Dreiecksfunktion

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Dreiecksfunktion

Die Dreiecksfunktion, auch tri-Funktion, triangle-Funktion oder tent-Funktion, ist eine mathematische Funktion mit folgender Definition:

.

Sie kann dazu gleichwertig auch als Faltung der Rechteckfunktion mit sich selbst definiert werden, wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist:

.
Faltung zweier Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion

Durch einen Parameter kann die Dreiecksfunktion skaliert werden:

Die Dreiecksfunktion findet vor allem im Bereich der Signalverarbeitung zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen Anwendung. Sie dient dort neben der Gauß-Funktion, der Heaviside-Funktion und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen. Technische Anwendungen liegen im Bereich von Optimalfiltern oder bei Fensterfunktionen wie dem Bartlett-Fenster.

Die Fourier-Transformation der Dreiecksfunktion ergibt die quadrierte si-Funktion:

Allgemeine Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Allgemeinen möchte man die Dreiecksfunktion skalieren. Von Interesse sind hierbei die Streckung in x-Richtung, sowie die Höhe an der Spitze. Für die Streckung ist die halbe Periodendauer, also die Distanz vom Beginn der Dreiecksfunktion bis zum Mittelpunkt . Die Höhe an der Stelle ist durch

gegeben.

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung der Dreiecksfunktion stellt eine Summe von zwei Rechteckfunktionen dar:

welche sich auch als Summe von drei Sprungfunktionen darstellen lassen:

wobei die Periodendauer, den Mittelpunkt und die Höhe der Dreiecksfunktion darstellen. Der Vorfaktor tritt daher als Steigung der Dreiecksfunktion in der Ableitung auf.

Dreieckschwingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Dreieckschwingung ist im Gegensatz zur hier dargestellten Dreiecksfunktion eine periodische Funktion, die sich durch periodische Fortsetzung des Intervalls ergibt, im Allgemeinen ergänzt um einen konstanten Offset. Eine Dreieckschwingung im engeren Sinne enthält keinen Gleichanteil, die Minima und Maxima sind also dem Betrage nach gleich.

Die Funktion

bzw. die Fourierreihe

omega mit für die Amplitude und für die Kreisfrequenz erzeugt ein kontinuierliches Dreieckssignal.

Verallgemeinert und mit der Sinusgrundfunktion der Form

in Einklang gebracht folgt:

.

Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. 6. Auflage. Springer Verlag, 1995, ISBN 3-540-54824-6.