Doppelverhältnis

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Beispiele von Doppelverhältnissen
( sind die zugehörigen Teilverhältnisse)
Das 3. Beispiel zeigt 4 harmonisch liegende Punkte, siehe harmonische Teilung.

Das Doppelverhältnis ist in der Geometrie im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilverhältnisse. Wird zum Beispiel die Strecke sowohl durch einen Punkt als auch durch einen Punkt in jeweils zwei Teilstrecken und bzw. und (s. erstes Beispiel) geteilt, so ist das Verhältnis das (affine) Doppelverhältnis, in dem die Teilpunkte die gegebene Strecke teilen. Die große Bedeutung erhält das Doppelverhältnis als Invariante bei Zentralprojektionen, denn das anschaulichere Teilverhältnis ist zwar invariant unter Parallelprojektionen, aber nicht unter Zentralprojektionen. Eine Verallgemeinerung führt zur Definition des Doppelverhältnisses für Punkte einer projektiven Gerade (das heißt, einer affinen Geraden, der ein Fernpunkt hinzugefügt wird).

Eine besonderer Fall liegt vor, wenn das Doppelverhältnis den Wert -1 annimmt. In diesem Fall spricht man von einer harmonischen Teilung der Strecke durch das Punktepaar und sagt, liegen harmonisch.

Während man das Teilverhältnis dreier Punkte noch gut an der Lage der Punkte abschätzen kann, ist dies für das Doppelverhältnis fast unmöglich. Das Doppelverhältnis hat in der analytischen und projektiven Geometrie hauptsächlich theoretische Bedeutung [1]. In der darstellenden Geometrie allerdings wird es (ohne Rechnung) zur Rekonstruktion ebener Figuren verwendet.[2]

Affines Doppelverhältnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

zur Parameterdarstellung einer Gerade

Eine Gerade im affinen Raum lässt sich mit zwei fest gewählten Vektoren durch

parametrisieren. Für vier Punkte einer Geraden seien die Parameter bezüglich der Parameterdarstellung der Gerade . Dann heißt das Verhältnis der Teilverhältnisse

das affine Doppelverhältnis der Punkte .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Liegen beide Teilpunkte zwischen (innere Teilungen) oder beide außerhalb, so ist das Doppelverhältnis positiv, in den anderen Fällen (ein Teilpunkt innen, der andere außen) ist das Doppelverhältnis negativ.

Harmonischer Punkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist das Doppelverhältnis , so sagt man liegen harmonisch. Siehe Harmonische Teilung.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Haben die Parameter , so ist .

  1. Für ist das Doppelverhältnis (siehe Bild in der Einleitung).
  2. Liegen harmonisch, so gilt: , d.h. das harmonische Mittel der Zahlen ist .

Doppelverhältnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das "normale" Doppelverhältnis wird für vier Punkte auf einer projektiven Gerade erklärt.

Projektive Gerade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine projektive Gerade über einem Körper ist die Menge der eindimensionalen Unterräume in einem zweidimensionalen -Vektorraum. Nach Wahl einer Basis sind die Punkte der projektiven Geraden dann durch homogene Koordinaten mit gegeben, wobei der Punkt mit homogenen Koordinaten dem eindimensionalen Unterraum

projektive Gerade: homogene (oben) und inhomogene (unten) Koordinaten

entspricht und demzufolge für alle ist. Man kann die projektive Gerade auch mit identifizieren, dabei werden homogene Koordinaten in inhomogene Koordinaten überführt: entspricht dem Punkt und dem Punkt

Das Doppelverhältnis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für vier Punkte einer projektiven Gerade mit den zugehörigen homogenen Koordinaten heißt

das Doppelverhältnis von .

Eigenschaften des Doppelverhältnisses:

  1. (Vertauschen von ),
  2. (Vertauschen von ),
  3. Das Doppelverhältnis ist gegenüber einem Basiswechsel invariant. (Siehe Regeln für Determinanten.)
  4. Sind die vier Punkte vom Fernpunkt verschieden, lassen sie sich mit homogenen Koordinaten so beschreiben, dass ist. In diesem Fall ergibt sich das (affine) Doppelverhältnis (s.o.)
Invarianz des Doppelverhältnisses bei Zentralprojektion

Invarianz des Doppelverhältnisses[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einer projektiven Koordinatenebene über einem Körper sind die projektiven Kollineationen diejenigen Kollineationen, die von linearen Abbildungen erzeugt werden. Da bei geeigneter Koordinatisierung vier kollineare Punkte immer so beschrieben werden können, dass

ist und eine lineare Abbildung den Faktor invariant lässt, bleibt damit auch das Doppelverhältnis invariant.

In der darstellenden Geometrie werden Geraden des Raumes mit einer Zentralprojektion in eine Bildtafel projiziert. Solch eine Zentralprojektion lässt sich zu einer projektive Kollineation des Raumes fortsetzen und projektive Kollineationen lassen das Doppelverhältnis invariant. Also gilt

  • Das Doppelverhältnis bleibt bei einer Zentralprojektion invariant. (s. Bild)

Doppelverhältnis von 4 kopunktalen Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zum Berechnen des Doppelverhältnises mit Winkel

Wegen der Invarianz des Doppelverhältnisses bei Zentralprojektion lässt es sich auch für vier in einer Ebene liegende kopunktale Geraden erklären:

  • Das Doppelverhältnis von vier kopunktalen Geraden einer Ebene ist das Doppelverhältnis der vier Punkte einer die 4 Geraden schneidenden Gerade (s. Bild).

Da der Betrag einer 2x2-Determinante gleich dem doppelten Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, ist und der Flächeninhalt eines Dreiecks durch ( sind Seiten des Dreiecks und der eingeschlossenen Winkel, siehe Dreiecksfläche) ausgedrückt werden kann, lässt sich das Doppelverhältnis auch wie folgt beschreiben:

  • (siehe Bild).

(Die Seitenlängen kürzen sich alle heraus!)

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Doppelverhältnis und seine Invarianz unter Projektivitäten wurde in der Antike von Pappos verwendet[3] und um 1640 von Desargues wiederentdeckt.[4] Es wurde zu einem Standardwerkzeug in der Blüte der projektiven Geometrie im 19. Jahrhundert. Cayley benutzte es 1859 in "Sixth memoir on quantics" zur Definition einer Metrik in der projektiven Geometrie, siehe Hilbert-Metrik. Felix Klein bemerkte 1871 in "Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie", dass man auf diese Weise die hyperbolische Metrik der Kreisscheibe erhält, siehe Beltrami-Klein-Modell.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Projektive Geometrie, Kurzskript, Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 10.
  2. siehe Darstellende Geometrie für Architekten. (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 133
  3. Proposition 129 in Buch VII von Pappus' Mathematical Collection (ca. 300 v. Chr.)
  4. Abraham Bosse: Mani`ere universelle de Mr Desargues (1648)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • dtv-Atlas zur Mathematik, Band 1, 1978, ISBN 3-423-03007-0, S. 165
  • Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 8
  • Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 281