Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)

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Die Euler-Gleichungen (oder auch eulerschen Gleichungen) der Strömungsmechanik sind ein von Leonhard Euler entwickeltes mathematisches Modell zur Beschreibung der Strömung von reibungsfreien elastischen Fluiden. Die Gleichungen sind in eulerscher Betrachtungsweise formuliert und lauten:

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}
+ (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}
+ \frac{1}{\rho} \operatorname{grad}(p) = \vec{k}
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{\partial v_i}{\partial t}
+ \sum_{j=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_j} v_j
+ \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} = k_i
\;,\quad i=1,2,3\,.

Der Vektor \vec{v} ist das Geschwindigkeitsfeld im Fluid mit Komponenten v_{1,2,3} in Richtung der kartesischen Koordinaten x_{1,2,3}, \rho die Dichte, p der Druck und \vec{k} eine äußere volumenverteilte Beschleunigung (z. B. Schwerebeschleunigung). Der Vektorgradient (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} entspricht dem Produkt aus dem Geschwindigkeitsgradienten und der Geschwindigkeit: (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}. Alle Variablen in den Euler-Gleichungen sind im Allgemeinen sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängig. Die linke Vektorgleichung ist die koordinatenfreie Version, die in beliebigen Koordinatensystemen gilt, und die rechten Komponentengleichungen ergeben sich im Sonderfall des kartesischen Koordinatensystems.

Bei den Euler-Gleichungen handelt es sich um ein partielles Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Die Navier-Stokes-Gleichungen beinhalten diese Gleichungen als den Sonderfall, in dem die innere Reibung (Viskosität) und die Wärmeleitung des Fluids vernachlässigt werden.

Anwendung finden die Euler-Gleichungen bei laminaren Strömungen, wie sie in technischen Rohrströmungen oder in der Flugzeugentwicklung in guter Näherung angenommen werden können. Bei Inkompressibilität lässt sich aus den Euler-Gleichungen die Bernoullische Energiegleichung ableiten und bei zusätzlich wirbelfreier Strömung ergeben sich Potentialströmungen.

Herleitung[Bearbeiten]

Die Euler-Gleichungen können auf verschiedene Weise hergeleitet werden: Ein verbreiteter Ansatz wendet das Transporttheorem von Reynolds auf das zweite newtonsche Axiom an. Das Transporttheorem beschreibt die zeitliche Änderung einer physikalischen Größe in einem bewegten Kontrollvolumen.

Ein weiterer Ansatz geht von der Boltzmann-Gleichung aus: Der Kollisionsoperator wird dort mit drei möglichen Termen multipliziert, den sog. Kollisionsinvarianten. Nach Integration über die Teilchengeschwindigkeit entstehen Kontinuitätsgleichung, Impulsgleichung und Energiebilanz. Schließlich wird eine Skalierung für große Zeit- und Raumabmessungen durchgeführt (Hydrodynamische Limites), und das Ergebnis sind die erweiterten Euler-Gleichungen.

Formulierung[Bearbeiten]

Impulsgleichung[Bearbeiten]

Der wesentliche Teil der Euler-Gleichungen ist das erste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz, das dem Impulssatz entspricht:

\rho\left[\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}+\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}\right]
=\rho\,\vec{k}+\operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma})\,.

Zusätzlich zu den eingangs beschriebenen Variablen tritt hier der Cauchy’sche Spannungstensor \boldsymbol{\sigma} und der Divergenzoperator div auf. Innere Reibung, die sich in Viskosität und damit in Schubspannungen zeigen würde, wird in elastischen Fluiden vernachlässigt, weshalb der Spannungstensor dort Diagonalgestalt hat. Des Weiteren ist jedes Fluid auch isotrop. Wird nun ein Fluid gedanklich in zwei Teile zerschnitten, dann bilden sich an den Schnittflächen Schnittspannungen aus, die senkrecht zur Schnittfläche sind, denn der Druck in einem elastischen Fluid wirkt immer senkrecht auf begrenzende Flächen. In einer isotropen Flüssigkeit muss die Normalspannung für alle Orientierungen der Schnittfläche dieselbe sein weshalb der Spannungstensor mithin ein Vielfaches des Einheitstensors I ist:[L 1] \boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I}. Ein Spannungstensor dieser Form wird auch Drucktensor genannt, denn der Proportionalitätsfaktor p ist der Druck. Ausführung der Ableitung zeigt: \operatorname{div}(-p\mathbf{I}) =-\operatorname{grad}(p). Dies in das Bewegungsgesetz eingesetzt ergibt nach Division durch die Dichte und Vernachlässigung äußerer Kräfte:


