Eulersche Winkel

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Die Eulerschen Winkel (oder Eulerwinkel) sind ein Satz dreier unabhängiger Parameter, mit denen die Orientierung (Drehlage) eines festen Körpers im dreidimensionalen Raum beschrieben werden kann.[1] Im Besonderen dienen sie dazu, die in einem kartesischen Koordinatensystem bekannten Koordinaten eines zu einem Körperpunkt führenden Ortsvektors in die zu einem anderen kartesischen Koordinatensystem, das zum ersten verdreht[Anmerkungen 1] ist, gehörenden Koordinaten umzurechnen.

Die Umrechnung erfolgt mit Hilfe einer Drehmatrix, die die im Ursprungspunkt stattfindende Drehung eines Koordinatensystems (gängige Bezeichnungen: raumfestes oder Labor-System) in ein anderes (gängige Bezeichnungen: körperfestes oder Körper-System) darstellt. Die Drehung erfolgt in drei Schritten nacheinander, deren Drehwinkel als die drei Eulerwinkel definiert sind. Die erste Drehachse ist eine raumfeste, die beiden anderen sind bei den jeweils anderen Drehungen mitgedrehte Achsen.[1]:161

Das Umgekehrte, die Umrechnung von körperfesten in raumfeste Koordinaten und die Ermittlung der entsprechenden Drehmatrix sind analog durchzuführen. Die Ermittlung der Drehmatrix vereinfacht sich, wenn die Vorwärts-Matrix bekannt ist, denn die eine Matrix ist die transponierte Matrix der anderen.[2]:163

Drehung eines Körpers mit eigenem Koordinatensystem (rot) aus einem Referenzsystem (blau) heraus als Folge von drei einzelnen Drehungen um eigene Körperachsen

Rechnen mit Drehmatrizen und Drehfolgen-Unterschiede[Bearbeiten]

Die Sinus- und Cosinus-Werte der Eulerwinkel sind die Elemente einer Drehmatrix, mit deren Hilfe sich die beispielsweise im raumfesten xyz-Koordinatensystem angegebenen Koordinaten in die Koordinaten im körpereigenen XYZ-Koordinatensystem und umgekehrt umrechnen lassen.


\begin{align}
  \begin{pmatrix}
    X \\
    Y \\
    Z \\
  \end{pmatrix}
 & =
    M
  \begin{pmatrix}
    x \\
    y \\
    z \\
  \end{pmatrix}
\end{align} 
                          
\begin{align}
  \begin{pmatrix}
    x \\
    y \\
    z \\
  \end{pmatrix}
 & =
    M^{-1}
  \begin{pmatrix}
    X \\
    Y \\
    Z \\
  \end{pmatrix}
\end{align}

Die Drehmatrix M drückt die hierbei gedachte Überführung des xyz-Koordinatensystems ins XYZ-Koordinatensystem (Gleichung links) und die invertierte Drehmatrix M^{-1} den umgekehrten Vorgang (Gleichung rechts) aus. Weil Drehmatrizen orthogonal sind, gilt M^{-1} = M^T und damit auch


\begin{align}
\begin{pmatrix}
    x \\
    y \\
    z \\
\end{pmatrix}
 & =
    M^T
\begin{pmatrix}
    X \\
    Y \\
    Z \\
\end{pmatrix}
\end{align}
.

Da die Berechnung der transponierten Matrix wesentlich einfacher ist als die Berechnung der Inversen, wird zur Inversion von Drehmatrizen möglichst die Transponierte verwendet. Dies ist jedoch nach einer Konkatenierung etwa mit einer Translationsmatrix nicht mehr möglich.

