Doob-Zerlegung

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Der Satz über die Doob-Zerlegung, benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker Joseph L. Doob, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Aussage über die Darstellung eines stochastischen Prozesses als Martingal.

Aussage[Bearbeiten]

Seien (\Omega,\mathcal{A},P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \mathcal{F}=(\mathcal{F}_n)_{n\in\N} eine Filtrierung. Jeder an \mathcal{F} adaptierte und integrierbare stochastische Prozess (X_n)_{n\in\N} ist dann darstellbar als X=M+A, wobei M ein Martingal und A vorhersagbar ist, d.h. es gilt: A_{n+1} ist \mathcal{F}_n-messbar für alle n\in\N. Mit der Festsetzung A_0=0 ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist A genau dann monoton wachsend, wenn X ein Submartingal ist.

Beweis[Bearbeiten]

Definiert man für n\in\N

  • M_n:=X_0+\sum_{k=1}^{n}\bigl(X_k-\mathbb{E}[X_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]\bigr) und
  • A_n:=\sum_{k=1}^{n}\bigl(\mathbb{E}[X_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]-X_{k-1}\bigr),

dann gilt X_n=M_n+A_n. Die Martingaleigenschaft von M und Vorhersagbarkeit von A folgen direkt aus der Definition.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung X=M'+A' der Prozess M-M'=A'-A sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.

Falls X ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von A_n größer oder gleich 0, also ist A ein monoton wachsender Prozess.

Literatur[Bearbeiten]