Diskussion:Ordinalzahl

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problematische Schreibweise[Bearbeiten]

Ich habe Probleme mit der Schreibweise ω + ω = {0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < 3' < ...}. Denn 0' ist ja nicht zwangsläufig größer als alles vorangehende. Ich halte die Schreibweise w + w = {0 < 1 < 2 < 3 < ..., 0' < 1' < 2' < 3' < ...} für angemessener. Beispielsweise ist die Menge {0 < 1 < 2 < 3 < ...} = w, und die Menge {0 < 1 < 2 < 3 < ..., Hanspeter} = w + 1. Stephan Trube

Es fehlt die Definition von ω, in etwa "Die Ordinalzahl von \Bbb N heißt ω". --15.195.185.76 12:53, 10. Jan 2006 (CET)

Habe gerade gesehen, die Definition von ω ist im Abschnitt "Addition" versteckt. Das ist etwas unglücklich. --15.195.185.76 12:55, 10. Jan 2006 (CET)

Wikipedia:Sei mutig.--Gunther 12:56, 10. Jan 2006 (CET)

"Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: Zum einen, um die Anzahl der Elemente einer (endlichen) Menge zu beschreiben, und zum anderen, um die Position eines Elements in einer geordneten Menge anzugeben. Während diese beiden Konzepte für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden."

Die beiden Konzepte Kardinal- und Ordinalzahl sind auch schon fuer endliche Mengen unterschiedlich, oder nicht? Beispiel, eine endliche geordnete Menge:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Nun hat diese Menge die Kardinalitaet 6. Allerdings hat diese Menge nicht von vornherein eine Ordinalzahl, sondern, wir muessen doch spezifizieren, von welchem Element der Menge wir die Position, und damit die Ordinalzahl wissen moechten. Also z.B. die Ordinalzahl von 3 (in der Menge M) ist 3. Die natuerliche Zahl axiomatisch als Menge aufgefasst hat allerdings wieder die Kardinalitaet 3. Auch hat das "letzte" Element von M (die 6), die gleiche Ordinalzahl wie die Kardinalitaet von M. Daher wuerde ich sagen, einer von den folgenen Saetzen ist wahr:

- Obiger, zitierter Satz ist falsch

- Obiger, zitierter Satz ist unpraezise

- Ich hab' keine Ahnung und ausserdem habe ich den Artikel und obigen Satz vollkommen missverstanden

Danke, Flo

Eine Ordinalzahl ist selbst eine totalgeordnete Menge (mit Ordnung "Element-von"). Und als totalgeordnete Menge ist die o.a. isomorph zu
6=\{0\in1\in2\in3\in4\in5\}.
Genügt das?--Gunther 09:47, 1. Jul 2006 (CEST)
Naja. Die Konzepte stimmen halt im allgemeinen nicht ueberein (sie sind sogar auf eine gewisse Art und Weise grundverschieden, obwohl verwandt). Kardinalzahlen sind Eigenschaften von Mengen ("Die Menge M hat Kardinalitaet 6"), und Ordinalzahlen sind Eigenschaften von Elementen geordneter Mengen ("Element soundoso aus M hat die Ordinalzahl x).
Was heisst denn genau "die Konzepte sind identisch fuer den endlichen Fall"? Die Definition zumindest sind nicht identisch fuer den endlichen Fall.
Dass man zwischen Kardinal- und Ordinalzahlen einen Isomorphismus herstellen kann aendert doch nichts daran, dass es sich um zwei verschiedene, doch verwandte Konzepte handelt.
Als Informatiker wuerde ich "Type error" rufen :)
Kardinalzahlen: M hat die Kardinalität n, wenn es eine Bijektion zwischen M und {1,...,n} gibt.
Ordinalzahlen: Ein Element m in M hat die Ordinalzahl n, wenn es eine ordnungserhaltende Bijektion zwischen \{x\in M\mid x\leq m\} und {1,...,n} gibt.
Im endlichen Fall gibt es zwischen zwei Mengen genau dann eine ordnungserhaltende Bijektion, wenn es überhaupt eine Bijektion gibt. Für unendliche Mengen ist das falsch.
Etwas formaler: Die Kardinalzahlen sind ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen der Kategorie der Mengen. Die Ordinalzahlen sind ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen der Kategorie der wohlgeordneten Mengen.--Gunther 15:01, 1. Jul 2006 (CEST)
Danke, darueber werde ich erstmal brueten :) Aber du hast den Unterschied doch schoen 'rausgearbeitet. Ordinalzahlen fuer wohlgeordnete Mengen, und Kardinalzahlen fuer alle Mengen..
Update: Ach, ich glaube, ich weiss worauf du hinauswillst. Umgangssprachlich gesagt: "Fuer endliche Mengen kann man als Kardinal- und Ordinalzahlen jeweils natuerliche Zahlen gebrauchen [oder halt irgendwas ordnungsisomorphes].". --FlorianPaulSchmidt - 2. july 2006
Ja. Und für unendliche Mengen macht es eben einen Unterschied, ob man einfach nur jeder Zahl eine Nummer gibt (abzählbar unendliche Menge), oder ob es eine vorgegebene Ordnung gibt, in der man die Elemente abzählt (verschiedene abzählbar unendliche Ordinalzahlen).--Gunther 21:15, 2. Jul 2006 (CEST)
Ok, ich finde die Originalformulierung im Artikel immer noch nicht besonders gelungen. Ich werde mal probieren, dass klarer zu formulieren. --FlorianPaulSchmidt 10:58, 4. Jul 2006 (CEST)

Klasse der Ordinalzahlen - proper class (Unmenge) ?[Bearbeiten]

Ich habe etwas Schwierigkeiten mit der Formulierung "Die Ordinalzahlen lassen sich aufgrund ihrer totalen Ordnung durch die Ordnungstopologie zu einem topologischen Raum machen." im Absatz /*Topologische Eigenschaften*/ (erster Satz).

Nach meinem Kenntnisstand (ungefähr leicht modernisierte Zermelo-Mengenlehre) bildet die Gesamtheit aller Ordinalzahlen keine Menge. Sollte man hier nicht vorsichtiger formulieren?

