Doob-Zerlegung

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Der Satz über die Doob-Zerlegung, benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker Joseph L. Doob, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Aussage über die Darstellung eines stochastischen Prozesses als Martingal.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine Filtrierung. Jeder an adaptierte und integrierbare stochastische Prozess ist dann darstellbar als , wobei ein Martingal und vorhersagbar ist, d.h. es gilt: ist -messbar für alle . Mit der Festsetzung ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist genau dann monoton wachsend, wenn ein Submartingal ist.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definiert man für

  • und

dann gilt . Die Martingaleigenschaft von und Vorhersagbarkeit von folgen direkt aus der Definition.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung der Prozess sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.

Falls ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von größer oder gleich 0, also ist ein monoton wachsender Prozess.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]