Funktionalableitung

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Die Funktionalableitung ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals. Ein Funktional ist dabei eine Abbildung, die einer Funktion eine Zahl zuordnet. Weil der zugrundeliegende Vektorraum in diesem Fall also ein Funktionenraum ist, wird „in Richtung einer Funktion“ abgeleitet. Ein verwandtes Konzept ist die erste Variation.

Die Funktionalableitung ist in der angewandten Mathematik und der theoretischen Physik relevant. Dort wird sie unter anderem in der Dichtefunktionaltheorie und der Feldtheorie verwendet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Funktionenraum; ein (lineares oder nicht-lineares) Funktional mit oder ; eine Funktion und . Weiterhin bezeichne einen Raum von Testfunktionen über ; .

Als Funktionalableitung von definiert man jene Funktion (oder Distribution) , welche:

erfüllt. [1]

Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten, was durch die Notation ausgedrückt werden soll.

Zusammenhang zur ersten Variation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Während die erste Variation das Gâteaux-Differential eines Funktionals an der Stelle in Richtung einer Funktion ist, entspricht die Funktionalableitung der Fréchet-Ableitung des Funktionals an der Stelle . Wenn Fréchet-differenzierbar ist, dann ist auch Gâteaux-differenzierbar und die Fréchet-Ableitung entspricht der Gâteaux-Ableitung. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Für Details siehe Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Funktionalableitung ist eine lineare Abbildung[1]:
  2. Für ein Produkt aus Funktionalen gilt die Produktregel[1]:
  3. Für lokale Funktionale gilt die Kettenregel:[2]
  4. Falls das Funktional die Form hat, dann gilt:[2]
  5. Falls das Funktional linear in der Form ist, dann ist die Funktionalableitung besonders einfach:[2]
    Korollar: Wenn F linear ist, dann ist . Dies ist auch ein Folgerung aus dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz: Weil F hier ein lineares Funktional ist, lässt es sich als Skalarprodukt darstellen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Das nicht-lineare Funktional hat die Funktionalableitung , wie sich mithilfe der Definition leicht zeigen lässt:
    Da dies für alle Testfunktionen h gelten muss, folgert man: .
  2. Ein anderes Beispiel stammt aus der Dichtefunktionaltheorie. In der LDA-Näherung ist dort die Austauschenergie
    ein Funktional der Dichte .[3] Das zugehörige Austauschpotential ist
    .
  3. Ein weiteres, mehrdimensionales Beispiel aus der Dichtefunktionaltheorie ist die Elektron-Elektron-Wechselwirkung als Funktional F der Dichte ϱ:
    Wir rechnen nach:
    Da dies für alle Testfunktionen h gelten muss, folgert man das bekannte[1] Ergebnis: .
  4. In der Quantenfeldtheorie ist folgendes Beispiel nützlich, um Korrelationsfunktionen aus Zustandssummen zu berechnen. Das Funktional ist
    Mithilfe des Grenzwerts zeigt man leicht:
  5. Lässt man auch Distributionen zu, so kann man eine Funktion mithilfe der Dirac'schen Delta-Distribution als Funktional schreiben: . In diesem Sinne ist[2]
    .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c d R. G. Parr, W. Yang Appendix A, Functionals. In: Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. Oxford University Press, New York 1989, ISBN 978-0195042795, S. 246–254
  2. a b c d Michael J. Gruber, Uni Hannover, Funktionalableitungen "in a nutshell", abgerufen am 7. April 2016
  3. Klaus Capelle, A bird's-eye view of density-functional theory, Version 5, November 2006, Gleichung (83)