Eulerwinkel werden nicht für Drehungen um raumfeste Achsen, sondern immer für Drehungen um Achsen desjenigen Koordinatensystems angewendet, das schlussendlich das gedrehte System ist. Es gibt sechs verschiedene Kombinationen für drei aufeinander folgende Drehungen um drei verschiedene Achsen. Da zwei Achsen bei der Drehung um die dritte Achse ihre Richtung ändern, darf die dritte Drehung wieder um die erste Achse mit neuer Richtung erfolgen. Das ergibt sechs weitere Drehfolgen. Letztere werden als klassische oder reine Drehfolgen mit Eulerwinkeln bezeichnet, erstere sind die Gruppe der sogenannten Tait-Bryan-Drehungen beziehungsweise Tait-Bryan-Winkel.[3]:164

Drehmatrizen der Standard-Kombinationen[Bearbeiten]

Von den sechs klassischen oder reinen Euler-Drehfolgen werden zwei vorzugsweise verwendet und als sogenannte Standard-Konventionen bezeichnet.

Eulersche Winkel in „x-Konvention“
blau: Koordinatensystem in Ausgangslage
grün: Schnittgerade der xy-Ebenen, Zwischenlage der x-Achse
rot: Koordinatensystem in Ziellage

„x-Konvention“ (z, x’, z’’)[Bearbeiten]

Zuerst wird mit dem Winkel \alpha um die z-Achse des Koordinatensystems in Ausgangslage gedreht (Kurzzeichen z). Es folgt eine Drehung mit dem Winkel \beta um die x-Achse in deren Lage nach der ersten Drehung (Kurzzeichen x’) und schließlich eine Drehung mit dem Winkel \gamma um die z-Achse in deren Lage nach den beiden vorherigen Drehungen (Kurzzeichen z’’).[4]

Die Drehmatrix M_{zxz} enthält im Ausgangssystem xyz die Komponenten der drei Einheitsvektoren des Zielsystems XYZ in Abhängigkeit von den drei Eulerwinkeln \alpha , \beta und \gamma , mit denen die Drehung (z, x’, z’’) erfolgte. Die Teilmatrizen beschreiben je eine Drehung um eine Achse.[Anmerkungen 2]


\begin{align}
M_{zxz} & = 
    \begin{pmatrix}
    \cos \gamma  & \sin \gamma & 0 \\
    -\sin \gamma  & \cos \gamma  & 0 \\
    0          & 0           & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    1 &  0           & 0 \\
    0 &  \cos \beta & \sin \beta \\
    0 & -\sin \beta & \cos \beta
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    \cos \alpha   & \sin \alpha & 0 \\
    -\sin \alpha   & \cos \alpha   & 0 \\
    0           & 0           & 1
  \end{pmatrix}\\
M_{zxz} & = 
\begin{pmatrix} 
    \cos \alpha \cos \gamma  - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma
&   \sin \alpha \cos \gamma  + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma
&   \sin \beta \sin \gamma \\

  - \cos \alpha \sin \gamma - \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma 
& - \sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma 
&   \sin \beta \cos \gamma \\

    \sin \alpha \sin \beta 
& - \cos \alpha \sin \beta 
&   \cos \beta
\end{pmatrix}
\end{align}
[5][3]:163

Die transponierte Matrix M_{zxz}^T lässt sich in bekannter Weise durch gegenseitige Vertauschen von Zeilen und Spalten in der Matrix M_{zxz} ermitteln.


\begin{align}
M_{zxz}^T & = 
\begin{pmatrix} 
    \cos \alpha \cos \gamma  - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma
&  -\cos \alpha \sin \gamma - \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma
&   \sin \alpha \sin \beta \\

    \sin \alpha \ cos \gamma  + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma
&  -\sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma 
&  -\cos \alpha \sin \beta \\

    \sin \beta \sin \gamma 
&   \sin \beta \cos \gamma  
&   \cos \beta \\
\end{pmatrix}
\end{align}

„y-Konvention“ (z, y’, z’’)[Bearbeiten]

Zuerst wird um den Winkel \gamma um die z-Achse des Koordinatensystems in Ausgangslage gedreht (Kurzzeichen z). Es folgt eine Drehung um den Winkel \beta um die y-Achse in deren Lage nach der ersten Drehung (Kurzzeichen y’) und schließlich eine Drehung um den Winkel \alpha um die z-Achse in deren Lage nach den beiden vorherigen Drehungen (Kurzzeichen z’’).