\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} +
\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v} + \frac{1}{\rho} \operatorname{grad}(p) = \vec{0}\;.

In kartesischen Koordinaten lautet diese Gleichung im zweidimensionalen Fall für \vec{v}=(v_1, v_2) und \vec{x}=(x_1, x_2) vollständig ausgeschrieben:


\begin{align}
\frac{\partial v_1}{\partial t} +
v_1\frac{\partial v_1}{\partial x_1} + v_2\frac{\partial v_1}{\partial x_2} +
\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_1}
& = 0 \\
\frac{\partial v_2}{\partial t} +
v_1\frac{\partial v_2}{\partial x_1} + v_2\frac{\partial v_2}{\partial x_2} +
\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_2} &= 0\;.
\end{align}

Die Terme mit Ableitungen der Geschwindigkeit bilden die substanzielle Beschleunigung, bestehend aus der lokalen und der konvektiven Beschleunigung:


\frac{D\vec{v}}{D t} =
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} +
\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}\;.

Flussformulierung[Bearbeiten]

Obige Bewegungsgleichung ist auf Grund der Kontinuitätsgleichung äquivalent zur Bilanzgleichung der Impulsdichte \vec m = \rho \vec{v} für ideale Fluide:


\frac{ \partial \vec{m} }{ \partial t }
+ \operatorname{div}(\vec{v}\otimes\vec{m}) + \operatorname{grad}(p)
= \vec{0}

oder in alternativer Schreibweise


\frac{ \partial \vec{m} }{ \partial t }
+ \operatorname{div}(\vec{v}\otimes\vec{m} + p \mathbf{I} )
= \vec{0}\;.

Das Rechenzeichen „\otimes“ bildet das dyadische Produkt. Der symmetrische Tensor

 \vec{v}\otimes\vec{m} = \vec{m}\otimes\vec{v} = \rho\vec{v}\otimes\vec{v}
= \sum_{i,j=1}^3 v_i m_j\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j

ist der konvektive Transport der Impulsdichte, seine Divergenz


\operatorname{div}(\vec{v}\otimes\vec{m})
= \operatorname{div}(\vec{v})\vec{m} + \operatorname{grad}(\vec{m})\cdot\vec{v}

ist der konvektive Impulsfluss.

Integriert man über ein ortsfestes Volumen V und wendet den Gaußschen Integralsatz an, so erhält man:


  \frac {\partial}{\partial t} \int_V \vec{m} \; \mathrm{d} V
+ \oint_S ( \vec{v}\otimes\vec{m} + p \mathbf{I} ) \cdot \vec{n} \; \mathrm{d} S
= \vec{0}\;.

Hierbei ist V das Volumen mit der Oberfläche S und \vec{n} ist der Normaleneinheitsvektor auf dem Flächenelement \mathrm{d}S. Diese Formulierung der Gleichung beweist die Erhaltung des Impulses bei Einführung des statischen Druckes p. Der Druck ist eine Oberflächenkraft und nimmt Einfluss auf den Impuls durch Austausch mit der Umgebung. Kräfte werden nur senkrecht zur Oberfläche übertragen, es treten keine Reibungskräfte auf.

Umgekehrt folgen die Euler-Gleichungen aus der Impulsbilanz an beliebigen, hinreichend glatt berandeten Volumina V, wenn man annimmt, dass es einen hydrostatischen Druck gibt und nur dieser Kräfte auf V (und zwar über die Oberfläche und nur in Normalenrichtung) überträgt – vorausgesetzt die auftretenden Funktionen sind hinreichend glatt, um den Gaußschen Integralsatz anwenden zu können.

