl. Erzeugendensystem, ich habe diesen Artikel gerade auf eine mMn wesentlich verständlichere Fassung zurückgesetzt.--Gunther 21:17, 22. Jun 2006 (CEST)

verstehe - da steht ja U, nicht V bei "wird Erzeugendensystem von U genannt." ...ich denke, hier könnte aber eine bessere Erklärung hinzugefügt werden. Die PDF (http://www1-c703.uibk.ac.at/users/netzer/MatmetVo05Teil2.pdf) beschreibt es doch wirklich gut

Eigentlich geht es hier ja gar nicht um Erzeugendensysteme, dazu gibt es den separaten Artikel. Ich habe es jetzt mal in einen eigenen Abschnitt verschoben und umformuliert. Ist es so klarer?--Gunther 22:42, 22. Jun 2006 (CEST)

Ich hab nur ne kurze Frage. Der span von einem einzelnen Vektor also zb span(b) kann ich doch eigentlich auch r*b schreiben wenn r€R ist oder?!

Ja. --KleinKlio 15:07, 10. Nov. 2006 (CET)

Literatur

So weit ich weiß, wie die lineare Hülle nicht einmal in

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 29–30

erwähnt,... --WissensDürster 13:47, 14. Jul. 2009 (CEST)

Doch. -- Momotaro|♨ 14:53, 14. Jul. 2009 (CEST)

Stimmt mein Fehler, wieso hat er auch ein Buch Algebra und ein Buch Lineare Algebra geschrieben .... --WissensDürster 14:46, 16. Jul. 2009 (CEST)

Einleitung

Die ist mir noch zu wenig anschaulich ... und nicht konkret genug.

In der linearen Algebra ist die lineare Hülle oder der Spann einer Teilmenge A (eines K-Vektorraums V) die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus A und Skalaren des Körpers K. Die lineare Hülle bildet einen Untervektorraum. Dieser ist gleichzeitig der kleinste Untervektorraum, der A enthält.

• die Teilmengenbeziehung muss konkretisiert werden, echt oder unecht?
• d.h. kann man den Spann des Vektorraums an sich bilden?
• die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus A und Skalaren des Körpers K.
• hier sollte man erwähnen, dass "Skalare" meist einfache "Zahlen" sind (aus einem Zahlkörper)

Wie wäre es weiter mir folgender Beschreibung der "Menge":

... die Menge aller Vektoren die durch Linearkombination aus gegebenen Vektoren aus A und Skalaren (Zahlen) des Körpers K entstehen.

Irgendwo muss deutlich werden, dass es eine Menge von Vektoren ist, woher die dann kommen folgt darauf. Dabei gebe ich zu den Begriff noch nicht vollständig verstanden zu haben. Vllt. kann jemand die "Teilmenge" A von V näher beschreiben, denn ein Vektorraum ist keine Menge und kann also keine Teilmengen haben, aber eben Teilräume, und wenn das so ist, muss auch nicht nochmal erwähnt werden, dass ein Unterraum entsteht ...

Wenn die Teilmenge A sowieso ein Unterraum ist, dann ist es natürlich der kleinste der A (sich selbst enthält).

Irgendwie komm ich bei der "kleinsten"-Formulierung mit dem Begriff des Erzeugendensystems durcheinander - wie auch andere weiter oben schon.

Die lineare Hülle kann man also von einer beliebigen Menge an Vektoren:

• $\langle (3,0,0),(0,2,0)\rangle$
• $\langle (3,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(6,0,0),(1,1,0)\rangle$

In beiden Fällen ist die lineare Hülle die x-y-Ebene.

Oh weiter unten steht ja auch Eine Menge von Vektoren ist ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle. Daraus könnte man schließen, dass man nur eine Menge von Vektoren braucht, die nicht in Teilmengenbeziehung zu einem Vektorraum stehn müssen. So bin verwirrt, ich les es noch 50 Mal und schreib dann weiter. Grüße --WissensDürster 14:12, 14. Jul. 2009 (CEST)

Lies zuerst vielleicht auch Vektorraum. Zu deinen Einwänden:

• Man kann natürlich die lineare Hülle des ganzen Vektorraums nehmen, das wäre dann wieder der ganze Vektorraum. Man muss also bzgl. „echter“ oder „unechter“ Teilmenge nichts spezifizieren.
• „Skalare“ sind halt Skalare, wie in Vektorraum definiert – „Zahlen“ wäre hier etwas ungenau und würde die Definition unnötig in die Länge ziehen. Ich habe jetzt aber Skalar (Mathematik) verlinkt.
• Deine „Beschreibung der Menge“ steht ja fast identisch schon da. Eine Linearkombination ist halt nicht der Vorgang des Kombinierens, sondern das Ergebnis.
• Ein Vektorraum ist auch eine Menge, einfach mit Zusatzstruktur. Wie du richtig erkannt hast: Nimmt man als Teilmenge einen Unterraum, so bringt der Begriff der linearen Hülle nichts, da bekommt man einfach wieder den Unterraum.
• Zum Beispiel mit (3,0,0) usw.: Richtig.
• eine Menge von Vektoren braucht, die nicht in Teilmengenbeziehung zu einem Vektorraum stehn: „Vektoren“ nennt man die Elemente eines Vektorraums. Es macht also keinen Sinn, von Vektoren zu sprechen, die nicht in einem bestimmten Vektorraum leben.