Die Drehmatrix M_{zyz} enthält im Ausgangssystem xyz die Komponenten der drei Einheitsvektoren des Zielsystems XYZ in Abhängigkeit von den drei Eulerwinkeln
\alpha , \beta und \gamma , mit denen die Drehung (z, y’, z’’) erfolgte.


\begin{align}
M_{zyz} & = 
   \begin{pmatrix}
     \cos \gamma  & \sin \gamma  & 0 \\
    -\sin \gamma  & \cos \gamma  & 0 \\
       0          & 0            & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
     \cos \beta   & 0   & -\sin \beta \\
       0          & 1   &    0 \\
     \sin \beta   & 0   & \cos \beta
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
     \cos \alpha  & \sin \alpha  & 0 \\
    -\sin \alpha  & \cos \alpha  & 0 \\
       0          & 0            & 1
  \end{pmatrix} \\
\end{align}

\begin{align}
M_{zyz} & =   
 \begin{pmatrix} 
   -\sin\alpha \sin\gamma  + \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma  
&   \cos\alpha \sin\gamma  + \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma  
&  -\sin\beta \cos\gamma \\
   -\sin\alpha \cos\gamma  - \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma 
&   \cos\alpha \cos\gamma  - \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma
&   \sin\beta \sin\gamma \\
    \cos\alpha \sin\beta   
&   \sin\alpha \sin\beta   
&   \cos \beta 
\end{pmatrix}
\end{align}
[6][7]



\begin{align}
M_{zyz}^T & = 
 \begin{pmatrix} 
   -\sin\alpha \sin\gamma  + \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma  
&  -\sin\alpha \cos\gamma  - \cos\alpha \cos\beta \sin\gamma 
&   \cos\alpha \sin\beta \\
    \cos\alpha \sin\gamma  + \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma  
&   \cos\alpha \cos\gamma  - \sin\alpha \cos\beta \sin\gamma
&   \sin\alpha \sin\beta    \\
   -\sin\beta \cos\gamma 
&   \sin\beta \sin\gamma
&   \cos \beta 
\end{pmatrix}
\end{align}

„z, y', x''-Konvention“ in der Fahrzeugtechnik[Bearbeiten]

Eulersche Winkel in „zyx-Konvention“
blau: raumfestes Koordinatensystem (Ausgangslage)
grün: Zwischenlage der y-Achse (Knotenachse N(y'))
rot: körperfestes Koordinatensystem (Ziellage)
Anmerkung: z-Achse zeigt in Praxis der Flugtechnik nach unten zur Erde (s. nächstes Bild)
Gier-, Nick- und Rollwinkel (\Psi, \Theta, \Phi) als Lagewinkel eines Flugzeugs
Gier- und Nickwinkel gegenüber erdfestem System,
Rollwinkel gegenüber Flugzeug-Längsachse

In der Fahrzeugtechnik (Luftfahrt: DIN 9300; Automobilbau : DIN 70000; Schifffahrt) ist die (z,y',x'')-Konvention gebräuchlich. Sie enthält Drehungen um alle drei Koordinatenachsen, ist also eine Konvention aus den Tait-Bryan-Gruppe von Drehfolgen. In den Normen sind die Verwendung der Formelzeichen \Psi, \Theta und \Phi und die Namen Gier-, Nick- und Roll-Winkel (engl. yaw, pitch and roll angle) für die drei Eulerwinkel vorgeschrieben.[8] Durch die drei Drehungen wird das erdfeste System (engl. world frame) xyz in das körperfeste Koordinatensystem (engl. body frame) XYZ oder umgekehrt gedreht.