Variante 1: Statt "Die Ordinalzahlen" "Eine Menge von Ordianlzahlen..."

Variante 2: Erklären, wie eine Unmenge ein topologischer Raum sein kann.

Variante 3: Ich täusche mich und die Ordinalzahlen, die hier erklärt werden, bilden doch eine Menge und ich habe in den oberen Abschnitten etwas übersehen/nicht verstanden. Dann klärt mich bitte hier auf.

--KleinKlio 14:51, 2. Okt 2006 (CEST)

Nachdem ich mir den entsprechenden Abschnitt in der englischen Version [1] und den weiterführenden link [2] durchgelesen habe, ändere ich im Sinne von Variante 1: "Jede Ordinalzahl lässt sich..."

Als rekursive Menge ist eine Ordinalzahl ja selbst eine wohlgeordnete Menge und gerade diese Mengen sind es doch wohl, die topologisch interessant sind (zum Beispiel als Quelle von Gegenbeispielen). Vielleicht war die ursprüngliche Formulierung ja so gemeint?

Unabhängig davon sollte IMHO die Problematik der Unmenge etwas deutlicher hervorgehoben werden.

en:„So we essentially wish to define an ordinal as an isomorphism class of well-ordered sets: that is, as an equivalence class for the equivalence relation of "being order-isomorphic". There is a technical difficulty involved, however, in the fact that the equivalence class is too large to be a set in the usual Zermelo-Fraenkel formalization of set theory. But this is not a serious difficulty. We will say that the ordinal is the order type of any set in the class.“
hier:„Eine andere Folgerung ist der Satz, dass die Klasse aller Ordinalzahlen keine Menge, sondern eine echte Klasse ist. Der Beweis basiert auf dem Regularitätsaxiom, dass keine Menge sich selbst als Element enthält. Wäre die Klasse aller Ordinalzahlen eine Menge, dann wäre sie selbst eine Ordinalzahl, müsste sich also selbst enthalten. (Siehe auch das Burali-Forti-Paradoxon.)“

In beiden Artikeln versteckt sich das Problem in einem Unterabschnitt. Das trägt m. E. der Tatsache zu wenig Rechnung, dass viele Nichtmengentheoretiker den Ordinalzahlen überhaupt nur im Zusammenhang mit Paradoxien begegnen. --KleinKlio 16:17, 2. Okt 2006 (CEST)

Habe einen Verweis auf Unmengen in den Einleitungsteil eingearbeitet. Damit ist die Diskussion aus meiner Sicht erledigt! --KleinKlio 22:57, 7. Okt 2006 (CEST)

Natürliche Zahlen N[Bearbeiten]

Die Natürlichen Zahlen enthalten aber nicht die Zahl 0, oder ? (nicht signierter Beitrag von 89.49.245.187 (Diskussion) 11:10, 6. Okt 2006)

Da gibt es unterschiedliche Konventionen. In diesem Kontext scheint die Variante mit 0 allgemein üblich zu sein.--Gunther 11:14, 6. Okt 2006 (CEST)
Man könnte hinzufügen, dass {0, 1, 2, 3, ...} = {1, 2, 3, ...} ist. Aber {1, 2, 3, ... 0'} > {0, 1, 2, 3, ...}. Ich stehe bei dem Thema noch am Anfang, daher traue ich mich nicht, es selbst zu editieren. Meine aber, dass es eine Eigenschaft der transfiniten Zahlen nochmal verdeutlicht, auch wenn das von mir gesagte bereits aus dem Artikel herauslesbar ist. Stephan Trube
{1, 2, 3, ...} ist keine Ordinalzahl (im Sinne des Artikels), weil 1 keine Teilmenge ist.--Gunther 14:03, 9. Okt. 2006 (CEST)

Ordinalzahlen des Alltags[Bearbeiten]

Der Artikel widmet sich gänzlich den mengentheoretischen Ordinalzahlen. Ein Absatz über die normalen Ordinalzahlen, die im täglichen Leben Verwendung finden und identisch mit der Ganzen Zahl, die das Element abschließt, sind, ist wünschenswert. Alleine die Einleitung beschreibt die normalen Ordinalzahlen, das ist ein bisschen zu wenig. -- Matthias Pester Disk. (Matze6587) 11:24, 11. Jan. 2008 (CET)

Was ist der Unterschied zwischen natürlichen Zahlen und Ordinalzahlen? --Alexandar.R. 11:30, 11. Jan. 2008 (CET)
Null ist nur sehr beschränkt als natürliche Zahl zu betrachten. Die kleinen Ordinalzahlen, die sicher ihren Sinn haben, sind um Eins kleiner als die natürliche Zahl. Das Erste Element, das 1 - 0 = 1 groß ist, wird mit Null indiziert. Deshalb gibt es verschiedene Ordinalzahlen, und der Artikel beschreibt nur eine Sorte - genaugenommen beschreibt er nur die Neumannschen Ordinalzahlen. -- Matthias Pester Disk. (Matze6587) 11:50, 11. Jan. 2008 (CET)
Was könnte man tun - den Abschnitt Die natürlichen Zahlen als geordnete Mengen ausbauen? Vielleicht schlägst Du mal paar Sätze für einen Anfang vor? --Alexandar.R. 12:11, 11. Jan. 2008 (CET)
Nicht ausbauen. Die Sache ist kompliziert. Ich dachte es gibt hier vielleicht einen Experten der das übernimmt. Mein diesbezüglicher Vorschlag wird noch eine Weile dauern. -- Matthias Pester Disk. (Matze6587) 12:20, 11. Jan. 2008 (CET)

Gescheiterte abgeschlossene Lesenswert-Wahl[Bearbeiten]

sehr schön geschiebener Artikel (nicht signierter Beitrag von 91.21.43.6 (Diskussion) ˈʀaɪ̯.nɐ ˈleː.val.tɐ 19:52, 29. Jan. 2008 (CET))

