Martingal

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Dieser Artikel behandelt den Prozess Martingal in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zu Martingal im Reitsport siehe Hilfszügel. Zur entsprechenden Glücksspielstrategie siehe Martingalespiel.
Beim eindimensionalen Random Walk geht man in jedem Schritt (x-Achse) mit Wahrscheinlichkeit 1/2 nach oben oder unten (y-Achse), fünf mögliche Pfade sind dargestellt. Ist M_n die Position auf der y-Achse zum Zeitpunkt n, so erhält man ein Martingal (M_n)_n.

Als Martingal bezeichnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie einen stochastischen Prozess, der über den bedingten Erwartungswert definiert wird und sich dadurch auszeichnet, dass er im Mittel fair ist. Martingale entstehen auf natürlich Weise aus der Modellierung von fairen Spielen und wurden von Paul Lévy in die Mathematik eingeführt.

Eng verwandt mit den Martingalen sind die Supermartingale, dies sind stochastische Prozesse, bei denen im Mittel ein Verlust auftritt, und Submartingale, dies sind stochastische Prozesse, bei denen im Mittel ein Gewinn auftritt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diskreter Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum  (\Omega, \mathcal A, P ) sowie eine Filtrierung  \mathbb F = (\mathcal F_n)_{n \in \N} . Gegeben sei ein stochastischer Prozess X= (X_n)_{n \in \N}  auf  (\Omega, \mathcal A) , für den gilt:

Dann heißt  X ein Martingal (bezüglich  \mathbb F ), wenn

 \operatorname E (X_{n+1}|\mathcal F_n) = X_n \quad P\text{-fast sicher für alle } n \in \N

gilt.

Dabei bezeichnet  \operatorname E (Y | \mathcal B ) den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariable  Y , gegeben die σ-Algebra  \mathcal B .

Allgemeiner Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Wahrscheinlichkeitsraum  (\Omega, \mathcal A, P) sowie eine beliebige, geordnete Indexmenge  T (meist  T \subset \R ) und eine Filtrierung  \mathbb F = (\mathcal F_t)_{t \in T} gegeben, so heißt ein integrierbarer, an  \mathbb F adaptierter Prozess  X=(X_t)_{t \in T} ein Martingal (bezüglich  \mathbb F ), wenn für alle  t \in T gilt

 \operatorname E (X_s|\mathcal F_t) = X_t \quad P\text{-fast sicher für alle } s > t .

Supermartingale und Submartingale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter denselben Rahmenbedingungen wie in den obigen Definitionen definiert man im diskreten Fall einen stochastischen Prozess als ein Submartingal, wenn

 \operatorname E (X_{n+1}|\mathcal F_n) \geq X_n \quad P\text{-fast sicher für alle } n \in \N

und ein Supermartingal als einen Prozess, für den

 \operatorname E (X_{n+1}|\mathcal F_n) \leq X_n \quad P\text{-fast sicher für alle } n \in \N

gilt. Im stetigen Falle definiert man analog ein Submartingal über

 \operatorname E (X_s|\mathcal F_t) \geq  X_t \quad P\text{-fast sicher für alle } s > t .

und ein Supermartingal über

 \operatorname E (X_s|\mathcal F_t) \leq  X_t \quad P\text{-fast sicher für alle } s > t .

Submartingale sind also im Gegensatz zu Martingalen tendenziell steigend, Supermartingale tendenziell fallend.

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eigenschaft, ein (Sub-/Super-)Martingal zu sein kommt nicht stochastischen Prozessen alleine zu, sondern immer einem stochastischen Prozess in Kombination mit einer Filtrierung. Daher sollte die Filtrierung immer mit angegeben werden. Manche Autoren geben keine Filtrierung mit an, wenn sie die von von dem Prozess selbst erzeugte Filtrierung verwenden, die durch \mathcal{F}_t^E :=\sigma({X_s;s \le t}) gegeben ist. Wenn (X_t)_{t \in T} ein Martingal bezüglich einer Filtrierung (\mathcal F_t)_{t \in T} ist, dann ist es auch ein Martingal bezüglich (\mathcal F_t^E)_{t \in T}.

