Dreiecksfunktion

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Dreiecksfunktion

Die Dreiecksfunktion, auch tri-Funktion, triangle-Funktion oder tent-Funktion, ist eine mathematische Funktion mit folgender Definition:

.

Sie kann dazu gleichwertig auch als Faltung der Rechteckfunktion rect mit sich selbst definiert werden, wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist:

.
Faltung zweier Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion

Durch einen Parameter kann die Dreiecksfunktion skaliert werden:

Die Dreiecksfunktion findet vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen Anwendung. Sie dient dort neben der Gauß-Funktion, der Heaviside-Funktion und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen. Technische Anwendungen liegen im Bereich von Optimalfiltern oder bei Fensterfunktionen wie dem Bartlett-Fenster.

Die Fourier-Transformation der Dreiecksfunktion ergibt die quadrierte si-Funktion:

Allgemeine Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Allgemeinen möchte man die Dreiecksfunktion skalieren. Von Interesse sind hierbei die Streckung in x-Richtung, sowie die Höhe an der Spitze. Für die Streckung ist T die halbe Periodendauer, also die Distanz vom Beginn der Dreiecksfunktion bis zum Mittelpunkt t0. Die Höhe an der Stelle t0 ist durch

gegeben.

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung der Dreiecksfunktion stellt eine Summe von zwei Rechteckfunktionen rect dar:

welche sich auch als Summe von drei Sprungfunktionen ε darstellen lassen:

wobei 2T die Periodendauer, t0 den Mittelpunkt und a die Höhe der Dreiecksfunktion darstellen. Der Vorfaktor tritt daher als Steigung der Dreiecksfunktion in der Ableitung auf.

Dreieckschwingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Dreieckschwingung ist im Gegensatz zur hier dargestellten Dreiecksfunktion eine periodische Funktion, die sich durch periodische Fortsetzung des Intervalls [−1;1] ergibt, im Allgemeinen ergänzt um einen konstanten Offset. Eine Dreieckschwingung im engeren Sinne enthält keinen Gleichanteil, die Minima und Maxima sind also dem Betrage nach gleich.

Die Funktion

bzw. die Fourierreihe

mit a für die Amplitude und ω für die Kreisfrequenz erzeugt ein kontinuierliches Dreiecksignal.

Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. 6. Auflage. Springer Verlag, 1995, ISBN 3-540-54824-6.