Diskussion:Lokaler Körper

Definition grob falsch

Die Definition in diesem Artikel ist so leider nicht richtig. Es gibt viel mehr vollständig metrische Körper als lokale. Beispielsweise sind die formalen Laurant-Reihen k((X)) über jedem Körper k immer vollständig metrische Räume, aber nur über endlichen k sind diese lokale Körper.

Ich würde dafür plädieren, die gewöhnlichere Definition (topologischer Körper, lokalkompakt und nichtdiskret) zu nehmen und die Metrisierbarkeit mit einer Bewertungsfunktion dann als Satz zu erwähnen. Alternativ kann man auch die vollständige diskrete Bewertungsfunktion mit endlichem Restkörper nehmen -- wie ich es in der Versionshistorie gesehen habe, dann hat man aber die reellen und komplexen Zahlen nicht als lokale Körper, da gibt es beide Definitionen, die momentane auf dieser Seite ist jedenfalls keine Option. Meinungen? --CoTangent (Diskussion) 18:33, 13. Mär. 2020 (CET)

Das war auch nicht als Definition gemeint, die Definition ist im Hauptteil, war aber mißverständlich. Die Zusammenfassung sollte möglichst allgemeinverständlich sein so dass es meiner Ansicht nach besser ist dort nur Beispiele zu nennen. Habe das mal umformuliert. Ob reelle und komplexe Zahlen mitgezählt werden ist nicht einheitlich. Der Encyclopedic Dictionary of Mathematics (Ito u.a., MIT Press, 1993, Band 1, S. 952) schreibt z.B. im Artikel Local Field: "A field k that is complete with respect to a discrete valuation is called a local field if its field of residual classes ist finite (real and complex number fields are sometimes also called local fields, these however are not considered in this article)". Also wie im Hauptteil dargestellt.--Claude J (Diskussion) 12:18, 14. Mär. 2020 (CET)

Danke für die schnelle Antwort, dann war ich da mit meinem Urteil wohl etwas voreilig. So richtig zufrieden bin ich mit dem aktuellen Zustand aber trotzdem nicht. Momentan gibt es keine saubere Definition, sondern nur eine Aufzählung von Beispielen, die da wir ja die komplette Klassifikation haben, natürlich alle lokalen Körper umfasst, aber ich könnte mir vorstellen, wenn ich auf den Begriff stoße und einfach nur wissen will, was denn nun ein lokaler Körper ist, würde mich dieser Artikel nicht glücklich machen.

Ab dem Absatz "In der Zahlentheorie ist man ..." find ich den Artikel sehr informativ und gut gelungen, aber der vordere Teil müsste meiner Meinung nach überarbeitet werden. Beispielsweise: "Eine äquivalente Definition ist, dass der Körper als topologischer Raum lokalkompakt ist". Hier ist unklar, worauf sich das äquivalent bezieht: Auf nicht-archimedisch? (ist nicht gemeint) oder auf bewertet mit endlichem Restkassenkörper (ist gemeint, aber auch nur wahr, wenn wir an irgendeiner Stelle alle diskreten Körper verbieten).

"Häufig wird in der Literatur auch nur dieser Fall betrachtet" - welcher Fall? lokalkompakt? (ist nicht gemeint) oder nicht-archimedisch (ist gemeint). "Laurent-Reihen bzw. Rationale Funktionen F(T)" liest sich so als wär das zweimal das selbe?

Eventuell komm ich in den nächsten Tagen mal dazu, einen Gegenentwurf zu basteln und ihn zur Diskussion zu stellen. Viele Grüße, --CoTangent (Diskussion) 12:46, 14. Mär. 2020 (CET)

Alternativvorschlag

Ich habe mal die einleitenden Teile des englischen Artikels übersetzt und mit den unteren Teilen des deutschen Artikels kombiniert und heraus kam das da: Benutzer:CoTangent/Lokaler_Körper_Alternativvorschlag. Ich bin der Meinung, diese Version ist besser als die aktuelle, weil

• jetzt eine formelle Definition gegeben wird
• alles etwas systematischer ist (das ist zugegebenermaßen erstmal nur meine persönliche Meinung)
• die Notation vereinheitlicht ist (in der aktuellen Version werden die Laurent-Reihen manchmal mit einer Klammer und manchmal mit zwei Klammern geschrieben.
• die misverständlichen Zeilen, die mir oben nicht gepasst haben, raus sind. ("Häufig wird in der Literatur auch nur dieser Fall betrachtet" und "Laurent-Reihen bzw. Rationale Funktionen")

Gibt es Meinungen dazu? --CoTangent (Diskussion) 09:45, 20. Mär. 2020 (CET)

PS: Auf dieser Diskussionsseite war bis eben auch ein anderer Alternativvorschlag von mir - um die Übersichtlichkeit zu erhöhen, hab ich den jetzt gelöscht.