Grüsse von Momotaro|♨ 14:49, 14. Jul. 2009 (CEST)

Gute Einwände, aber „Skalare“ sind halt Skalare, wie in Vektorraum definiert – „Zahlen“ wäre hier etwas ungenau und würde die Definition unnötig in die Länge ziehen. Ich habe jetzt aber Skalar (Mathematik) verlinkt. Der erste Satz ist und soll keine Def sein, das geschieht unten, die Einleitung soll oma-tauglich sein - und wenn schon (dumme) 2. Semester-Mathe darüber zu lange nachdenken müssen, ist dies nicht geschehen.

In einer Einleitung, davon auszugehn, dass die Begriffe Vektorraum, Linearkombination, Skalar und Körper bekannt sind, ist eher nicht in Ordnung - oder seh ich da was falsch? So anschaulich wie möglichst, kann man trotzdem Dinge wie "Zahlen" in die Runde werfen, wenn man anmerkt, dass das nur ein Beispiel (aus der Schule) ist oder das es verfachend ist und nicht präzise oder kA wie. Und mehr Links helfen da nicht. Hier muss maßvolle Redundanz her ... seit einer Woche dreh ich mich mit diesen Links im Kreis ...

PS: Vektor ist Element eines Vektorraums Vektorraum ist Menge von Vektoren mit Skalar ... überall in den Einleitungen findet man Zirkelschlüsse ... eine ordentliche verständliche Einleitung fehlt bei jedem zweiten Artikel - dafür folgt dann umso mehr Fachjargon (was IPs zu hunderten beweinen). Naja, ich wollte nur spontan auf mein Unverständnis aufmerksam machen. Schön, dass du so schnell reagiert hast. Grüße --WissensDürster 19:09, 14. Jul. 2009 (CEST)

Du hast recht, die Einleitung könnte im Idealzustand noch ein bisschen verständlicher sein. Ich finde aber nicht, dass es in diesem Fall einen Zirkelschluss gibt: Sicher kann man in diesem Artikel voraussetzen, dass man schon schon gut verstanden hat, was ein Vektorraum ist (und beim Vektorraum, was ein Körper ist) – man würde auch niemandem erklären, was eine Walexplosion ist, wenn er nicht weiss, was ein Wal ist. ;-) Die Definition eines Vektorraums krankt da aber etwas daran, das stimmt. Wenn du noch Verständnisfragen hast, kannst du mich gerne auf meiner Diskussionsseite ansprechen. -- Momotaro|♨ 15:35, 16. Jul. 2009 (CEST)

Man muss mit der Dummheit der anderen Rechnen, nicht nur im Straßenverkehr. Ich z.B. habe es nicht voll verstanden, überhaupt sollte man in der Mathematik eher alles mit Mathematischen Grundbegriffen erklären, z.B. Mengen und Vektoren - mehr kann man von einem Menschen nicht erwarten. Eine Menge ist ein Haufen Dinger und ein Vektor ist ein Pfeil - wie ein Kugelschreiber in meiner Hand. Aber genug der Grundsatzdiskussion. Muss lernen --WissensDürster 17:56, 16. Jul. 2009 (CEST)

Artikel Erzeugnis

Sollte dieser Artikel vielleicht auf den Artikel Erzeugnis verweisen oder sogar mit diesem zusammengelegt werden? Lineare Hülle behandelt ja das Erzeugnis in Vektorräumen, der Artikel Erzeugnis behandelt dies auch in Gruppen bzw. topologischen Räumen. Wollte noch nichts ändern, da dies mein erster Beitrag zur Wikipedia ist :)

Grüße Daniel -- 87.180.26.222 11:57, 8. Mär. 2011 (CET)

Verweisen sicher. Zusammenlegen würde ich die beiden Artikel nicht. Man sollte die lineare Hülle eines Vektorraums verstehen können, ohne den allgemeinen Begriff zu kennen oder zu verstehen. Ich füge mal ein "Siehe auch" ein, besser wäre aber ein kurzer Abschnitt "Verallgemeinerung" oder ähnlich.-- Digamma 13:19, 8. Mär. 2011 (CET)

Verband - Fehler

Die angesprochene Verbandsstruktur ist im allgemeinen nicht distributiv (und damit auch nicht boolesch). Dies wird klar, wenn man bedenkt, dass die direkten Summanden im allgemeinen nicht eindeutig sind und Komplemente in distributiven verbandbeschränkten Verbänden eindeutig sind. --46.126.204.156 22:03, 3. Apr. 2011 (CEST)

Stimmt. Ein einfaches Gegenbeispiel: Es seien U,V und W drei verschiedene eindimensionale Unterräume des R^2. Dann gilt