Vollständiges Gleichungssystem[Bearbeiten]

Obige Impulsgleichung stellt (selbst mit passenden Rand- und Anfangsbedingungen) kein geschlossenes System dar. Intuitiv sieht man dies bereits, da man im n-Dimensionalen nur n Differentialgleichungen für n+1 unbekannte Funktionen (Geschwindigkeit und Druck) hat. Um das System zu schließen, ist noch mindestens eine weitere Gleichung nötig.

Inkompressibler Fall[Bearbeiten]

Die Annahme der Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten bei moderaten Drücken und für Gaströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit eine häufig sinnvolle Näherung. Inkompressible Fluide sind dichtebeständig (\rho=\text{const.}) und das Gleichungssystem wird durch Hinzunahme der Massenerhaltung in Form der Kontinuitätsgleichung

\operatorname{div}\vec{v}=0

geschlossen. Die Lösung der Gleichungen vereinfacht sich dadurch, dass sich der Druck durch Bildung der Rotation aus der Euler-Gleichung eliminieren läßt:[L 2]

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}(\vec{v})
+\operatorname{rot(grad}(\vec{v})\cdot\vec{v})
+\frac{1}{\rho} \underbrace{\operatorname{rot(grad}(p))}_{=\vec{0}}
=&
\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}(\vec{v})
+\underbrace{\operatorname{rot}\left(\frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}\cdot\vec{v})\right)}_{=\vec{0}}
-\operatorname{rot}(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})=\operatorname{rot}(\vec{k})
\\
\rightarrow
\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}(\vec{v})
=&
\operatorname{rot}(\vec{v}\times\operatorname{rot}\vec{v})+\operatorname{rot}(\vec{k})\,.
\end{align}

Hier wurde die Grassmann-Entwicklung[F 1] einsetzt. Der Druck ergibt sich hier nicht aus einer Zustandsgleichung der Form p=p(\rho) sondern allein aus der Impulsbilanz in Form der Euler-Gleichung und den Randbedingungen, d. h. aus dem bereits berechneten Geschwindigkeitsfeld. Anwendung der Divergenz auf die Euler-Gleichung liefert die Bestimmungsgleichung für den Druck:[F 2]

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}\underbrace{\operatorname{div}(\vec{v})}_{=0}
+ \operatorname{div(grad}(\vec{v})\cdot\vec{v})
+ \frac{1}{\rho} \underbrace{\operatorname{div(grad}(p))}_{=\Delta p}
=&
\operatorname{div}(\operatorname{grad}(\vec{v}))\cdot\vec{v}
+\operatorname{Sp(grad}(\vec{v})\cdot\operatorname{grad}(\vec{v}))
+ \frac{1}{\rho} \Delta p
\\
=&
\operatorname{grad}(\underbrace{\operatorname{div}(\vec{v})}_{=0})\cdot\vec{v}
+\operatorname{Sp(grad}(\vec{v})\cdot\operatorname{grad}(\vec{v}))
+ \frac{1}{\rho} \Delta p = \operatorname{div}(\vec{k})
\\
\rightarrow
\Delta p
=&
\rho \operatorname{div}(\vec{k})-\rho\operatorname{Sp(grad}(\vec{v})\cdot\operatorname{grad}(\vec{v}))\,.
\end{align}

Der Operator Sp berechnet die Spur und das Produkt der Geschwindigkeitsgradienten wird mit dem Tensorprodukt\cdot“ gebildet. In kartesischen Koordinaten entwickelt sich:

\operatorname{Sp(grad}(\vec{v})\cdot\operatorname{grad}(\vec{v}))
=\operatorname{Sp}\left(\sum_{i,j=1}^3
\frac{\partial \vec{v}}{\partial x_i}\otimes\hat{e}_i\cdot
\frac{\partial \vec{v}}{\partial x_j}\otimes\hat{e}_j\right)
=\operatorname{Sp}\left(\sum_{i,j=1}^3
\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\frac{\partial \vec{v}}{\partial x_i}\otimes\hat{e}_j\right)
=
\sum_{i,j=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\,.