  • keine Ahnung, ob der mathematisch so toll ist, sprachwissenschaftlich ist das Thema nicht ganz uninteressant (Ordinal zur 1 in fast allen sprachen unregelmäßig, oft auch die zwo, zweite wie auch second gibts beide erst seit 14irntwas, z.B.), vielleicht gehört das aber auch in Zahlwort, das mögen mal die Mathematiker entscheiden...--Janneman 20:34, 29. Jan. 2008 (CET)
  • Der Artikelgegenstand ist ja nicht einmal uninteressant, aber er entspricht nicht dem, was der Leser von einem mit „Ordinalzahl“ bezeichneten Artikel erwartet. Wenn der bestehende Artikel schon unter diesem Lemma stehen muss, dann sollte in der Einleitung klipp und klar gesagt werden, dass es darin eben nicht um Ordinalzahlen im sprachlichen Sinne geht, sondern um ein mathematisches Konzept des Herrn Cantor. -- Carbidfischer Kaffee? 20:54, 30. Jan. 2008 (CET)
  • Nichts für ungut, Carbidfischer, aber interdisziplinäre Spitzen bringen uns hier nicht weiter. Man kann seine eigenen Erwartungen nicht immer verallgemeinern. In der Mathematik ist „Ordinalzahl“ nunmal ein wichtiger Begriff und Georg Cantor ist wahrlich kein Feld-, Wald- oder Wiesenmathematiker. Wenn es sprachwissenschaftlich was zum Thema zu sagen gibt (da vertraue ich Jannemann), sollte man sich via Disk oder in einem Review überlegen, wie man das sinnvoll einbringt, ob es besser ist, den Artikel auszubauen oder via BKL ein weiteres Lemma abzuzweigen. Potential für lesenswert scheint auf den ersten Blick jedenfalls vorhanden zu sein, das Hauptproblem der Kandidatur ist für mich die fehlende Betreuung durch den/einen Autoren, weswegen ich mich auch nicht intensiver einlesen werde. Gruß --Wero 23:51, 30. Jan. 2008 (CET)
    In diesem Fall war es eher eine intradisziplinäre Spitze. ;-) Ansonsten schließe ich mich 80.146.118.129 an, die Einleitung und das Lemma sollten entsprechend angepasst werden. -- Carbidfischer Kaffee? 09:52, 31. Jan. 2008 (CET)
  • Ich bin derselben Meinung wie Carbidfischer. Unter diesem Lemma würde ich etwas anderes als eine reine mathematiche Abhandlung erwarten. Daher finde ich das Lemma "Ordinalzahl (Mathematik)" mit einer Begriffsklärungsseite entsprechend Kardinalzahl/Kardinalzahl (Mathematik) besser. In der Einleitung sollte auch darauf hingewiesen werden, daß hier nur der mathematische Aspekt behandelt wird, denn nach dem Einleitungssatz kann man etwas anderes vermuten (übrigens verwende ich beim Zählen nicht Ordinalzahlen). Zum Inhalt kann ich nichts sagen, da ich mich mit dieser mathematischen Materie nicht auskenne. 80.146.118.129 09:40, 31. Jan. 2008 (CET)
  • Welche Wissenschaft sollte den Ordinalzahlen vorrangig behandeln, wenn nicht die Mathematik? Dem Linguisten seien die Ordinalzahlwörter gegönnt. Aber einmal abgesehen davon: Einige Abschnitte (z.B. Bemerkungen und ander Definitionen oder Limes- und Nachfolgerzahlen bedürfen vor einer erfolgreichen Lesenswert-Kandidatur m.E. noch einiger sprachlicher Ausbügelung weg von der Bleiwüste – und auch etwas mehr Ausführlichkeit, die dann möglicherweise mehr Allgemeinverständlichkeit bringen könnte, soweit dies machbar ist.--Hagman 17:06, 31. Jan. 2008 (CET)
nu, dem Mathematiker si gesagt, dass es Ordinlzahlen sprachlicherseits schon gab, als es die Mathematik noch nicht gab. Aber wie gesagt, dass das u.U. auch gut in Zahlwort abgehendlet werden könnte. Könnte. --Janneman 20:07, 31. Jan. 2008 (CET)

Symbol oppose vote.svg Contra--NebMaatRe 20:04, 31. Jan. 2008 (CET)

Ist halt ein typischer Antrag, bei dem nicht vorher mit dem Hauptautoren gesprochen wurde. Das bringt so nichts. --P. Birken 07:00, 1. Feb. 2008 (CET)

Symbol oppose vote.svg Contra weil nur eine Art Ordinalzahlen beschrieben wird die einige Leute verwirrt. -- Matthias Pester Disk. (Matze6587) 04:43, 3. Feb. 2008 (CET)

Ist das hier eine LD? - Ich wäre für Verschieben auf Ordinalzahl (Mathematik). --SonniWP✍ 07:20, 3. Feb. 2008 (CET)


Ich sehe, dass während meiner zweiwöchigen Abwesenheit eine Diskussion stattgefunden hat. Als erstes vorneweg: die Kandidatur ist zu dem Zeitpunkt völlig fehl am Platz. Der Artikel ist ungefähr halbfertig. Es fehlen noch wichtige Themen wie normale, expansive usw. Ordinalzahlfunktionen, Konfinalität, Fixpunkte, Klassen von Ordinalzahl und spezielle Ordinalzahlen, Von-Neuman-Schichtung, unerreichbare Ordinalzahlen und ihre Anwendungen, Auswirkung der Axiomenschema auf die Vielfalt der Ordinalzahlen, Anwendungen der Ordinalzahlen (die Bemühungen vom Anfang des vorigen Jahrhunderts sie zu eliminieren), Zusammenhang zwischen Ordinalzahlen und Kardinalzahlen, offene Probleme usw.. All das muss nicht ins letzte Detail in diesem Artikel erläutert werden, aber zumindest durch Verweise und einleitende Sätze erwähnt werden. Zu den Einzelfragen:

  • Ordinalzahlen im Alltag: Es gab in letzter Zeit anfragen, ob man auch darüber etwas schreiben könnte. Mir fehlt allerdings die Idee für den Anfang. Wie umfangreich ist denn dieses Thema? Ich werde mich auf Vorschläge freuen. Zur Zeit habe ich noch keine Vision welche Lösung die geeignetste wäre. Mich persönlich interessiert der mathematische Teil. Der Vorschlag den Artikel nach Ordinalzahl (Mathematik) zu verschieben kommt mir deshalb entgegen.
  • Die Abschnitte Bemerkungen und andere Definitionen und Limes- und Nachfolgerzahlen brauchen Entlastung durch Verlagerung und bessere Strukturierung. Während bei Limes- und Nachfolgezahlen dies leicht zu bewerkstelligen sein wird, leidet der Abschnitt Andere Definitionen darunter, dass es noch kaum Wiki-Artikel über die exotischen Mengenlehren gibt. Etwas, was ich auch für bessere Zeiten gelassen habe, ist die Typentheorie, da ich mich in dieser nicht auskenne.