$U\wedge (V\vee W)=U\cap \mathbb {R} ^{2}=U$,

aber

$(U\wedge V)\vee (U\wedge W)=\{0\}\oplus \{0\}=\{0\}.$

Ich werde es ändern.-- Digamma 22:15, 3. Apr. 2011 (CEST)

Verwechslungsgefahr bei 2 Erzeugenden

Leider entspricht die Schreibweise mit den dreieckigen Klammern bei 2 Erzeugenden gerade der des Skalarprodukts.--Slow Phil (Diskussion) 12:33, 4. Apr. 2012 (CEST)

Das ist jedoch nicht mehr der Fall, wenn man das nicht als Span der beiden Vektoren, sondern aus Span der Menge auffasst und schreibt, die aus beiden Vektoren besteht. U.a. deshalb habe ich innerhalb der dreieckigen Klammern geschweifte hinzugefügt.--Slow Phil (Diskussion) 21:28, 26. Nov. 2013 (CET)

Definition der linearen Hülle

Man definiert die lineare Hülle im Allgemeinen für Systeme von Vektoren, nicht nur für Mengen. Das macht auch viel mehr Sinn, denn der Spann eines Erzeugendensystems eines Vektorraums V soll für beliebige Erzeugendensysteme der ganze V sein. Beliebige Erzeugendensysteme bedeuten aber, dass Vektoren auch doppelt vorkommen dürfen was in einer Menge nicht geht. Also ist der Spann nach hiesiger Definition dann nur für die Systeme von Vektoren definiert in denen kein Vektor doppelt vorkommt. Das sollte geändert werden. (nicht signierter Beitrag von 134.91.55.248 (Diskussion) 21:11, 16. Nov. 2012 (CET))

Dass Vektoren mehrfach vorkommen können, spielt eine Rolle bei linearer Unabhängigkeit. Bei Basen werden oft Familien betrachtet, weil bei der Koordinatendarstellung eines Vektors bezüglich einer Basis die Reihenfolge bzw. Indizierung der Basisvektoren eine Rolle spielt. Bei der linearen Hülle sehe ich hingegen keinen Sinn, Familien von Vektoren zu betrachten, außer dem, dass man dann für dieselbe Familie die Frage untersuchen kann, ob sie linear unabhängig ist und ob sie den ganzen Raum erzeugt. Die lineare Hülle einer Familie ist aber nichts anderes, als die lineare Hülle der Bildmenge. Auch nach der Definition im Artikel ist der Spann dadurch auch für Systeme von Vektoren definiert, in denen ein Vektor mehrfach vorkommt. Das mehrfache Vorkommen spielt schlicht keine Rolle. Mengen zu betrachten, macht deshalb mehr Sinn, weil die lineare Hülle einfach der kleinste Unterraum ist, der die Menge umfasst. Sonst müsste man sagen, der jedes Element der Familie enthält. Außerdem ist der Spann dann auch für solche Mengen definiert, die nicht indiziert sind. Die lineare Hülle wird ja oft auch von größeren Teilmengen gebildet. --Digamma (Diskussion) 16:01, 17. Nov. 2012 (CET)

Mengenklammern

Aus den Beispielen:

"[...] Ihre lineare Hülle $\left\langle (3,0,0),(0,2,0)\right\rangle$ ist die x-y-Ebene".

Müsste das nicht folgendes sein: $\left\langle \left\{(3,0,0),(0,2,0)\right\}\right\rangle$ (man beachte die Mengenklammern), da die Notation sonst mit der des Skalarproduktes $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ (hier z.B. $\left\langle (3,0,0),(0,2,0)\right\rangle =3\cdot 0+0\cdot 2+0\cdot 0=0$) kollidiert? 62.158.30.66 11:11, 16. Nov. 2017 (CET)

Formal ja, da die lineare Hülle von der Menge $\left\{(3,0,0),(0,2,0)\right\}$ gebildet wird. In der Praxis lässt man bei endlichen Mengen die Mengenklammern weg. Verwechslungsgefahr mit dem Skalarprodukt sollte eigentlich nicht bestehen, da das eine eine Menge, das andere eine Zahl bezeichnet. --Digamma (Diskussion) 19:55, 16. Nov. 2017 (CET)

Lineare Hülle der leeren Menge

Mit der Definition im Artikel ist die lineare Hülle der leeren Menge die leere Menge. Das wäre aber kein Vektorraum, wie sonst üblich. Deshalb muss man die leere Linearkombination zulassen, also eine ohne Vektoren, also auch n=0.

Oder habe ich da einen Denkfehler?

Lies mal noch ein bisschen weiter: Das steht schon im Artikel. -- HilberTraum (d, m) 19:22, 11. Jul. 2018 (CEST)

Wenn die natürlichen Zahlen bei 1 losgehen sollen, dann liefert die konstruktive Definition des Artikels doch wirklich im Fall der leeren Menge als lineare Hülle die leere Menge. Man muss also wirklich n=0 explizit zulassen (oder sollte daran erinnern, dass die natürlichen Zahlen "selbstverständlich" bei 0 losgehen). --Lutz Mattner (Diskussion) 20:39, 30. Jan. 2022 (CET)