Kompressibler Fall[Bearbeiten]

Bei kompressiblen Fluiden und insbesondere, wenn die Temperatur als weitere Unbekannte eine Rolle spielt, benötigt man außerdem die Energieerhaltung und Zustandsgleichungen (d. h. konstitutive Gleichungen) des zu modellierenden Fluids. Im dreidimensionalen Fall ergeben sich so die fünf gekoppelten Differentialgleichungen

\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \left( \operatorname{div} \mathbf{f}\left(\vec{u}\right) \right)^{\top} = \vec{0}\;,

wobei \vec{u} = \left(\rho,\, \rho v_1,\, \rho v_2,\, \rho v_3,\, \rho H\right)^{\top} der Vektor der Erhaltungsvariablen ist und der Fluss \mathbf{f}=\left( \vec{f}_1,\, \vec{f}_2,\, \vec{f}_3 \right)^{\top} mit der Enthalpie H durch folgende Ausdrücke gegeben ist:


\vec{f}_1 = \begin{pmatrix}\rho v_1 \\ \rho v_1^2 + p \\ \rho v_1 v_2   \\ \rho v_1 v_3   \\ \rho v_1 H \end{pmatrix}\,, \quad
\vec{f}_2 = \begin{pmatrix}\rho v_2 \\ \rho v_1 v_2   \\ \rho v_2^2 + p \\ \rho v_2 v_3   \\ \rho v_2 H \end{pmatrix}\,, \quad
\vec{f}_3 = \begin{pmatrix}\rho v_3 \\ \rho v_1 v_3   \\ \rho v_2 v_3   \\ \rho v_3^2 + p \\ \rho v_3 H \end{pmatrix}\;.

Die erste Gleichung in diesem System ist die Kontinuitätsgleichung für den kompressiblen Fall

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div} \left( \rho\,\vec{v} \right) = 0\;,

die zweite bis vierte Gleichung sind die Impulsgleichungen (Euler-Gleichungen im engeren Sinn, siehe oben) und die letzte Gleichung ist die Energiebilanz. Zusammen mit einer thermischen Zustandsgleichung, welche Druck p, Temperatur T und Dichte \rho miteinander verknüpft, sowie einer kalorischen Zustandsgleichung, welche Temperatur T, Druck p und Enthalphie H verknüpft, erhält man ein formal geschlossenes Gleichungssystem, um die sieben unbekannten Größen Geschwindigkeit v_1, v_2 und v_3, Druck p, Dichte \rho, Temperatur T und Enthalpie H zu berechnen. In der Praxis wird oft ein perfektes Gas-Modell verwendet, d. h. ein ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität.

In diesem Modell werden Wärmeleitung und innere Reibung vernachlässigt. Berücksichtigt man auch Reibungs- und gegebenenfalls Wärmeleitungseffekte, so erhält man an Stelle der Euler-Gleichungen die Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Fluide.

Randbedingungen[Bearbeiten]

An festen Wänden wird als Bedingung gesetzt, dass die Geschwindigkeit in Normalenrichtung \vec{n} null ist: \vec{n}\cdot\vec{v} = 0. Flächen können durch eine skalare Funktion f mittels f(\vec{x},t)=0 definiert werden und die Normale der Fläche ist dann der Gradient \vec{n}=\operatorname{grad}(f). Außerdem kann sich die Fläche auch noch bewegen. Allgemein lautet also die Randbedingung an einer undurchdringlichen Wand, die mit einer Funktion f in einem Gebiet \vec{x}\in\Omega_u beschrieben ist:

\frac{\partial f(\vec{x},t)}{\partial t}+\operatorname{grad}(f(\vec{x},t))\cdot\vec{v}(\vec{x},t)=0
\quad\forall\;\vec{x}\in \{\vec{u}|\vec{u}\in\Omega_u\wedge f(\vec{u},t)=0\}
\,.

An die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit wird hier wegen der angenommen Reibungsfreiheit keine Bedingung gestellt, was im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen ist, bei denen die No-Slip-Bedingung gilt.