Die vom erdfesten System ausgehenden Drehungen geschehen bei der Überführung ins Fahrzeugsystem zum Beispiel wie folgt:

  • Mit dem im erdfesten System gemessenen Gierwinkel \Psi (auch Steuerkurs oder Azimut genannt) wird um die z-Achse gedreht. Die y-Achse wird zur zwischenzeitlichen y-Achse (Knotenachse N(y')).
    Hauptwertebereich: - \pi < \Psi \le \pi
  • Mit dem gegen die Erdoberfläche (x-y-Ebene) gemessenen Nickwinkel \Theta wird um die zwischenzeitliche y-Achse (Knotenachse N(y')) gedreht. Es entsteht die fahrzeugfeste X-Achse.
    Hauptwertebereich: - \frac{\pi}{2} \le \Theta \le \frac{\pi}{2}
  • Der Rollwinkel \Phi (auch Wankwinkel genannt) beschreibt die Drehung um die fahrzeugfeste X-Achse. Es entstehen die fahrzeugfesten Achsen Y und Z.
    Hauptwertebereich: - \pi < \Phi \le \pi


\begin{align}
M_{GNR} & =   
 \begin{pmatrix}
    1 & 0          & 0          \\
    0 & \cos \Phi   & \sin \Phi \\
    0 & - \sin \Phi & \cos \Phi
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    \cos \Theta & 0 & - \sin \Theta \\
    0           & 1 & 0             \\
    \sin \Theta & 0 & \cos \Theta
  \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
    \cos \Psi   & \sin \Psi & 0 \\
    - \sin \Psi & \cos \Psi & 0 \\
    0           & 0         & 1
  \end{pmatrix} 
\end{align}


\begin{align}
M_{GNR} & =
  \begin{pmatrix}
   \cos \Theta \cos \Psi &
    \cos \Theta \sin \Psi &
   -\sin \Theta \\
    \sin \Phi \sin \Theta \cos \Psi - \cos \Phi \sin \Psi &
    \sin \Phi \sin \Theta \sin \Psi + \cos \Phi \cos \Psi &
    \sin \Phi \cos \Theta \\
    \cos \Phi \sin \Theta \cos \Psi + \sin \Phi \sin \Psi &
    \cos \Phi \sin \Theta \sin \Psi - \sin \Phi \cos \Psi &
    \cos \Phi \cos \Theta
  \end{pmatrix}
\end{align}

Beispiel für Gier-Nick-Roll[Bearbeiten]

Der Gewichtsvektor GE hat im erdfesten Koordinatensystem xyz nur eine z-Komponente (in Richtung Erdmittelpunkt):


  G_E =   
  \begin{pmatrix}
    0 \\
    0 \\
    mg
  \end{pmatrix}

Die Transformation ins flugzeugfeste Koordinatensystem geschieht dann durch Linksmultiplikation des erdfesten Gewichtsvektors G_E mit der Transformationsmatrix M_{GNR}:


\begin{align}
G_F  &= M_{GNR}  G_E \\
 & =
  \begin{pmatrix}
   \cos \Theta \cos \Psi &
    \cos \Theta \sin \Psi &
   -\sin \Theta \\
    \sin \Phi \sin \Theta \cos \Psi - \cos \Phi \sin \Psi &
    \sin \Phi \sin \Theta \sin \Psi + \cos \Phi \cos \Psi &
    \sin \Phi \cos \Theta \\
    \cos \Phi \sin \Theta \cos \Psi + \sin \Phi \sin \Psi &
    \cos \Phi \sin \Theta \sin \Psi - \sin \Phi \cos \Psi &
    \cos \Phi \cos \Theta
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    0 \\
    0 \\
    mg
  \end{pmatrix} \\
  & =
  \begin{pmatrix}
    \ldots &  \ldots & - \sin \Theta \\
    \ldots &  \ldots & \sin \Phi \cos \Theta \\
    \ldots &  \ldots & \cos \Phi \cos \Theta
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    0 \\
    0 \\
    mg
  \end{pmatrix}\\ 
  & =
  \begin{pmatrix}
    -\sin \Theta \\
    \sin \Phi \cos \Theta \\
    \cos \Phi \cos \Theta
  \end{pmatrix}
    mg
\end{align}

Physikalisch richtig wirkt das Gewicht GE bei vorhandenem Nickwinkel \Theta im Flugzeug beispielsweise auch nach hinten (in negative X-Richtung).

