Doppelverhältnis

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Das Doppelverhältnis ist in der Geometrie eine Zahl, die die gegenseitige Lage von vier verschiedenen auf einer Geraden gelegenen Punkten kennzeichnet. Zwei dieser Punkte (zum Beispiel A und B) bestimmen dabei eine Strecke, die von den beiden anderen Punkten (etwa T und U) geteilt wird. Das Doppelverhältnis (ABTU) wird nun definiert als das Verhältnis der beiden Teilverhältnisse (ABT) und (ABU):

Aufgrund dieser Definition ist das Doppelverhältnis positiv, wenn die Teilpunkte T und U entweder beide innerhalb der Strecke [AB] oder beide außerhalb der Strecke [AB] liegen. Liegt einer der Teilpunkte innerhalb und der andere außerhalb der Strecke [AB], so ist das Doppelverhältnis (ABTU) negativ.

Analytische Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind in einem Parallelkoordinatensystem die vier Punkte gegeben durch A(a|a'), und B(b|b') und T(t|t') und U(u|u'), so ist

.

Wie beim Teilverhältnis ergibt sich also das Doppelverhältnis aus dem Doppelverhältnis der entsprechenden Koordinatenabschnitte.

Vertauschen der erzeugenden Punkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vertauscht man die zugrundeliegende Strecke mit der durch die Teilpunkte gebildeten Strecke, so ändert sich das Doppelverhältnis nicht:

Vertauscht man dagegen nur die Endpunkte der Ausgangsstrecke, so erhält man den Kehrwert des Doppelverhältnisses:

. Entsprechendes gilt, wenn man die Teilpunkte T und U vertauscht.

Vertauscht man den Endpunkt der Basis mit dem ersten Teilpunkt, so erhält man

. Entsprechendes gilt, wenn man den Anfangspunkt der Basis mit dem zweiten Teilpunkt vertauscht.

Vier verschiedene Punkte einer Geraden bilden also sechs (nicht notwendig alle verschiedene) Doppelverhältnisse:

Harmonische Teilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von einer harmonischen Teilung spricht man, wenn die Punkte T und U die Strecke [AB] innen und außen im selben Verhältnis teilen, wenn also

ist.

Das Doppelverhältnis ist dann

Möchte man zu drei vorgegebenen Punkten auf einer Gerade g den vierten bestimmen, so dass diese sich harmonisch Teilen, so geht man wie folgt vor (die Punkte sind A, C, B (C liegt zwischen A und B)):

Wir wählen einen beliebigen Punkt Z, der nicht auf der Geraden g liegt und verbindet diese mit allen drei Punkten. Man erhält dadurch die Strecken [AZ], [BZ] und [CZ]. Nun verbinden wir A mit einem beliebigen Punkt S auf der Strecke [BZ], dabei schneiden sich die neue Linie und die Verbindungslinie zwischen Z und C, diesen Schnittpunkt nennen wir G. Verbinden wir nun B und [AZ] so, dass die Verbindung durch den G läuft. Auf [AZ] erhalten wir dadurch einen Schnittpunkt T. Ziehen wir nun eine Gerade durch T und S. Der Schnittpunkt dieser Gerade und der Grundgerade g, den nennen wir D, ist der gesuchte Punkt, der das Doppelverhältnis =-1 induziert.

Projektive Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem Projektiven Raum kann das Doppelverhältnis aus den projektiven Koordinaten der vier kollinearen Punkte berechnet werden, dabei ist es von der speziellen Wahl des Koordinatensystems unabhängig. Umgekehrt können projektive Koordinaten als Doppelverhältnisse aufgefasst werden. → Siehe dazu Projektives Koordinatensystem.

Das Doppelverhältnis ist eine Invariante jeder projektiven Abbildung, d. h., es behält bei Anwendung einer solchen Abbildung seinen Wert. Diese Eigenschaft kann als kennzeichnendes Merkmal der projektiven Geometrie angesehen werden. Siehe dazu: Erlanger Programm. Diese Zusammenhänge waren schon im Altertum bekannt und finden sich z. B. bei Pappos. Sie sind der entscheidende Grund dafür, dass der Begriff Doppelverhältnis überhaupt entwickelt wurde.

Doppelverhältnis und hyperbolischer Abstand[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die reelle projektive Gerade ist der Rand im Unendlichen der hyperbolischen Ebene. Der hyperbolische Abstand lässt sich aus dem Doppelverhältnis rekonstruieren wie folgt.

Für zwei Punkte und der hyperbolischen Ebene sei die eindeutige durch diese beiden Punkte verlaufende Geodätische und seien ihre Endpunkte im Unendlichen. Seien die durch bzw. verlaufenden Horosphären mit Mittelpunkt und seien die Mittelpunkte der beiden zu und tangentialen Horosphären. Dann kann der hyperbolische Abstand berechnet werden durch

.

Umgekehrt kann das Doppelverhältnis aus dem hyperbolischen Abstand rekonstruiert werden durch die Formel

wobei die Konvergenz entlang einer Geodätischen erfolgt.

Diese Formel erlaubt eine direkte Verallgemeinerung des Doppelverhältnisses für 4-Tupel von Punkten im Unendlichen eines beliebigen CAT(-1)-Raumes, insbesondere einer Hadamard-Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung.[1]

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Doppelverhältnis und seine Invarianz unter Projektivitäten wurde in der Antike von Pappos verwendet[2] und um 1640 von Desargues wiederentdeckt.[3] Es wurde zu einem Standardwerkzeug in der Blüte der projektiven Geometrie im 19. Jahrhundert. Cayley benutzte es 1859 in "Sixth memoir on quantics" zur Definition einer Metrik in der projektiven Geometrie, siehe Hilbert-Metrik. Felix Klein bemerkte 1871 in "Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie", dass man auf diese Weise die hyperbolische Metrik der Kreisscheibe erhält, siehe Beltrami-Klein-Modell.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Jean-Pierre Otal: Sur la géometrie symplectique de l'espace des géodésiques d'une variété à courbure négative. Rev. Mat. Iberoamericana 8 (1992), no. 3, 441–456.
  2. Proposition 129 in Buch VII von Pappus' Mathematical Collection (ca. 300 v. Chr.)
  3. Abraham Bosse: Manière universelle de Mr Desargues pour pratiquer le perspective par petit-pied. Pierre Des-Hayes, Paris 1648 (Online [abgerufen am 30. Januar 2017]).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]