Außerdem können Druckrandbedingungen, wie z. B. an der Oberfläche \Omega_p eines Gewässers, auftreten:

\frac{\partial g(\vec{x},t)}{\partial t}+\operatorname{grad}(g(\vec{x},t))\cdot\vec{v}(\vec{x},t)=0
\quad\text{und}\quad
p(\vec{x},t)=p_0(\vec{x},t)
\quad\forall\;\vec{x}\in \{\vec{u}|\vec{u}\in\Omega_p\wedge g(\vec{u},t)=0\}
\,.

Die Bestimmung der Oberfläche g, auf der der Druck p_0 vorgegeben ist, kann dann mit zum Problem gehören.[L 3] An der Oberfläche g verschwindet die Normalkomponente der Geschwindigkeit im Allgemeinen nicht. Zumeist, vor allem im technischen Bereich wie z. B. am Auslass eines durchströmten Rohres, ist die Fläche g bekannt, was die Aufgabenstellung erheblich vereinfacht.

Mathematische Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Euler-Gleichungen gehören zur Klasse der nichtlinearen hyperbolischen Erhaltungsgleichungen. Damit treten in der Regel nach endlicher Zeit auch bei glatten Anfangsdaten Unstetigkeiten auf, etwa Schocks (Verdichtungsstöße). Unter starken Voraussetzungen existieren im relevanten Fall \rho, p>0 globale glatte Lösungen, etwa dann, wenn die Lösung sich in einer Art Verdünnungswelle fortbewegt. Im stationären Fall ist die Gleichung je nach Mach-Zahl elliptisch oder hyperbolisch. Bei einer transsonischen Strömung treten dann sowohl Unterschall als auch Überschallgebiete auf, und die Gleichung hat gemischten Charakter.

Die Eigenwerte der Gleichungen sind die Geschwindigkeit in Normalenrichtung v_n (mit Vielfachheit der Dimension) und diese plus minus die Schallgeschwindigkeit, v_n \pm c. Damit sind die Euler-Gleichungen unter Verwendung der idealen Gasgleichung als Druckfunktion im Eindimensionalen sogar strikt hyperbolisch, so dass es für diesen Fall brauchbare Existenz- und Eindeutigkeitsresultate gibt. Im Mehrdimensionalen sind sie aufgrund des mehrfachen Eigenwerts nicht mehr strikt hyperbolisch. Damit ist die mathematische Lösung extrem schwierig. Hierbei dreht es sich vor allem um das Bestimmen physikalisch sinnvoller schwacher Lösungen, also solcher, die sich als Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen mit verschwindender Viskosität interpretieren lassen.

Neben den oben erwähnten Unterschieden bei den Randbedingungen und im Hinblick auf Grenzschichtbildung, ist das Fehlen von Turbulenz ein wesentlicher Unterschied zwischen den Euler- und den Navier-Stokes-Gleichungen.

Die Euler-Gleichungen sind rotationsinvariant. Darüber hinaus sind die Flussfunktionen homogen, es gilt also \vec{f}_l(\vec{u}) = \frac{\partial \vec{f}_l(\vec{u})}{\partial \vec{u}}\vec{u}.

Numerische Lösung[Bearbeiten]

Da die Euler-Gleichungen Erhaltungsgleichungen darstellen, werden sie in der Regel mit Hilfe von Finite-Volumen-Verfahren gelöst. Umgekehrt waren die Bemühungen aus dem Bereich der Aerodynamik seit den 1950ern, die Euler-Gleichungen numerisch zu simulieren, treibende Kräfte bei der Entwicklung von Finite-Volumen-Verfahren. Da im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen keine Grenzschicht berücksichtigt werden muss, kann die Simulation auf vergleichsweise groben Rechengittern passieren. Die zentrale Schwierigkeit stellt die Behandlung des Euler-Flusses dar, der üblicherweise mit Hilfe von approximativen Riemann-Lösern behandelt wird. Diese liefern eine Näherung an die Lösung von Riemann-Problemen entlang von Zellkanten. Das Riemann-Problem der Euler-Gleichungen ist sogar exakt lösbar, allerdings ist die Berechnung dieser Lösung extrem aufwändig. Seit den 1980ern wurden deswegen zahlreiche approximative Löser entwickelt, angefangen mit dem Roe-Löser bis hin zur AUSM-Familie in den 1990ern.