An dem Artikel habe ich im Sommer viel rumgefummelt. Danach eine Pause gemacht. Die Ordinalzahlen sind in der Mengenlehre ein Schlüsselbegriff. Ich würde das Thema ungern für eine Lesenswert-Kanditur jetzt schnell abschließen. --Alexandar.R. 21:42, 8. Feb. 2008 (CET)

Das kann ich nur unterstützen. Zumindest ich ging in meiner Bewertung davon aus, dass die gegenwärtige Version noch nicht als eine Endfassung (wenn es denn so etwas überhaupt gibt) anzusehen wäre. Eine erneute Lesenswert-Diskussion, wenn du (und wer auch immer mitarbeitet) das Werk für ausgereift genug hältst, würde ich für meinen Teil sehr begrüssen.--Hagman 09:25, 9. Feb. 2008 (CET)

Quellenbeleg für Zermelo[Bearbeiten]

Der Artikel ist gut mit Quellen belegt. Warum fehlt jede Quellenangabe für die Zermelo-Definition der Ordinalzahlen? Wenn jemand schon so gut Bescheid weiß, dass er dies auf 1915 datieren kann, dann wäre doch die Angabe der Quelle sicher kein Problem. Wenn die Angabe korrekt ist, dann wäre das ja die erste Ordinalzahldefinition, die wirklich tauglich ist. Das wäre schon wert, abgesichert und vielleicht auch betont zu werden.--Wilfried Neumaier 15:29, 11. Apr. 2008 (CEST)

Die Datierungen stammen alle von Bachmann. Ich glaube irgendwo gelesen zu haben, dass die Zermelosche Definition nicht veröffentlicht worden ist, sondern aus einem Brief ist. Daher wird es vermutlich nicht möglich sein einen Artikel z.B. zu zitieren. --Alexandar.R. 15:43, 11. Apr. 2008 (CEST)

Neumann nennt in Fußnote 2) seiner Arbeit über Ordinialzahlen in den Math. An. (1927) eine mündliche Quelle für eine Ordinalzahldefinition Zermelos von 1916. Ferner ist mir aufgefallen, dass das erste Zermelo-Kriterium entbehrlich ist, da es aus dem letzten für eine leere Teilmenge folgt.--Wilfried Neumaier 20:58, 11. Apr. 2008 (CEST)

Also, ich habe Bachmann jetzt aufgemacht. Zu der Zermeloschen Definition steht dort: Nicht veröffentlicht (vlg. Bernays, A system of axiomatic set theory II, Journal of symbolic logic 6, 1 1941). Die erste Bedingung scheint tatsächlich überflüssig. Allerdings muss man in der Mengelehre aufpassen. Man nehme ein Axiom raus und plötzlich gehen manche vorher triviale Beweise nicht mehr. In diesem Fall fehlt mir aber nicht auf, welches Axiom in die Suppe spucken könnte. Im Beweis der Äquivalenzen wird bewiesen, dass die Defintion von Bernays (1941) äquivalent zu der Zermeloschen ist, wobei eigentlich die erste Bedingung auf dem ersten Blick nur darin vorkommt, dass sie aus der Transitivität in der Defintion von Bernays folgt. Ich würde sagen, man lässt es erstmal so, weil es nicht falsch ist, und schaut sich den Artikel von Bernays an. --Alexandar.R. 08:50, 12. Apr. 2008 (CEST)

Ich schaue demnächst in Bernays rein. Zermelos Definition finde ich außerordentlich interessant, nicht nur das frühe Datum, sondern auch, dass sie evident und sehr elementar ist und einer kurzen Formel ohne Hilfsbegriffe entspricht. Letzteres gilt für Neumanns Definition und die übrigen Definitionen nicht, da sie den Wohlordungsbegriff oder andere Begriffe voraussetzen, so dass eine direkte Formel relativ kompliziert aussähe.--Wilfried Neumaier 20:37, 13. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe mir Bernays angeschaut. Er zitiert leider keine Quelle, auch keinen Brief und nennt S. 6 als Jahr "etwa 1915". S. 10 stehen die Axiome, aber das erste (überflüssige) ist nicht original: Zermelo hatte Ordinalzahlen ohne 0 und nur die Bedingung 0 aus X. Bernays hat auch kein "entweder...oder", sondern einfaches "oder".--Wilfried Neumaier 21:13, 14. Apr. 2008 (CEST)

Hmmm... Früher hat man gerne Mengen mit anderem Fundament betrachtet (also mit Urlelementen). Ich werde die Frage, ob die Bedingung tatsächlich überflüssig ist, im Visier behalten. Möchte mir aber noch paar Artikel von Zermelo anschauen, damit ich nachvollziehen kann, was ihn dazu bewegt hat, die Definition so zu formulieren. --Alexandar.R. 08:25, 17. Apr. 2008 (CEST)

Die Zermelo-Mengenlehre und das originale ZF mit Urelementen ist mir gut bekannt (die Artikel stammen weitgehend von mir). Eventuelle Urelemente spielen nur beim Axiom der Elementarmengen (Paarmenge) eine Rolle. Urelemente beeinflussen die Vereinigungsmenge nicht, weil sie elementlos sind: Die Vereinigung einer Menge von Urelementen ist (ganz klar) die leere Menge. Die Ordinialzahlen sind daher Mengen, die keine Urelemente (außer die leere Menge) enthalten. Bei ihnen ist die Voraussetzung des eingeschränkten originialen Extensionalitätsaxiom gültig, so dass alles wie bei der heute üblichen uneingeschränkten Extensionalität funktioniert.