Roll-Nick-Gier[Bearbeiten]

Mit Hilfe der transponierten Drehmatrix M_{GNR}^T = M_{RNG} können die im Flugzeug gemessenen, auf das bordeigene Koordinatensystem bezogenen vektoriellen Größen (z. B. Beschleunigungen) in ein erdfestes Koordinatensystem umgerechnet werden.


\begin{align}
M_{GNR}^T = M_{RNG} & =
  \begin{pmatrix}

    \cos \Theta \cos \Psi &
    \sin \Phi \sin \Theta \cos \Psi - \cos \Phi \sin \Psi &
    \cos \Phi \sin \Theta \cos \Psi + \sin \Phi \sin \Psi\\

    \cos \Theta \sin \Psi &
    \sin \Phi \sin \Theta \sin \Psi + \cos \Phi \cos \Psi &
    \cos \Phi \sin \Theta \sin \Psi - \sin \Phi \cos \Psi \\

   -\sin \Theta &
    \sin \Phi \cos \Theta &
    \cos \Phi \cos \Theta  

  \end{pmatrix}
\end{align}

Matrix-Herleitung im allgemeinen Fall[Bearbeiten]

Für eine beliebige Wahl der Drehachsenreihenfolge kann die sich ergebende Drehmatrix durch die Zuhilfenahme des folgenden Zusammenhangs einfach hergeleitet werden:[9]

Die Drehmatrizen um die globalen Achsen sind bekannt. Wenn nun um eine bereits gedrehte Achse erneut gedreht werden soll, dann entspricht das der Drehmatrix um die entsprechende globale Achse, allerdings in einer transformierten Vektorbasis. Die Transformationsmatrix (Basiswechselmatrix) ist dabei gerade die vorhergehende Drehung.

Seien A und B zwei Drehmatrizen um die beiden globalen Achsen G und H. Zur Berechnung der Drehmatrix zu der Reihenfolge (G,H^\prime) beobachtet man, dass die Drehmatrix für die zweite Drehung um H der basistransformierten Matrix \tilde B = A B A^{-1} entsprechen muss. Dadurch erhält man für die resultierende Gesamtdrehmatrix C = \tilde B A = A B A^{-1} A = A B. Für eine größere Anzahl von Drehungen erfolgt der Nachweis analog.

Durch diese Darstellung ergibt sich, dass sich die Drehmatrix für eine beliebige Drehreihenfolge in nacheinander gedrehten Achsen durch die einfache Multiplikation von Drehmatrizen um globale Koordinatenachsen ergibt – allerdings in umgekehrter Reihenfolge.

Ergebnis, Interpretation[Bearbeiten]

Das erhaltene Koordinatensystem mit den Achsen X'', Y'' und Z'' ist das sogenannte körperfeste System. Die Winkel \phi und \theta geben dabei die Lage der Z''-Achse gegenüber dem körperfesten System an („Drehung“ und „Kippung“); der Winkel \psi beschreibt die Eigendrehung des Körpers um sie. Dem entsprechen folgende Namenskonventionen:

Mathematische Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Abbildung, die den Euler-Winkeln die zugehörige Drehmatrix zuordnet, besitzt kritische Punkte, in denen diese Zuordnung nicht lokal umkehrbar ist und man von einer kardanischen Blockade (englisch gimbal lock) spricht. Im Fall der og. x- oder y-Konvention tritt dieser stets dann auf, wenn der zweite Rotationswinkel gleich null wird und der Drehvektor der ersten Drehung damit derselbe ist wie der Drehvektor der zweiten Drehung. Das aber bedeutet, dass es für eine Rotation um die z-Achse beliebig viele Eulerwinkel mit \alpha = Z+Z' gibt.

Bei der Definition der Lagewinkel nach der Luftfahrtnorm liegen die kritischen Punkte bei \textstyle\Theta = \pm \frac{\pi}{2}.