Bei der Zeitintegration ist die CFL-Bedingung zu beachten. Gerade im Bereich von Machzahlen nahe null oder eins werden die Gleichungen aufgrund der unterschiedlich Eigenwertskalen sehr steif, was den Einsatz impliziter Zeitintegrationsverfahren notwendig macht: die CFL-Bedingung orientiert sich am größten Eigenwert (v_n \pm c), während die für die Simulation relevanten Teile der Strömung sich mit v_n bewegen. Ein explizites Verfahren bräuchte damit in den meisten Fällen inakzeptabel viele Zeitschritte.

Die Lösung dabei auftretender nichtlinearer Gleichungssysteme erfolgt dann entweder mit Hilfe von vorkonditionierten Newton-Krylow-Verfahren oder mit speziellen nichtlinearen Mehrgitter-Verfahren.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Aus den Euler-Gleichungen können eine Reihe gasdynamischer Grundgleichungen abgeleitet werden. Dazu gehören die eingangs erwähnte Bernoulli’sche Energiegleichung und die Potentialströmung, denen eigene Artikel gewidmet sind. Im Folgenden sollen die Wellengleichungen der linearen Akustik und ebene, dichtebeständige und stationäre Strömungen vorgestellt werden.

Wellengleichungen der linearen Akustik[Bearbeiten]

Gegeben sei ein ruhendes, im Gleichgewicht befindliches Gas, in dem also das Geschwindigkeitsfeld, die Dichte, der Druck und die Temperatur räumlich und zeitlich konstant sind. Dies bezeichne den Grundzustand des Gases. Betrachtet werden Größen \varphi=\varphi_0+\varphi', deren konstantem Grundzustand \varphi_0 kleine Störungen \varphi' überlagert werden, deren örtlichen Ableitungen ebenfalls klein seien. Die Störungen seien zudem so klein und schnell, dass die Wärmeflüsse ebenfalls vernachlässigt werden können („adiabatische Prozesse“).[L 4] Dann lautet die Massenbilanz an der Stelle \vec{v}_0=\vec{0}:

\frac{\partial (\rho_0+\rho')}{\partial t}+\operatorname{div}[(\rho_0+\rho')\vec{v}']
=
\frac{\partial \rho'}{\partial t}
+\operatorname{div}(\rho_0 \vec{v}')
+\operatorname{div}(\rho' \vec{v}')
\approx
\frac{\partial \rho'}{\partial t}
+\rho_0\operatorname{div}(\vec{v}')=0\,.
 

 

 (I)

 

Die Euler-Gleichung nimmt die Form

\frac{\partial \vec{v}'}{\partial t}
+ \operatorname{grad}(\vec{v}')\cdot\vec{v}'
+ \frac{1}{\rho_0+\rho'} \operatorname{grad}(p_0 + p')
\approx
\frac{\partial \vec{v}'}{\partial t}
+ \frac{1}{\rho_0} \operatorname{grad}(p')
= \vec{k}
 

 

 (II)

 

an, denn die quadratische konvektive Beschleunigung kann gegenüber der lokalen Beschleunigung vernachlässigt werden. Partielle Zeitableitung der Massenbilanz (I) und Subtraktion der mit \rho_0 multiplizierten Divergenz der Euler-Gleichung (II) liefert bei divergenzfreier Schwerebeschleunigung (\operatorname{div}\,\vec{k}=0):

\begin{align}
0&=
\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2}
+\rho_0\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{div}(\vec{v}')
\\
0&=
\rho_0 \operatorname{div}\left(\frac{\partial \vec{v}'}{\partial t}\right)
+ \underbrace{\operatorname{div}(\operatorname{grad}(p'))}_{=\Delta p'}
\\
\Rightarrow\quad 0&=
\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2}
+\underbrace{\rho_0\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{div}(\vec{v}')
-
\rho_0 \operatorname{div}\left(\frac{\partial \vec{v}'}{\partial t}\right)}_{=0}
- \Delta p'
=
\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2}-\Delta p'\,.
\end{align}

In einem idealen Gas ist die Druckänderung unter den getroffenen Voraussetzungen proportional zur Änderung der Dichte, p'=c^2 \rho', und so entstehen die Wellengleichungen der linearen Akustik:


\dfrac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2}=c^2\Delta \rho'
\quad,\qquad
\dfrac{\partial^2 p'}{\partial t^2}=c^2\Delta p'\,.