Motivierendes Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff des Martingals lässt sich als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen Glücksspiels auffassen. Sei dazu M_0 das Startkapital des Spielers. Dieses wird in vielen Fällen eine Konstante sein, aber auch ein zufälliges Startkapital ist denkbar. Der zufällige Gewinn im ersten Spiel werde mit X_1 bezeichnet. Er kann positiv, null oder negativ (also ein Verlust) sein. Das Kapital des Spielers nach dem ersten Spiel beträgt M_1 = M_0 + X_1 und allgemein nach dem n-ten Spiel

M_n = M_0 + \sum_{k=1}^n X_k,

wenn X_k den Gewinn im k-ten Spiel bezeichnet. Bei einem fairen Glücksspiel ist der Erwartungswert jedes Gewinns gleich null, d. h., es gilt E(X_k) = 0 für alle k\in\N.

Der Spielverlauf werde nun bis zum Zeitpunkt n einschließlich beobachtet, d. h. die Kapitalstände M_0, M_1, \dots, M_n seien bekannt. Falls nun der Gewinn im nächsten, also im n+1-ten, Spiel unabhängig vom bisherigen Spielverlauf ist, dann berechnet sich das erwartete Gesamtkapital M_{n+1} = M_n + X_{n+1} nach dem nächsten Spiel unter Berücksichtigung aller zur Verfügung stehenden Informationen mit Hilfe der Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte zu

E(M_{n+1} \mid M_0,\dots,M_n) = E(M_n \mid M_0, \dots M_n) + E(X_{n+1} \mid M_0,\ldots,M_n) = M_n + E(X_{n+1}) = M_n.

Damit ist gezeigt, dass sich das Kapital eines Spielers, der an einem fairen Glücksspiel teilnimmt, als Martingal modellieren lässt.

Bei realen Glücksspielen, wie beispielsweise beim Roulette, ist jedoch wegen des Bankvorteils der erwartete Gewinn bei jedem Spiel im Allgemeinen negativ, also E(X_k) < 0. Dann ergibt sich analog zur obigen Rechnung

E(M_{n+1} \mid M_0,\dots,M_n) \leq M_n.

Aus Sicht des Spielers handelt es sich in diesem Fall um ein Supermartingal (Merkspruch: „Supermartingale sind super für die Spielbank“).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von einer Filtrierung erzeutes Martingal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist  (\Omega, \mathcal A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum,  \mathbb F=(\mathcal F_n)_{n \in \N} eine Filtration und  X eine P-integrierbare Zufallsvariable auf  (\Omega, \mathcal A) . Dann wird durch

 X_n:=\operatorname E (X|\mathcal F_n)

ein Martingal (bezüglich \mathbb F) definiert.

Um zu zeigen, dass es sich um ein Martingal handelt, rechnet man die Definition nach:

 \operatorname E(X_{n+1}|\mathcal F_n)=\operatorname E (\operatorname E (X|\mathcal F_{n+1})|\mathcal F_n)= \operatorname E (X|\mathcal F_n)= X_n.

Somit handelt es sich um ein Martingal. Dabei ist die erste Umformung das Einsetzen der Definition, die zweite eine Anwendung der Turmregel des bedingten Erwartungswertes und die dritte wieder Einsetzen der Definition.

Doobs Martingal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Spezialfall des obigen Martingals ist Doobs Martingal: Ist eine P-Integrierbare Zufallsvariable  X gegeben und wird die Filtrierung durch eine Folge von Zufallsvariablen  (Y_n)_{n \in \N} erzeugt, also

 \mathcal F_n:=\sigma (Y_0, \dots, Y_n) ,

so heißt das Martingal, welches durch

 X_n:=\operatorname E(X|\mathcal F_n)= \operatorname E (X| Y_0, \dots, Y_n)

definiert wird, Doobs Martingal (benannt nach Joseph L. Doob).