Hm, was ist mit u;\{ u \};\{u, \{ u \}\};\{u, \{ u \}, \{ u, \{ u \} \} \};.... (u-Urelement). Erfüllen sie nicht Bedingungen 2. und 3. (bei der Einnahme, dass man Vereinigungen von leeren Familien nicht kennt)? --Alexandar.R. 22:22, 17. Apr. 2008 (CEST)

Das ist genau die Grundfolge, die Zermelo in seinem ZF-System mit Urelementen benützt: Zermelo, Grenzzahlen und Mengenbereiche, 1930, S. 31f. Er spricht aber dort nicht von Ordinalzahlen. Nimmt man an, dass es eine Ordinalzahlfolge ist, die seiner Definition von 1915 genügt, so hat man damit kein Problem: \,\{u\} ist eine nichtleere Menge, zu der laut Vereinigungsaxiom (S. 30) die Vereinigungsmenge \bigcup \{u\} = \{x | \exists a\in \{u\}: x\in a\} gehört, woraus man für das Urelement \,u dann \bigcup \{u\} = 0 errechnet. Nach Bedingung 3 muss dann \,u=0 oder \,\{u\}=0 sein, wobei der zweite Fall ausscheidet, so dass \,u die leere Menge ist (das einzige Urelement unter den Mengen). Wo ist das Problem?--Wilfried Neumaier 10:47, 18. Apr. 2008 (CEST)

Ja, es ist weit und breit kein Problem zu sehen. Die Bedingung 1. scheint tatsächlich überflüssig zu sein. Schon erstaunlich, dass Bachmann das nicht bemerkt hat. --Alexandar.R. 14:28, 18. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe die Konzequenzen aus der Diskussion gezogen und den Text abgeändert mit Quellenangabe und Bemerkung zur ersten Bedingung in der Referenz.--Wilfried Neumaier 16:30, 18. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe inzwischen den verbesserten Stand nach Hallett 1984 nachgetragen, nach dem Bernays erste Bedingung nicht original ist. Sondern die korrekte Bedingung. Es ist in der Fußnote vermerkt.--Wilfried Neumaier 12:39, 16. Aug. 2009 (CEST)

Ich befasse mich gerade nochmals mit Zermelo-Ordinalzahlen. Die Verschärfung von Bachmann zu "entweder-Oder" dürfte mit dem Weglassen des Fundierungsaxioms zu tun haben, da beim "oder" theoretisch eine reflexive-Elementbeziehung möglich wird. Sehe ich das richtig? Dann müsste man doch die verschärfte Version nach Bachmann in den Text stellen, weil hier ausdrücklich das Fundierungsaxiom nicht vorausgesetzt wird wie im Bachmann-Buch. --Wilfried Neumaier 22:31, 9. Jan. 2009 (CET) Ich habe mich formal überzeugt von der Sache und die Stelle heute entsprechend korrigiert--Wilfried Neumaier 16:23, 17. Jan. 2009 (CET)

Ich muss mich korrigieren: Man kann das "entweder" tatsächlich weglassen und zum Original übergehen, die Fundiertheit ergibt sich. Siehe den Kommentar unten zu den äquivalenten Definitionen.--Wilfried Neumaier 00:43, 2. Jun. 2011 (CEST)

Quellenbelege[Bearbeiten]

Mir ist aufgefallen, dass Cantor im Artikel ohne ausreichende Quellenangaben refiert wird. Dieser Mangel sollte unbedingt behoben werden, da der Artikel im Übrigen gut mit Quellen belegt ist.--Wilfried Neumaier 12:25, 22. Jan. 2009 (CET). Ich habe eben selbst begonnen mit Präzisierungen.--Wilfried Neumaier 13:49, 22. Jan. 2009 (CET)

Mein Versuch, die Gödel-Definition durch eine Gödel-Quelle zu belegen, war bisher auch nicht erfolgreich. Bachmann 24 gibt auch keine Quelle an nur die Jahreszahl 1937.--Wilfried Neumaier 23:05, 22. Jan. 2009 (CET).

Dasselbe gilt für die andern Definitionen, die bei Bachmann auch nur ohne Quellenbelege referiert sind und dort vermutlich nicht original zitiert sind, sondern in einer Bearbeitung, die auf das Fundierungsaxiom verzichtet und daher geeignete Zusatzkriterien ergänzt wie bei seiner modifizierten Zermelo-Definition, die ich recherchiert habe.

Nachfolger[Bearbeiten]

"Die kleinste Ordinalzahl s(ξ) größer als alle Elemente der Ordinalzahl ξ heißt Nachfolger von ξ" Das ist doch so nicht richtig, damit wäre doch s(ξ)=ξ , oder? -- artis

Stimmt, jede Ordinalzahl ist größer als alle ihre Elemente. Vergleiche Bachmann 1967 S. 21: Zu jeder Ornungszahl a existiert die nächstgrößte Ordnungszahl, die sog. Nachfolgerzahl von a. Ich korrigiere den Text.--Wilfried Neumaier 00:07, 9. Feb. 2009 (CET)

Cantors Ordnungstyp[Bearbeiten]

Der Ordnungstyp ist, wenn ich Cantors originale Definition in seinem Aufsatz von 1895 §7 S. 497 (2) lese, nicht die Äquivalenzklasse der ordnungsisomorphen Mengen! Zweifellos ist seine verbale Definition unklar, was dann wohl zu dieser Deutung, die im Artikel auch steht, geführt hat. Dass es eine Fehldeutung ist, sagt schon Cantors direkt anschließender Kommentar dazu, nachdem eine geordnetete Menge und ihr Ordnungstyp ordnungsisomorph sind. Der Ordnungstyp ist für ihn also ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse. Die Situation ist übrigens ganz analog bei den Kardinalzahlen §1 S.481, deren Definition zur Ordinalzahldefinition sehr ähnlich formuliert ist; in §1 483 (9) steht dann explizit der Satz M~|M|, das heißt, dass eine Menge und ihre Kardinalzahl gleichmächtig sind und die Kardinalzahl ein Repräsentant der Klasse der zu M gleichmächtigen Mengen ist. Dieser parallele Sachverhalt ist mir neulich aufgefallen, als ich mir Cantor vorknüpfte und versuchte, ihn ohne moderne Kommentare zu verstehen. In der Sekundärliteratur und Referenzen auf Cantor ist mir dieser, wie ich finde bemerkenswerte Sachverhalt, nicht begegnet.--Wilfried Neumaier 00:43, 29. Nov. 2009 (CET)

