Diskussion:Satz von Picard-Lindelöf

Art des Artikels

Könnte man das hier abwechslungsweise nicht in der Form schreiben, wie es in jedem Buch/Vorlesungsskript auftaucht? Gerade Sachen wie der Satz von Picard-Lindelöf würden eine Adresse erster Wahl für Studenten und andere sein, wenn man das hier etwas lernfreundlicher präsentiert bekommen würde als sonst. --Saperaud ☺ 03:57, 11. Jun 2005 (CEST)

Es fehlt insbesondere die Herleitung für den lokalen Fall (und die damit verbundenen Eindeutigkeits- und Fortsetzbarkeitsaussagen).-- Maxinquaye 23:27, 2. Aug 2005

Schreib's hin wie Du es Dir vorstellst, ich schaue zu und korrigiere/ergänze, falls es nötig sein sollte. Wenn ich es richtig verstanden habe, dann willst Du am Ende zumindest die Aussage „f stetig differenzierbar => es gibt eine eindeutig bestimmte maximale Lösung des Anfangswertproblems“ stehen haben. Der Begriff „maximale Lösung“ könnte besser unter Anfangswertproblem definiert werden, ebenso, was man unter lokal lösbar versteht.--LutzL 14:16, 3. Aug 2005 (CEST)

Da muss ich Dich erstmal korrigieren, wenn ich darf : f muss nicht stetig differenzierbar sein, f ist stetig und genügt einer Lipschitzbedingung bzgl. y (genau wie es in dem Artikel steht). Oder was willst Du damit sagen ? Dass f aus C1 sein soll, sagt mir nichts. Der lokale Fall ist interessanter, weil da einfach eine lokale Lipschitzbedingung genügt, die man relativ leicht erhält, z.B. aus der Stetigkeit der partiellen Ableitung. Wo man die Begriffe, die Du erwähnt hast definiert..da bin ich mir noch unschlüssig, vielleicht hast Du recht.--Maxinquaye 23:27, 2. Aug 2005

Deshalb schrieb ich "zumindest", ist f C1, dann ist es auch nach y partiell differenzierbar und damit partiell Lipschitz, Kurzabriss der Geschichte in [1], nach Walter:Analysis I+II. Mit 4 Tilden ~ ~ ~ ~ kannst Du Deine Beiträge signieren, letzte Position in der Sonderzeichenleiste.--LutzL 08:04, 4. Aug 2005 (CEST)

Ich habe die Eindeutigkeit hinzugefügt (oder besser betont); ich hoffe das ist nicht schlimm. Ich würde noch einige Anmerkungen hinzufügen: - Zusammenhang mit dem Satz von Peano, wer setzt mehr voraus, was ändert sich dann? (Lipschitzstetig-> nur stetig, =>.. ) - Erwähnen dass die Norm sehr geschickt gewählt ist, ansonsten kann es sein dass man den Beweis nur intervallweise erhält. maxinquaye

Das ist Wikipedia, irgendwo gibt es eine "Sei mutig"-Seite dazu. Anmerkungen (und Korrekturen) zur Bedeutung von Voraussetzungen, Aussagen und nicht auf der Hand liegenden Konstruktionen sind immer willkommen, dieser Artikel ist, wie Du oben schon anmerktest, bis zur lokalen Lösbarkeit und maximaler Fortsetzung bei lokaler L-Bedingung ausbaubar.--LutzL 16:00, 23. Jan 2006 (CET)

Müsste das in der Beweisskizze nicht $x_{0}$ anstelle von a für die untere Integralgrenze heißen? Weil a ist der Anfang des Intervalls, und ich denke, dass das Integral jedes $x_{0}\in [a,b]$ als untere Grenze haben kann. --MTM 21:06, 25. Aug 2006 (CEST)