Die Konstante c ist die Schallgeschwindigkeit und \Delta ist der Laplace-Operator.

Ebene, dichtebeständige und stationäre Strömung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Stromfunktion

Betrachtet wird eine in der x-y-Ebene stattfindende, dichtebeständige und stationäre Strömung. Die Bedingung \operatorname{div}\vec{v}=0 für die Inkompressibilität lautet dann

\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}=0

und wird identisch erfüllt, wenn sich die Geschwindigkeitskomponenten aus den Ableitungen einer skalaren Funktion gemäß

v_x=\frac{\partial \psi}{\partial y}\,,\quad v_y=-\frac{\partial \psi}{\partial x}

berechnen. Die Funktion ψ wird Stromfunktion genannt. Entlang einer Stromlinie ist der Wert der Stromfunktion konstant, so dass ihre Höhenlinien Stromlinien darstellen. In der Umgebung von Extrempunkten der Stromfunktion sind ihre Höhenlinien geschlossene Kurven. Ein Maximum der Stromfunktion wird gegen den Uhrzeigersinn, ein Minimum im Uhrzeigersinn umströmt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Fußnoten[Bearbeiten]

  1. \operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}\cdot\vec{v})-\vec{v}\times\operatorname{rot}(\vec{v}) worin \times das Kreuzprodukt berechnet.
  2. Ausgenutzt wird die Produktregel \operatorname{div}(\mathbf{T}\cdot\vec{v})=\operatorname{div}(\mathbf{T})\cdot\vec{v}+\operatorname{Sp}(\mathbf{T}\cdot\operatorname{grad}(\vec{v})), wobei hier \mathbf{T}=\operatorname{grad}(\vec{v}) ist. Der Operator Sp berechnet die Spur. Die Identität \operatorname{div(grad}(\vec{v}))=\operatorname{grad(div}(\vec{v})) gilt für alle Vektorfelder \vec{v}. In der Literatur kommen andere Definitionen des Divergenzoperators für Tensoren vor, die sich durch die Transposition ihres Argumentes von der hier benutzten unterscheidet. Abweichende Formeln bei der Herleitung sind in der Literatur daher nicht auszuschließen.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. 2006, S. 52.
  2. M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. 2006, S. 54.
  3.  P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2002, ISBN 3-642-07718-8, S. 179ff.
  4. Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. 2003, S. 146ff.

Literatur[Bearbeiten]

  • L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band VI Hydrodynamik. Akademie Verlag Berlin 1991, ISBN 3-05-500070-6.
  •  Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1.
  •  M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6.
  • G. K. Batchelor: An introduction to Fluid Dynamics. (= Cambridge mathematical library). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2000, ISBN 0-521-66396-2.
  • Alexandre Chorin, Jerrold Marsden: A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. (= Texts in Applied Mathematics. 4). 3rd Edition corrected, 3rd printing. Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 3-540-97918-2.
  • Pierre-Louis Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 1: Incompressible Models. (= Oxford lecture series in mathematics and its applications. 3). Clarendon Press, Oxford u. a. 1996, ISBN 0-19-851487-5.
  • Pierre-Louis Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 2: Compressible Models. (= Oxford lecture series in mathematics and its applications. 10). Clarendon Press, Oxford u. a. 1998, ISBN 0-19-851488-3.
  • Edwige Godlewski, Pierra-Arnaud Raviart: Hyperbolic Systems of Conservation Laws. (= Mathématiques & applications. 3/4). Ellipses, Paris 1991.