Eulersche Gleichungen

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Dieser Artikel setzt sich mit den eulerschen Gleichungen der Kreiseltheorie auseinander. Die eulerschen Gleichungen der Strömungsmechanik werden behandelt in Euler-Gleichungen, die der Thermodynamik in Innere Energie.

Die eulerschen Gleichungen oder auch eulerschen Kreiselgleichungen sind Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers. Sie sind Differentialgleichungen im Hauptachsensystem mit der Winkelgeschwindigkeit \vec\omega als Variable und den Hauptträgheitsmomenten I_1, I_2, I_3 als Koeffizienten.

Die eulerschen Gleichungen sind nicht zu verwechseln mit den eulerschen Winkeln, die die Orientierung eines körperfesten Koordinatensystems in bezug auf ein raumfestes Koordinatensystem beschreiben.

Herleitung[Bearbeiten]

Die eulerschen Gleichungen folgen aus der Bewegungsgleichung des Drehimpulses, der gegeben ist durch

\dot{\vec L}= \bar{ I} \cdot \dot{\vec{\omega}} = \vec M,

wobei \vec L der Drehimpuls, \bar I der Trägheitstensor und \vec M die Summe aller von außen auf den Körper wirkenden Drehmomente im raumfesten Inertialsystem ist.

Durch Transformation ins Hauptachsensystem wird der im Inertialsystem im Allgemeinen zeitabhängige Trägheitstensor \bar I zeitunabhängig und nimmt die Form

\bar I_{KS} = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix}

an. \vec \omega transformiert sich dabei zu \vec \omega_{KS} = \omega_1 \vec e_1 + \omega_2 \vec e_2 +\omega_3 \vec e_3.

Der Drehimpuls bekommt dadurch die sehr einfache Form

\vec L=\bar I_{KS} \cdot \vec{\omega}_{KS}=\begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix}=I_1 \omega_1 \vec e_1 + I_2 \omega_2 \vec e_2 +I_3 \omega_3\vec e_3.

Der Drehimpulssatz wird durch die Transformation des Bezugsystems zu

\vec M=\dot{\vec L} + (\vec\omega_{KS} \times \vec L )=
\begin{pmatrix}I_1 \dot{\omega}_1 \\ I_2 \dot{\omega}_2 \\ I_3 \dot{\omega}_3 \end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}(I_3 - I_2) \omega_2\omega_3 \\(I_1 - I_3) \omega_3\omega_1 \\(I_2 - I_1) \omega_1\omega_2 \end{pmatrix}.

Hierbei ist, anders als in der ersten Zeile, \dot{\vec L} als Zeitableitung des Drehimpulses im körperfesten Bezugssystem zu verstehen.

Komponentenweise ausformuliert bildet dies die eulerschen Gleichungen

 M_1=I_1 \dot{\omega}_1 +(I_3 - I_2) \omega_2\omega_3
 M_2=I_2 \dot{\omega}_2+(I_1 - I_3) \omega_3\omega_1
 M_3=I_3 \dot{\omega}_3+(I_2 - I_1) \omega_1\omega_2.

Um diese Bewegungsgleichungen ausnutzen zu können, wird das äußere Drehmoment im körperfesten System benötigt.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr ; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.