Nein, da das $y_{0}$ die Anfangsbedingung in a darstellt. In gewissem Sinne gilt also hier $x_{0}=a$. Das kann man ändern, jedoch sollte das im Rahmen der oben angesprochenen Verallgemeinerungen des im Artikel behandelten Kernsatzes erfolgen.--LutzL 09:47, 28. Aug 2006 (CEST)

Picard-Iteration

Ich kann in dem Artikel nichts über die Picard-Iteration finden, warum wird man dann hierher weitergeleitet, wenn man danach sucht? Oder ist die Iteration Teil des Beweises? Dann fehlt aber mindestens ein Hinweis darauf. -- Volker 95.90.156.241 17:34, 24. Jul. 2009 (CEST)

Hi, das kommt davon, wenn Artikel von wohlmeinenden Amateuren kaputteditiert werden. Es gab mal eine Beweisskizze, in der die Picard-Iteration, also die Integralformulierung als Fixpunktproblem, definiert war. S. die Diskussion direkt über diesem Abschnitt. Wenn ich Zeit finde, suche ich mal in der Versionsgeschichte danach.--LutzL 20:23, 24. Jul. 2009 (CEST)

Nach Wühlen in der Versionsgeschichte fällt auf, dass die Beweise ins Beweisarchiv ausgelagert wurden. Wie oft bei solchen Totalamputationen wurde dabei der Artikel beschädigt. Beim Aufzählen der Beweisideen würde man wieder die Picard-Iteration erwähnen.--LutzL 22:56, 25. Jul. 2009 (CEST)

Frage zur lokalen Version des Satzes von Picard-Lindelöf

Dort haben wir ja die folgende Kugel definiert:

${\overline {B}}(y_{0},R):=\{z\in E\ |\ \|z-y_{0}\|\leq R\}$

Wir lesen aber nirgends etwas darüber, welche Norm wir für unseren Banachraum benutzen. Liege ich also richtig mit der Annahme, dass es vollkommen egal ist, welche Norm wir verwenden? Die Kugel könnte also auch ein Quader sein, wenn wir die Maximumsnorm verwenden? --Jobu0101 15:30, 29. Jan. 2011 (CET)

Im Satz wird lediglich gefordert, dass E ein Banachraum ist. Natürlich ist $\mathbb {R} ^{n}$, ausgestattet mit der Maximumsnorm, ein Banchraum. Jedoch gilt der Satz auch für Situationen, in denen $E$ nicht der $\mathbb {R} ^{n}$ ist. --Tolentino 19:37, 29. Jan. 2011 (CET)

Okay. Und das Intervall $[a,a+\alpha ]$, das man dann findet muss auch nicht das maximale sein, oder? Also es kann durchaus vorkommen, dass sogar auf $[a,a+2\alpha ]$ die Lösung eindeutig existiert, richtig? --Jobu0101 20:17, 29. Jan. 2011 (CET)

Richtig, das Maximalität des Intervalls ist in der Regel nicht gegeben. --Tolentino 16:12, 30. Jan. 2011 (CET)

Noch eine Frage: Du sagst, es wird lediglich gefordert, dass E ein Banachraum ist. Doch ich muss doch auch differenzieren können, schränke ich mich damit nicht wieder auf $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\mathbb {C} ^{n}$ ein? --Jobu0101 20:19, 29. Jan. 2011 (CET)

Falsch, Differenzierbarkeit wird nirgendwo im Satz formuliert oder verwendet. Man muss nur eine Lipschitz-Bedingung nachweisen (was durchaus nichttrivial sein mag). --Tolentino 16:12, 30. Jan. 2011 (CET)

Ich meine nicht die Differenzierbarkeit von unserer Funktion $f$, sondern die von der Lösung des Anfangswertproblems. --Jobu0101 10:28, 31. Jan. 2011 (CET)

Dafür gibt es den Begriff der Fréchet-Differenzierbarkeit. Diese ist für Abbildungen zwischen Banachräumen definiert. Natürlich ist die Ableitung dann nicht mehr als Matrix darstellbar, sondern ist eine beschränkte lineare Abbildung.--LutzL 14:28, 31. Jan. 2011 (CET)