Transitivität[Bearbeiten]

Da stehen zwei verschiedene Definitionen von Transitivität hintereinander, das kann so nicht bleiben. --Chricho 17:50, 26. Mär. 2010 (CET)

Der zweite Satz ist keine Definition, sondern eine beweisbare Äquivalenzausssage. Ein Einschub beugt jetzt dieser Verwechslung vor.--Wilfried Neumaier 23:22, 5. Jul. 2010 (CEST)

Natuerliche Zahl als geordnete Menge[Bearbeiten]

Was soll dort die Gleichsetzung der jeweiligen Zahlenmenge mit der "binaer" geklammerten leeren Menge? \{\empty\} heisst die Komplentaermenge der leeren Menge? -- Room 608 13:31, 5. Jul. 2010 (CEST)

Die Darstellung stimmt schon, enthält aber jeweils zwei unterschiedliche Informationen: die Definition (erstes Gleichheitszeichen) und die Umrechnung des Definiendums in die Menge, bei der alle definierten Zahlen wieder eliminiert sind (rechts vom zweiten Gleichheitszeichen). \{\empty\} ist die Menge, die nur die leere Menge enthält, also die einelementige Menge, die als Definiens für die 1 gewählt wurde. Mit Komplement hat das nichts zu tun.--Wilfried Neumaier 23:16, 5. Jul. 2010 (CEST)

Aha, dort sind wieder mal Mengen in Mengen (Potenzmenge, Metamengen). Nach meiner Logik kann so etwas aber gerade keine Menge mehr sein, sondern ist ein Allgemeinbegriff. Siehe Petzingers Exkurs ueber seine "Kollektive", VBU S. 45f und dazugehoerige Beweise im Anhang. Und 1 ist im aussagenlogischen Umfeld das Komplement von, Null, das wurde so gewaehlt dass es dann dort auch funktioniert. Ist das dann nicht dieses Monoid? -- Room 608 00:21, 6. Jul. 2010 (CEST)

Die Darstellung hier folgt nicht einer privaten Logik, sondern den belegbaren Veröffentlichungen zur Mengenlehre. Hier werden nur ganz wenige Eigenschaften verwendet, die in den verbreiteten und in der Mathematik nahezu einhellig akzeptierten Axiomensystemen der Mengenlehre (ZFC, NBG, ...) jeweils gültig sind, etwa das Paarmengenaxiom, um \{\emptyset\} aus \emptyset zu konstruieren. Ebensowenig sind hier 0 und 1 die Entsprechungen von aussagenlogischen Wahrheitswerten "falsch" und "wahr", sondern Ordinalzahlen. Wenn ich Petzinger S. 45f. richtig lese, entspricht der dort eingeführte Individualbegriff offenbar so etwas wie Urelementen im Sinne der Mengenlehre. Liest man weiter bis zum Ende von §5, findet man Hinweise zur Mengenlehre (ich frage mich, wieso der Autor das Wort umstritten auf S. 48 nicht für einen Beleg erforderlich machend hält), so auch die Schreibweise mit Mengenklammern und der Aufzählung aller Elemente im endlichen Fall. Es wird dort aber nirgends ausgeschlossen, dass die Elemente einer Menge ihrerseits Mengen sind. So etwas ähnliches, vor allem wohl der Verzicht(?) auf das Komprehensionsaxiomenschema aka. das Kind mit dem Bade ausschütten, wird wohl erst später (VI. §2) vorgeschlagen.--Hagman 20:46, 6. Jul. 2010 (CEST)

Ich wollte keinen Streit provozieren, das ist einfach meine bevorzugte Logik und sie unterscheidet sich deutlich von der allgemein anerkannten. Jedenfalls kann man dort nicht Individuen und Kollektive (dort die Entsprechung von Mengen) fuereinander einsetzen, eine Einschraenkung, die ich fuer sinnvoll halte. Dass die Elemente einer Menge ihrerseits allerdings keine Mengen sind wird im Anhang bewiesen. Mengen sind keine Individuen. -- Room 608 01:03, 7. Jul. 2010 (CEST)

Dein Mengenbegriff umfasst nur Mengen erster Stufe, die nur Individuen im Sinn von Urelementen enthalten. Mengen sind aber üblicherweise Allgemeinbegriffe, die selbst Elemente sein können. Das ist seit Cantor üblich. Schau mal rein in: Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre 1., in: Mathematische Annalen 46 (1895), §5, 489 (online zu finden). Dieser §5 enthält bereits das Modell der endlichen Ordinalzahlen, nur nicht so formalistisch, aber der Idee nach.--Wilfried Neumaier 17:50, 11. Jul. 2010 (CEST)

Ein Element ist ein Individuum, dann ist als Element die Menge kein Allgemeinbegriff. Eine eins als Zahl ist Individuum, als Maß nicht. Ich schau mal rein. Ich denke da steckt ein Missverstaendnis von Kants Mannigfaltigkeiten drin. Vielleicht ueberzeugt die Freytagsche Logik nicht, aber sie ist einfacher. Und die Einschraenkung verhindert Paradoxien, ich muss sie nicht ausschliessen. -- Room 608 01:15, 12. Jul. 2010 (CEST)

Äquivalenz von Definitionen[Bearbeiten]

Ich sehe nicht die Äquivalenz (ohne Nutzung des Fundierungsaxioms) von Definition V (Robinson), in der es wohl ohnhin "... für je zwei verschiedene Elemente ..." heißen muss, und der Definition IV (Gödel): Ein Quine-Atom x=\{x\} erfüllt V, aber nicht IV. (Mit Fundierungsaxiom wird aus IV ohnehin "transitiv mit transitiven Elementen", was (scheinbar) schwächer als V ist).--Hagman 08:15, 8. Sep. 2010 (CEST)

