Erdős-Straus-Vermutung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die zahlentheoretische Erdős-Straus-Vermutung (nach den Mathematikern Paul Erdős und Ernst Gabor Straus) besagt, dass stets einer Summe von drei Stammbrüchen entspricht.

Die Vermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichung besitzt für jedes natürliche eine Lösung, wobei , und ebenfalls natürliche Zahlen sind.

Es ist unmittelbar klar dass vier Stammbrüche immer reichen (man wähle für die Summanden viermal ) und die Vermutung entspricht der nächst kleineren Anzahl von Stammbruch-Summanden.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die geometrische Interpretation der Erdős-Straus-Vermutung liefert für jedes natürliche einen Quader mit den Kantenlängen , und (, und natürliche Zahlen), so dass dessen 8-faches Volumen geteilt durch dessen Oberfläche den Wert von Längeneinheiten ergibt.

Beispiele, Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Zwei Lösungen für sind .
  • Für alle mit wurde eine Lösung gefunden.
  • Für alle mit natürlichem ist die Behauptung trivial mit , da
  • Auch der etwas allgemeinere Fall mit natürlichem ist sehr einfach mit und zu lösen, denn .
  • Allan Swett zeigte 1999, dass die Vermutung bis gilt und diese Obergrenze ist seitdem noch erweitert worden.[1]

Mini-Erdős-Straus-Vermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Variante der Erdős-Straus-Vermutung ist die Mini-Erdős-Straus-Vermutung, die besagt, dass zu der Gleichung für jedes natürliche eine Lösung mit natürlichen und existiert.

Diese Vermutung ist falsch, da für die Gleichung genau dann keine Lösung für natürliche und existiert, wenn alle Primfaktoren von die Form haben.[2]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Serge Salez, The Erdős-Straus conjecture New modular equations and checking up to , Arxiv
  2. Beweis