Fehler 2. Art

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Der Fehler 2. Art, auch als β-Fehler (Beta-Fehler) oder Falsch-negativ-Entscheidung bezeichnet, ist ein Fachbegriff der Statistik. Er bezieht sich auf eine spezielle Methode der mathematischen Statistik, den sogenannten Hypothesentest. Beim Test einer Hypothese bedeutet ein Fehler 2. Art, dass der Test die Nullhypothese fälschlicherweise bestätigt, obwohl die Alternativhypothese korrekt ist.

Entscheidungstabelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wahrer Sachverhalt: H0
(Es gibt keinen Unterschied)
Wahrer Sachverhalt: H1
(Es gibt einen Unterschied)
durch einen statistischen Test fällt eine Entscheidung für: H0 richtige Entscheidung (Spezifität)
Wahrscheinlichkeit: 1-α
Fehler 2. Art
Wahrscheinlichkeit: β
durch einen statistischen Test fällt eine Entscheidung für: H1 Fehler 1. Art
Wahrscheinlichkeit: α
richtige Entscheidung
Wahrscheinlichkeit: 1-β (Power, Sensitivität)

Hinweis: Sowohl Beta (wie auch Alpha) sind bedingte Wahrscheinlichkeiten!

Schwierigkeiten bei der Bestimmung des Fehlers 2. Art[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellung möglicher Werte der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art (rot) am Beispiel eines Signifikanztests für einen Parameter μ. Da der Fehler 2. Art vom Wert des wahren Parameters μ abhängt, μ jedoch bei Annahme der Alternativhypothese i.d.R. unbekannt ist, kann auch die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art im Gegensatz zu der eines Fehlers 1. Art (blau) nicht vorab bestimmt werden.

Im Gegensatz zum Risiko 1. Art, die gegebene Null-Hypothese, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft, irrtümlicherweise abzulehnen, lässt sich das Risiko 2. Art, also die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art meist nicht vorab bestimmen. Grund dessen ist die Art und Weise der Festlegung von Hypothesen statistischer Tests: Während die Null-Hypothese stets eine dezidierte Aussage wie beispielsweise H_0: „Mittelwert μ = 0“ darstellt, ist die Alternativhypothese, da sie im Grunde alle übrigen Möglichkeiten erfasst, damit i.d.R. auch nur recht unbestimmter bzw. globaler Natur (bspw. H_1: „Mittelwert μ ≠ 0“).

Die rechtsstehende Grafik illustriert diese Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art β (rot) vom unbekannten Mittelwert μ1, wenn als „Signifikanzniveau“, d.h. maximales Risiko 1. Art, α (blau) in beiden Fällen derselbe Wert gewählt wird. Wie zu sehen, ergibt sich dabei überdies die paradoxe Situation, dass die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art umso größer wird, je näher der wahre Wert µ1 an dem von der Nullhypothese behaupteten Wert µ0 liegt, bis hin dazu, dass für µ1 → µ0 das Risiko 2. Art β den Grenzwert 1-α annimmt. Anders gesagt: Je kleiner die Abweichung des tatsächlichen vom behaupteten Wert µ0, desto größer paradoxerweise die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, wenn man aufgrund des Testergebnisses weiterhin dem behaupteten Wert µ0 Glauben schenkt (obwohl die Abweichung beider Werte voneinander möglicherweise aufgrund ihrer Geringfügigkeit praktisch gar keine Rolle mehr spielt). Wie dieser Widerspruch zeigt, kann ein rein formal-logischer Umgang mit der Problematik des Fehlers 2. Art leicht Grundlage von Fehlentscheidungen sein.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Im 6-Sigma Projektmanagement: Fehler 1. Art: Man stellt am Projektende fest, dass bei der initialen Planung Aspekte ausgelassen wurden („zu wenig gemacht“). Ein Fehler 2. Art wäre hier, dass das gesamte Projekt über Dinge gemacht wurden, die sich am Ende als überflüssig bzw. irrelevant für den Projekterfolg herausstellen („zu viel gemacht“).
  • Ein Tester hat eine Urne vor sich, in die er nicht hineinschauen kann. Darin befinden sich rote und grüne Kugeln. Es kann jeweils nur eine Kugel zu Testzwecken aus der Urne entnommen werden.
Alternativhypothese: „In der Urne befinden sich mehr rote als grüne Kugeln“.
Um ein Urteil über den Inhalt der Urne abgeben zu können, wird der Tester der Urne mehrmals Kugeln zu Testzwecken entnehmen. Die Nullhypothese in unserem Beispiel lautet, dass entweder genauso viele rote wie grüne, oder aber mehr grüne als rote Kugeln in der Urne sind (das Gegenteil der Alternativhypothese). Wenn der Tester aufgrund seiner Stichprobe also zu dem Schluss kommt, die Nullhypothese sei richtig bzw. die Alternativhypothese falsch, obwohl in Wahrheit doch die Alternativhypothese richtig ist, dann beginge er einen Fehler 2. Art.
  • Wir möchten den Einfluss der Ernährung auf die geistige Entwicklung von Kindern in Kinderheimen untersuchen. Dafür vergleichen wir zwei Gruppen von Kindern hinsichtlich ihrer Leistung in kognitiven Tests: Die eine Stichprobe wird nach dem herkömmlichen Plan ernährt, die andere erhält eine besonders gesunde Kost. Wir vermuten, dass die gesunde Kost sich positiv auf die kognitiven Leistungen auswirkt.
Alternativhypothese: „Kinder, die eine besonders gesunde Kost erhalten, weisen bessere kognitive Leistung auf als Kinder, die auf die herkömmliche Weise ernährt werden.“
Wenn wir nun die kognitive Leistung unserer beiden Stichproben vergleichen, so stellen wir keinen Unterschied in der kognitiven Leistung fest. Demzufolge halten wir die Alternativhypothese für falsch und bestätigen die Nullhypothese. Wenn jedoch in Wahrheit die Population der gesund Ernährten doch eine bessere Leistung aufweist, dann begehen wir einen Fehler 2. Art.
Aber wir haben in unserer Stichprobe doch keinen Unterschied festgestellt? Diese Gleichheit kann aber auch auf die zufällige Streuung der Messergebnisse oder auf die ungünstige Zusammenstellung unserer Stichproben zurückzuführen sein.
Das Begehen eines Fehlers 2. Art ist in der Regel weniger „schlimm“, als ein Fehler 1. Art. Dies hängt jedoch individuell vom Untersuchungsgegenstand ab. In unserem Beispiel hat der Fehler 2. Art ausgesprochen nachteilige Konsequenzen: Obwohl die gesunde Ernährung die Leistung verbessert, entscheiden wir uns, die herkömmliche Ernährung beizubehalten. Ein Fehler 1. Art, also die Einführung der gesunden Ernährung für alle Kinder, obwohl diese keine Leistungsverbesserung bringt, hätte hier weniger nachteilige Konsequenzen gehabt.

Entgegengesetzte Notation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In manchen Quellen wird, was für Verwirrung sorgen kann, für den Fehler 2. Art und die Teststärke die genau entgegengesetzte Notation verwendet, also die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, mit dem Wert 1-β bezeichnet, die Teststärke oder Power dagegen mit β.[1]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Erwin Kreyszig: Statistische Methoden und ihre Anwendungen; 7. Auflage, Göttingen 1998, S.209ff.