Auf den ersten Blick finde ich das gut. Du solltest aber jede Variable erläutern, auch wenn dir das trivial erscheint (ich meine X als freie Variable bei den Laurent-Reihen). Das Haar-Maß sollte im Fall der reellen Zahlen explizit angegeben werden. Auf der Suche nach einer Definition habe ich im Übrigen vor allem in Zahlentheoriebüchern was gefunden, wenig in Algebra-Lehrbüchern. Es wäre gut wenn die nun gegebene Definition irgendwo explizit belegt werden könnte.--Claude J (Diskussion) 16:54, 20. Mär. 2020 (CET)

Freut mich, dass ich dich auf den ersten Blick überzeugen konnte! :-)

Zu den einzelnen Dingen: Ich habe oben mal ergänzt, dass X eine formale Variable ist. Soll ich das unten, wo F((X)) nochmal kommt auch ergänzen? Bei dieser Gelegenheit ist mir aufgefallen, dass im unteren Teil, den ich aus dem aktuellen deutschen Artikel übernommen habe, die freien Variablen t_1 und t_2 heißen. Wenn gewünscht und eventuell eher üblich, kann ich natürlich auch oben alle X durch t ersetzen.

Ich habe mal die Referenz aus dem englischen Artikel (Basic Number Theory (Weil)) für die Definition übernommen. Ohne sie hier zu haben und hineinzuschauen. Ich weiß, dass das schlechte wissenschaftliche Praxis ist, aber Corona-bedingt ist es schwer, an Bücher zu kommen.

Das mit dem Haarmaß verstehe ich nicht. Soll ich dazu schreiben, dass im Falle von K=R das Haarmaß das Lebesgue-Maß ist und dass der erhaltene Betrag genau der gewöhnliche ist?

Viele Grüße, --CoTangent (Diskussion) 17:37, 21. Mär. 2020 (CET)

Nachtrag: Ich glaube, die Formel, die aus der englischen Wikipedia übernommen habe, ist falsch. Und zwar glaube ich, dass sie in genau einem Falle, nämlich C, keinen Betrag liefert, sondern |z|^2, was die Dreiecksungleichung nicht erfüllt... Jetzt würde ich wirklich gerne das Weil-Buch hier haben und hineinschauen... Sehr mysteriös... oder übersehe ich etwas?

Verwirrte Grüße, CoTangent (Diskussion) 17:40, 21. Mär. 2020 (CET)

Zu X: ja und einheitlich, Zu Weil: es reicht wenn man angibt dass die Definition nach Weil, Basic NT ist, dann weiss der Leser wem man folgt. Haarmaß: ja, im Fall R übliches Lebesguemaß. Zur Frage des Zugangs zu bestimmter Literatur schick mir eine email. J. W. S. Cassels, Local Fields, London Math. Soc. Student Texts 3,Cambridge UP 1968, sollte noch in Literatur aufgeführt werden. Ich zitiere mal aus dem Vorwort, S. V: "There is some disagrement in the literature on the precise connotation of the term "local field". Serre (1962) defines it to be a field complete with respect to a discrete valuation but in his contribution to Cassels and Fröhlich (1967) adds the condition that the residue class field must be finite. Weil (1967) takes this more restrictive definition but includes the reals and the complexes. If one excepts the reals and complexes (which are, in any way, complete anomalous) the earliest examples of local fields are the padics, which where introduced by Hensel (1902)." Dann gibt er noch weiteren historischen Überblick. Die Literaturzitate dürften klar sein (Weil 1967 ist Basic NT, Serre 1962 Corps locaux). Unnötig zu sagen dass sein Schwerpunkt p-adische Zahlen und deren Erweiterungen sind.--Claude J (Diskussion) 19:37, 21. Mär. 2020 (CET)

Danke, ich habe die formalen Variablen jetzt einheitlich t genannt und "meine" Version mal hier rüberkopiert. Die von dir vorgeschlagenen Literaturangaben kann man ja noch einbauen.

Der Abschnitt wie man aus dem Haarmaß einen Betrag bastelt, scheint so wirklich nicht zu stimmen, ich hab das mal auf der englischsprachigen Wikipedia-Seite angesprochen und schau mal was passiert. Viele Grüße, --CoTangent (Diskussion) 12:20, 22. Mär. 2020 (CET)