Die Beobachtung ist völlig richtig. Die Wiedergabe der Robinson-Definition war gründlich daneben gegangen ([3], [4]) - mein Fehler. Wir können nur hoffen, dass diejenige, die es gelesen haben auch ins Buch geschaut haben, und wir niemanden reingelegt haben. --Alexandar.R. 09:40, 8. Sep. 2010 (CEST)

Auch ich habe ein Problem bei der Äquivalenz. Ich sehe nicht die Äquivalenz von Definition II (Zermelo) mit den übrigen Definitionen. Bachmann behauptet sie, aber ich verstehe seinen Äquivalenzbeweis überhaupt nicht. Er wendet gar keine Kriterien der Zermelo-Definition an. Das erscheint mir verdächtig und ist allzusehr verkürzt, so dass man mit dem Beweis nichts mehr anfangen kann.--Wilfried Neumaier 22:06, 21. Sep. 2010 (CEST)

Vergleiche hierzu das Beweisarchiv, wo (hoffentlich korrekte) Beweise der Äquivalenzen angegeben sind.--Hagman 17:13, 28. Mär. 2011 (CEST)

Verspäteten Dank für den Beweis. Er ist fast in Ordnung. Es gibt aber zwei nicht ganz zutreffende Beweisarchiv-Zitate, denn zweimal wird auf einen nicht vorhandenen Satz bei Limes- und Nachfolgerzahlen verwiesen. Dort wurde nur bewiesen, dass eine Ordinalzahl entweder Nachfolgerzahl oder Limeszahl ist, aber nicht, dass der Nachfolger einer Ordinalzahl auch eine Ordinalzahl ist. Dieser Satz wird aber beidemal gebraucht. Man kann ferner offenbar das "entweder" in der Definition weglassen. Das ist nämlich original, sowohl Zermelo nach Hallett, als auch Zermelo nach Bernays. Das "entweder" hat Bachmann hinzugefügt. Ich lösche im Artikel daher diese Zutat. Im Beweis müsste man die Definition ebenso abändern und den Passus im Beweis, der auf "entweder" Bezug nimmt, streichen.--Wilfried Neumaier 14:45, 1. Jun. 2011 (CEST)

Dieser Wiki-Artikel ist unausgegoren[Bearbeiten]

Hallo,

die Ordinalzahlen wurden nicht von G. Cantor entdeckt, höchstens die moderne Theorie der Ordinalzahlen in der Mathematik. Der Artikel vermittelt insofern einen völlig falschen Eindruck.

Weiterhin frage ich mich, was diese ausufernde Erörterung trigonometrischer Reihen hier zu suchen hat. Cantor mag in diesem Zusammenhang seine Ideen entwickelt haben. Aber es lässt sich kein tatsächlichen, tiefergehenden Zusammenhang zwischen trigonometrischen Reihen und (transfiniten) Ordinalzahlen herstellen. Die Ordinalzahltheorie spielt in der Theorie trigonometrischer Reihen keine (zumindest keine wichtige) Rolle. Es hätte an dieser Stelle die Erwähnung Cantor's Beschäftigung mit trigonometrischer Reihen genügt. Jedes weitere Eingehen darauf ist irreführend und nicht sachgemäß.


Gruß Albrecht

-- 87.178.59.247 13:11, 27. Mär. 2011 (CEST)

Hallo,

habe einen Änderungsvorschlag eingebracht und dabei versucht, den Text weitgehend unangetastet zu lassen. Mir ging es vor allem darum dem Mißverständnis, dass die Ordinalzahltheorie für die Untersuchungen der trigonometrischen Reihen eine Rolle spielte, vorzubeugen.

Gruß Albrecht

-- 93.210.238.17 20:43, 7. Apr. 2011 (CEST)

Präzision der Definitionen[Bearbeiten]

Bei Definitionen, die eine geordnete Menge voraussetzen, pflegen exakte Mathematiker, auch die Ordnung vorauszusetzen. Das geschieht etwa bei Definition VII, wodurch dann aber das Tupel als Ordinalzahl deklariert ist und nicht die gemeinte Grundmenge X. Es geschieht aber nicht bei Def VIII, wo es streng genommen nötig wäre.--Wilfried Neumaier 14:31, 23. Jun. 2011 (CEST)

Bei Def VII ist das nur ein Frage der Formulierung, oder?
Bei Def VIII ist mir nicht klar, warum es nötig wäre. Das Bild von A unter der Funktion E ist eine Menge, die durch die Element-Relation geordnet wird. -- Digamma 15:11, 23. Jun. 2011 (CEST)
Bei Def VII wäre korrekt: Ein Menge X, bei der (X,ε) irreflexiv geordnet ist, heißt Ordinalzahl ....
Bei Def VIII wäre präzise: ... für wohlgeordnete Mengen (A,<).--Wilfried Neumaier 18:35, 24. Jun. 2011 (CEST)
Bei Def VII ist auch der Terminus "geordnet" unklar. Gemeint ist dort doch sicher "total geordnet", wenn mich nicht alles täuscht. Oder kann man die Totalität beweisen? Im Beweisarchiv fehlt zu dieser Definition noch der Äquivalenzbeweis, so dass man nicht erraten kann, was gemeint ist. Der Begriff geordnete Menge ist ja dort im Artikel nicht klar definiert, so dass man hier in diesem mathematischen Artikel schon präziser sein sollte.--Wilfried Neumaier 23:26, 26. Jun. 2011 (CEST)
Bei Def VIII wird die Funktion E etwas "schlampig" eingeführt. Was gemeint ist, sieht man hier aber im Beweis (Beweisarchiv), in dem das Bild erst genau definiert wird. Def VIII meint folgendes: Ordinalzahlen sind genau die Bilder von Funktionen E einer Menge A mit Wohlordnung (A,<) und E(a)=.... --Wilfried Neumaier 07:33, 28. Jun. 2011 (CEST)
Die Ordnung in Def VII ist eine Wohlordnung und somit erst recht eine Totalordnung. Beachte ferner, dass im Beweisarchiv (das aber im Prinzip ein unabhängiges Projekt ist) die Def VII sogar zur Grundlage gewählt wurde (siehe dort). Dort sind also bisher alle Defs außer Def I als äquivalent nachgewiesen. Dass die (zumindest unter Voraussetzung des Fundierungsaxioms gültige) Äquivalenz aller mit Def I dort fehlt, liegt allerdings eher daran, dass eine andere Bezeichnungssystematik wünschenswert wäre (Def I würde dort zurzeit auch "von Neumann, 1923" heißen), aber das steht ohnehin auf einem anderen Blatt.--Hagman 21:51, 13. Jul. 2011 (CEST)
Aha! Im Artikel Ordnungsrelation ist die Trichotomie unter "strikter Totalordnung". Sollte man die Formulierung der Definition nicht damit abstimmen? Deine Formulierung ist jedenfalls besser als hier im Artikel.--Wilfried Neumaier 23:51, 13. Jul. 2011 (CEST)

