Einsteinsche Summenkonvention

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Die einsteinsche Summenkonvention ist eine Konvention zur Notation mathematischer Ausdrücke innerhalb des Ricci-Kalküls und stellt eine Indexschreibweise dar. Dieser Kalkül wird in der Tensoranalysis, der Differentialgeometrie und insbesondere in der theoretischen Physik verwendet. Die Summenkonvention wurde 1916 von Albert Einstein eingeführt. Mit ihr werden die Summenzeichen zur Verbesserung der Übersicht einfach weggelassen und stattdessen wird über doppelt auftretende Indizes summiert.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Matrix- und Tensorrechnung werden oft Summen über Indizes gebildet. Zum Beispiel lautet das Matrizenprodukt zweier -Matrizen und in Komponenten:

Hier wird über den Index von 1 bis summiert. Treten mehrere Matrizenmultiplikationen, Skalarprodukte oder andere Summen in einer Rechnung auf, kann dies schnell unübersichtlich werden. Mit der einsteinschen Summenkonvention lautet die Rechnung von oben dann:

Formale Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im einfachsten Fall der Summenkonvention gilt: Über doppelt auftretende Indizes innerhalb eines Produkts wird summiert. In der Relativitätstheorie gilt als zusätzliche Regel: Summiert wird nur, wenn der Index sowohl als oberer (kontravarianter) und als unterer (kovarianter) Index auftritt.

Die Summenkonvention verringert vor allem den Schreibaufwand. Teilweise hilft sie dabei, bestehende Zusammenhänge und Symmetrien hervorzuheben, die in der konventionellen Summenschreibweise nicht so leicht erkennbar sind.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ohne Beachtung der Indexstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den folgenden Beispielen stehen für Matrizen mit Einträgen und für dazu passende Vektoren.

  • Standardskalarprodukt .
  • Anwendung einer Matrix auf einen Vektor:
  • Produkt mehrerer (hier 4) Matrizen: .
  • Spur einer Matrix A:

Unter Berücksichtigung der Indexstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Produkt zweier Tensoren mit Tensorkomponenten und ist
  • Anwendung eines Tensors mit Komponenten auf die Summe der Vektoren , um Vektor zu erhalten: .
  • Ein Tensorfeld t in einer Umgebung hat die Darstellung
Hierbei versteht man den Index des Objektes als unteren Index.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]