Beispiele für zeitstetige Martingale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wiener-Prozess als Beispiel für ein Martingal
  • Ein Wiener-Prozess W_t ist ein Martingal, ebenso sind für einen Wiener-Prozess W_t die Prozesse W_t^2 - t und die geometrische brownsche Bewegung ohne Drift a \exp\left(\sigma W_t - \frac{\sigma^2}{2}t\right) Martingale.
  • Ein Poisson-Prozess mit Rate \lambda, der um seine Drift bereinigt wird, also \hat P_{\lambda,t}=P_{\lambda,t}-\lambda t, ist ein Martingal.
  • Nach dem Lemma von Itō gilt: Jedes Itō-Integral (mit beschränktem Integranden) ist ein Martingal. Nach dem Itoschen Martingaldarstellungssatz lässt sich umgekehrt jedes Martingal (sogar jedes lokale Martingal) bezüglich einer von einer Brownschen Bewegung erzeugten Filtration als Ito-Integral bezüglich ebendieser Brown'schen Bewegung darstellen.
  • Jedes stetige Martingal ist entweder von unendlicher Variation oder konstant.
  • Jedes gestoppte Martingal ist wieder ein Martingal.
Gestoppte Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Martingal

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  •  X ist genau dann ein Submartingal, wenn  -X ein Supermartingal ist
  • Sind  X,Y (Sub-)Supermartingale und ist ( a,b \leq 0 )  a,b \geq 0 , dann ist auch  aX+bY ein (Sub-)Supermartingal.
  • Sind  X,Y Martingale, so ist auch  aX+bY ein Martingal für  a,b \in \R .
  • Sind  X,Y Supermartingale, dann ist auch
 Z= (\min(X_t,Y_t))_{t \in T}
ein Supermartingal.
  • Sind  X,Y Submartingale, dann ist auch
 Z= (\max(X_t,Y_t))_{t \in T}
ein Submartingal.
  • Ist  \varphi eine konvexe Funktion und  X ein Martingal und gilt  \operatorname E (\varphi(X_t)^+) < \infty , so ist  (\varphi(X_t))_{t \in T} ein Submartingal.

Einfluss der Filtrierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind zwei Filtrierungen  \mathcal F, \mathcal F^* gegeben und ist  \mathcal F kleiner als  \mathcal F^* in dem Sinne, dass für jedes  t gilt  \mathcal F_t \subset \mathcal F^*_t , so ist jedes  \mathcal F^* -Martingal auch ein  \mathcal F -Martingal.

Quadratische Variation und Exponentialmartingal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die quadratische Variation \langle M\rangle eines stetigen beschränkten Martingals M_t (oder eines mit endlichen exponentiellen Momenten) endlich, so ist der stochastische Prozess

X_t = M_t^2 - \langle M \rangle_t

ebenfalls ein Martingal.

Ebenso ist das sog. Exponentialmartingal von M_t, gegeben durch

X_t=e^{\left(M_t-\frac{1}{2}\langle M\rangle_t\right)},

ein Martingal.

Wichtige Aussagen über Martingale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ungleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wichtigsten Ungleichungen im Bezug auf Martingale sind die Doobsche Maximalungleichung und die Aufkreuzungsungleichung. Die Doobsche Maximalungleichung liefert eine Abschätzung dafür, welcher Maximalwert eine Martingals bis zu einem gegebenen Zeitpunkt nicht überschritten wird. Die Aufkreuzungsungleichung liefert eine Aussage darüber, wie oft ein Submartingal ein vorgegebenes Intervall von unten nach oben durchquert.

Kombination mit Stoppzeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Optional Stopping Theorem und das Optional Sampling Theorem kombinieren Stoppzeiten mit Martingalen und beschäftigen sich mit den Eigenschaften und Erwartungswerten der gestoppten Prozesse. Mit diesen Ergebnissen kann man zeigen, dass keine Abbruchstrategie für eine faires Spiel existiert, die für den Spieler vorteilhaft ist.

Martingaltransformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Martingaltransformation

Ein Martingal und ein vorhersagbarer, lokal beschränkter Prozess lassen sich mittels des diskreten stochastischen Integrals zu einem neuen Martingal kombinieren. Man nennt diesen Prozess dann die Martingaltransformierte des ursprünglichen Martingals. Die Martingaltransformierte ist wieder ein Martingal. Dies hat weitreichende Folgen für die Existenz von Spielstrategien in fairen Spielen, die dem Spieler im Mittel Gewinn bringen. Modelliert das Martingal das faire Spiel und der vorhersagbare, lokal beschränkte Prozess die Spielstrategie, so folgert aus der Martingaltransformation, dass es keine Spielstrategie gibt, die dem Spieler im Allgemeinen einen Vorteil bringt.

Doob-Zerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Doob-Zerlegung erlaubt für jeden adaptierten integrierbaren stochastischen Prozess eine Zerlegung in ein Martingal und einen vorhersagbaren Prozess.

Martingalkonvergenzsatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Martingalkonvergenzsatz liefert für Zufallsvariablen, die ein Martingal bilden, Kriterien unter denen sie fast sicher oder im p-ten Mittel konvergieren.

Abgeleitete Prozessklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lokale Martingale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lokale Martingale sind Prozesse, für die eine monoton wachsende Folge von Stoppzeiten existiert, so dass für jede Stoppzeit der gestoppte Prozess ein Martingal ist.

Semimartingale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Semimartingale sind eine Klasse von adaptierten Prozessen mit Càdlàg-Pfaden (Die Pfade sind rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren), die sich in ein lokales Martingal, ein Prozess mit lokal endlicher Variation und einen fast sicher endlichen Anteil zerlegen lassen.

Rückwärtsmartingale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rückwärtsmartingale sind Martingale, bei denen die Indexmenge umgekehrt wird. Sie laufen quasi "falschherum" bzw. von hinten nach vorne.

Herkunft des Wortes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Martingale ist eine seit dem 18. Jahrhundert bekannte Strategie im Glücksspiel, bei der nach einem verlorenen Spiel der Einsatz erhöht, im einfachsten Fall verdoppelt wird, so dass im hypothetischen Falle unerschöpflichen Vermögens, unerschöpflicher Zeit, und der Nichtexistenz eines Höchsteinsatzes sicherer Gewinn einträte.[1]

Da die Martingale das bekannteste Spielsystem war und ist, wurde der Begriff auch als Synonym für „Spielsystem“ gebraucht und fand so Eingang in die mathematische Literatur.[2]

Das Wort „Martingale“ selbst stammt aus dem Provenzalischen und leitet sich von der französischen Stadt Martigues im Département Bouches-du-Rhône am Rande der Camargue ab, deren Einwohner früher als etwas naiv galten. Der provenzalische Ausdruck jouga a la martegalo bedeutet so viel wie sehr waghalsig zu spielen.

Der „Martingal“ genannte Hilfszügel soll ebenfalls nach der Stadt Martigues benannt sein, hierbei handelt es sich um einen optionalen Teil der Pferdeausrüstung, der das Pferd daran hindern soll, den Kopf nach oben zu reißen und zu steigen. Dass dieser Hilfszügel ebenfalls Martingal genannt wird, war den Pionieren der Martingaltheorie nicht bekannt[3] – und hat mit der mathematischen Begriffsbildung nichts zu tun.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Historische Literatur
  • Paul Lévy: Calcul de probabilités. Gauthier-Villars, Paris 1925.
  • J. L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, New York 1953.
Einführungen
Diskrete Martingale
  • Harald Luschgy: Martingale in diskreter Zeit. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-29960-5.
  • J. Neveu: Discrete-Parameter Martingales. North-Holland, Amsterdam 1975.
  • Y. S. Chow und H. Teicher: Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales. Springer, New York 1997.
Stetige Martingale
  • C. Dellacherie, P.-A. Meyer: Probabilités et potentiel I-IV, Hermann Paris, 1975–1987. (Englische Übersetzung bei North Holland.)
Anwendungen
  • R. Bouss: Optimierung des Kreditgeschäftes mit Martingalen. Haupt, Bern 2003.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. de Gruyter, Berlin 1991, S. 144.
  2. http://www.jehps.net/juin2009/Mansuy.pdf The Origins of the Word "Martingale"
  3. http://www.jehps.net/juin2009/Mansuy.pdf a.a.O. p.2