Verlinkung zum Artikel "Häufungspunkt"[Bearbeiten]

Ich füge mal die Verlinkung zum Artikel Häufungspunkt ein. Ich hoffe, das ist so in Ordnung. --Wikilaser 19:25, 23. Jun. 2011 (CEST)

Begriffsklärung erwünscht?[Bearbeiten]

Hallo allerseits. Grundsätzlich ist es ja so, dass das Wort "Ordinalzahl" zwei Bedeutungen hat, die selbstverständlich miteinander zu tun haben, aber eigentlich unterschieden werden sollten. Einerseits gibt es die Ordinalzahl als rein sprachliches Objekt, also "erstens", "zweitens", "drittens", usw. und andererseits gibt es die hier diskutierten Ordinalzahlen als rein mathematisches Objekt (Menge S heißt Ordinalzahl, wenn jedes Element von S auch Teilmenge von S ist und S bezüglich der Mengeninklusion total geordnet ist.) Bei den Kardinalzahlen gibt es bereits eine Begriffsklärungsseite. Nun die Frage: Wäre das bei Ordinalzahlen nicht ebenso sinnvoll? Im Moment werden ja die sprachlichen Ordinalzahlen im ersten Absatz kurz angedeutet, aber ich könnte mir vorstellen, dass die momentane Version immer noch für Verwirrung bei Leuten sorgt, die die rein sprachlichen Ordinalzahlen (erstens, zweitens, drittens) erwarten und dann Aussagen finden wie "Null ist eine Ordinalzahl", "Jede natürliche Zahl ist eine Ordinalzahl" und "Kardinalzahlen sind spezielle Ordinalzahlen", die als Aussagen über "mathemtaische Ordinalzahlen" richtig sind, aber als Aussagen über sprachliche Ordinalzahlen falsch. -- Cosine 13:34, 6. Dez. 2011 (CET)

Da muß ich als Mathematiker widersprechen. Beides sind unterschiedlich benutzte natürliche Zahlen. Die Peanoaxiome definieren die natürlichen Zahlen; ob sie als Kardinalzahlen oder Ordinalzahlen eingesetzt werden ist eine Sache des sprachlichen Gebrauchs, der bei der Ordinalzahl aus der deklinierten Form, bei der Kardinalzahl durch die Grundform angegeben wird. --SonniWP✍ 13:59, 6. Dez. 2011 (CET)
Hallo SonniWP. Danke für deine schnelle Antwort. Leider ist mir nicht ganz klar geworden, was deine Meinung ist, d.h. wo du mir genau widersprichst. Mein Vorschlag war eben genau der, das sprachliche Konzept "Ordinalzahl" (eine spezielles Zahlwort) vom mathematischen Konzept "Ordinalzahl" (ein mathematisches Objekt) besser zu trennen. Vielleicht kannst du ja nochmal versuchen, mir zu erklären, welcher Aussage genau du wiedersprichst. Viele liebe Grüße, -- Cosine 12:24, 7. Dez. 2011 (CET)
@SonniWP Das ist schlichtweg falsch. Ordinalzahlen und Kardinalzahlen sind nicht nur natürliche Zahlen, du warst dir dieser Konzepte wohl nicht bewusst. Zudem ist ganz klar zwischen dem sprachlichen Konzept von Ordinalzahlen als spezielles Numeral und mathematischen Objekten zu unterscheiden. --Chricho ¹ 12:52, 7. Dez. 2011 (CET)
Ich hoffe mal, die Einleitung ist so besser, klar trennend, und für eine BKL-Seite geeignet. --Chricho ¹ 16:13, 7. Dez. 2011 (CET)

Auswahlaxiom[Bearbeiten]

Dass keine Folge kleinerer Ordinalzahlen gegen \omega_1 konvergiert, soll sich nicht ohne Auswahlaxiom zeigen lassen? Wieso das? Folge von abzählbaren Ordinalzahlen → Vereinigung: abzählbare Ordinalzahl, obere Schranke, somit nicht gegen \omega_1 konvergent. Problem? --Chricho ¹ ² ³ 00:21, 25. Aug. 2012 (CEST)

Und warum ist die obere Schranke abzählbar und nicht \omega_1? Weil eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen abzählbar ist. Dazu braucht man aber i. A. das Auswahlaxiom. Laut Kunen, Set Theory, North Holland 1980, Bemerkung nach dem Beweis zu Lemma 10.37 (Seite 33): "Without AC, it ist consistent that \operatorname(cf)(\omega_1) = \omega." (Lemma 10.37 besagt gerade: "(AC). \kappa^+ is regular." Das vorangestellte "(AC)" bedeutet hier, dass die Aussage gilt, wenn man ZF mit AC voraussetzt.) Weiter vorne (Seite 30 ganz unten) schreibt er: "Lévy showed that is consistent with ZF that \mathcal P(\omega) and \omega_1 are countable unions of countable sets." --Digamma (Diskussion) 09:01, 25. Aug. 2012 (CEST)
Okay, danke, alles klar. --Chricho ¹ ² ³ 11:02, 25. Aug. 2012 (CEST)
De nada. Ich ergänze die Literaturstelle im Artikel. --Digamma (Diskussion) 12:16, 25. Aug. 2012 (CEST)
Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 12:16, 25. Aug. 2012 (CEST)

Defekte Weblinks[Bearbeiten]

GiftBot (Diskussion) 13:13, 1. Okt. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Kamsa Hapnida (Diskussion) 11:46, 3. Jan. 2015 (CET)