Erste Variation

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In der angewandten Mathematik und in der Variationsrechnung ist die erste Variation des Funktionals J(y) definiert als

\delta J(y)(h)= \left.\frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\right|_{\varepsilon = 0},

wobei J(y): X\rightarrow \R ein Funktional, sowie y,h\in X Funktionen im Funktionenraum X, und ε ein Skalar ist (gesprochen: die erste Variation von J nach y).

Alternative Definition[Bearbeiten]

Eine alternative Definition, welche auch häufiger in der theoretischen Physik, vor allem aber in der Feldtheorie anzutreffen ist, lautet wie folgt:

Sei {\mathcal D}(\Omega) ein Raum von Testfunktionen über \Omega und

F\colon {\mathcal D}(\Omega) \rightarrow \mathbb{K} \quad \mbox{wobei} \quad \mathbb{K} = \mathbb{R}\ \mbox{oder}\ \mathbb{K} = \mathbb{C}

ein lineares Funktional.

Die erste Variation (manchmal auch als Funktionalableitung bezeichnet) {\delta F}/{\delta\varphi} von F ist definiert als jene Distribution aus {\mathcal D}^\prime(\Omega) welche

\left\langle \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x)}, f(x) \right\rangle = \int \frac{\delta F[\varphi(x)]}{\delta\varphi(x')} f(x')dx' = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\varphi(x)+\varepsilon f(x)]-F[\varphi(x)]}{\varepsilon} = \left.\frac{d}{d\epsilon}F[\varphi+\epsilon f]\right|_{\epsilon=0} \quad \forall f\in{\mathcal D}(\Omega)

erfüllt. Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten, wobei durch die Notation \tfrac{\delta}{\delta\varphi(x)} ausgedrückt werden soll, dass die Ableitung in Richtung einer Testfunktion \varphi(x) \in {\mathcal D}(\Omega) stattfindet.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  1. Die erste Variation ist eine lineare Abbildung:
    \delta(F(y)+\alpha G(y))(h) = \delta F(y)(h) + \alpha\delta G(y)(h)\quad\forall\alpha\in\mathbb{K}, \forall F,G\in{\mathcal D}^\prime(\Omega)
  2. Für ein Produkt aus Funktionalen F(y)=G(y)H(y) gilt die Produktregel:
    \delta F(y)(h)=\delta G(y)(h)\ H(y) +G(y)\ \delta H(y)(h)

Beispiel[Bearbeiten]

Die erste Variation von

J(y)=\int_a^b yy' dx.

Nach der Definition oben ist,


\begin{align}
\delta J(y)(h)&=\left.\frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\right|_{\varepsilon = 0}\\
&= \left.\frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (y + \varepsilon h)(y^\prime + \varepsilon h^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}\\
&= \left.\frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}\\
&= \left.\int_a^b \frac{d}{d\varepsilon} (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}\\
&= \left.\int_a^b (yh^\prime + y^\prime h + 2\varepsilon hh^\prime) \ dx\right|_{\varepsilon = 0}\\
&= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h) \ dx
\end{align}

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]