Nachteile, Alternativen[Bearbeiten]

Zur Darstellung von Drehungen haben Eulerwinkel mehrere Nachteile:

  • Die oben erwähnte Singularität führt dazu, dass eine einzige Drehung durch unterschiedliche Eulerdrehungen ausgedrückt werden kann. Dies führt zu einem Phänomen, das als Gimbal Lock bekannt ist.
  • Die korrekte Kombination von Drehungen im Euler-System ist nicht intuitiv anzugeben, da sich die Drehachsen verändern.

Eine andere Möglichkeit, die Orientierung zu beschreiben und teils diese Nachteile zu umgehen, sind Quaternionen.

Anwendungen[Bearbeiten]

In der Theoretischen Physik werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung des Starren Körpers benutzt. Eine praktische Anwendung ergibt die bekannte kardanische Aufhängung [10] der technischen Mechanik.

In der Kristallographie werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung der Kreise des Röntgendiffraktometers und zur Beschreibung der Orientierungsdichteverteilungsfunktion von Texturen verwendet.

In der Astronomie sind die eulerschen Winkel unter anderen Bezeichnungen als Bahnelement eines Objekts geläufig.

In der Computergrafik werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung der Orientierung eines Objektes verwendet.

In der Festkörper-NMR werden die eulerschen Winkel zur theoretischen Beschreibung und zur Simulation von Spektren benutzt.

Weblinks[Bearbeiten]

Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation. Georg Rill, Thomas Schaeffer. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0888-2. Digitalisat (PDF; 448 KB)

 Commons: Euler angles – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Im Folgenden werden die allgemein verwendeten Begriffe gedreht bzw. Drehung und Drehen verwendet, obwohl es sich genauer immer um Verdrehungen zwischen zwei Drehlagen handelt.
  2. Die Drehmatrizen um je eine kartesische Koordinatenachse lassen sich durch zyklisches Vertauschen auseinander herleiten.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr. und John L. Safko: Klassische Mechanik, 3., vollständig und erweiterte Auflage, WILEY-VCH, 2006, ISBN 3-527-40589-5., S. 161ff: (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) „Wir können die Transformation von einem kartesischen Koordinatensystem auf ein anderes mittels dreier aufeinander folgender Drehungen durchführen, die in einer bestimmten Reihenfolge erfolgen müssen.
  2. Herbert Goldstein u. A.: Klassische Mechanik, WILEY-VCH-Verlag, Weinheim 2006, S. 163, ISBN 3-527-40589-5 (10), ISBN 978-3-527-40589-3 (13) Google Books
  3. a b Herbert Goldstein u. A.: Klassische Mechnik, WILEY-VCH-Verlag, Weinheim 2006, S. 164, ISBN 3-527-40589-5 (10), ISBN 978-3-527-40589-3 (13) Google Books
  4. Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation. Georg Rill und Thomas Schaeffer. Vorabdruck des gleichnamigen Vieweg+Teubner Lehrbuchs. Nur zum persönlichen Gebrauch. SS 2010, S. 8 (PDF; 459 kB)
  5. mathworld.wolfram.com: Euler Angles, Gleichungen (3) bis (14)
  6. mathworld.wolfram.com: Euler Angles, Gleichungen (39) bis (47)
  7. Herbert Goldstein u. A.: Klassische Mechnik, WILEY-VCH-Verlag, Weinheim 2006, S. 652, ISBN 3-527-40589-5 (10), ISBN 978-3-527-40589-3 (13) Google Books
  8. Gier-, Nick- und Roll-Winkel werden in der Regel für Drehungen um raumfeste Achsen angewendet. Beim Gebrauch als Eulerwinkel wird davon abgewichen: Mindestens der Rollwinkel gibt eine Drehung um eine Körperachse an.
  9. Ein ausführlicher Beweis findet sich in: G. Fischer: Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. 2. Auflage 2012, in 5.3.6
  10. Der Zusammenhang zwischen den eulerschen Winkeln und der kardanischen Aufhängung ist u.a. in Kapitel 11.7 des folgenden Buches dargestellt: U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics - A Concise Overview. Springer-Verlag, Berlin 2007.