Vielen Dank. Man lernt nie aus. Damit die Lösung eindeutig existiert, muss $f$ in der zweiten Variable ja lokal Lipschitz-stetig sein. Ist $f$ nur stetig, existiert aber auch immer eine Lösung, richtig? Diese Lösung kann an jedem Punkt, der nicht einer lokalen Lipschitzbedingung genügt, auf mehrere Weisen fortgesetzt werden. Ist das auch richtig? --Jobu0101 16:13, 31. Jan. 2011 (CET)

Nein, bloß weil ein hinreichendes Kriterium für die Eindeutigkeit versagt, muss nicht zwangsläufig mehrdeutige Lösbarkeit vorliegen. Es gibt andere hinreichende Kriterien für Eindeutigkeit, die nichts mit Lipschitz-Bedingung zu tun haben. --Tolentino 20:02, 31. Jan. 2011 (CET)

Okay, das heißt, de lokalte Lipschitz-Stetigkeit ist zwar hinreichende, nicht aber notwendige Bedinung für die Eindeutigkeit. Herzlichen Dank für die Erklärungen. --Jobu0101 08:13, 1. Feb. 2011 (CET)

Zu guter Letzt: Hast du vielleicht solch ein Beispiel? Also ein Beispiel für eine Differentialgleichung die an mindestens einer Stelle nicht der lokalen Lipschitzbedingung genügt und dennoch eindeutig lösbar ist? Vielleicht wäre das auch für die Artikel interessant, da daraus klar wird, dass es sich bei der Lipschitzstetigkeit tatsächlich nur um eine hinreichende Bedingung handelt. Diese Bemerkung steht bislang ja noch gar nicht dort, obwohl ich es für eine wichtige halte. --Jobu0101 18:37, 1. Feb. 2011 (CET)

Die Bedingung kann auch nicht hier stehen, weil sie nicht zum Satz von Picard-Lindelöf gehört.

Beispielsweise gilt im eindimensionalen Fall ($f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$) rechtsseitige Eindeutigkeit (man will also auf $[t_{0},t_{0}+\varepsilon ]$ lösen) für

${\dot {u}}=f(t,u)$ und $u(t_{0})=u_{0}$,

falls $f(t,\cdot )$ für jedes $t$ monoton fällt. Man beachte: Linksseitige Eindeutigkeit folgt darauf nicht (falsche Monotonie).

Es müsste irgendein ODE-Buch von Stampacchia geben, in dem das drinsteht. Es gibt einen allgemeinen Satz von Cafiero über Eindeutigkeit, von der dies ein Spezialfall ist. --Tolentino 19:09, 1. Feb. 2011 (CET)

Argument von f

Als zweites Argument von $f$ taucht mehrere Male eine Funktion $y$ auf. In der Definition einer Differentialgleichung für eine Funktion mit Werten in $E$ erscheint hingegen als Argument $(x,y(x))\in G\subset \mathbb {R} \times E$.

Das wirkt sich auf die Gültigkeit der Wahl von $f$ aus: Im ersten Fall könnten wir z.B. $(x,y)\mapsto f(x,y):=y''(x)+y'(x)+g(x)$ ($g$ eine sinnvolle Funktion) wählen, im zweiten Fall nicht (ausser man interpretiert $y''(x)=y(x)''=0$ usw.). --84.75.164.252 11:02, 13. Mär. 2017 (CET)

Cauchy, Lipschitz

Heisst auch Satz von Cauchy-Lipschitz (siehe hier) oder Existenzsatz von Picard. Also müssen Cauchy und Lipschitz auch zu den Urhebern gezählt werden, möglicherweise mit Priorität.--Claude J (Diskussion) 22:47, 25. Nov. 2017 (CET)