Fejér-Polynome

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik ist für eine -periodische, stetige Funktion , das heißt , das -te Fejér-Polynom definiert durch

wobei

der -te Fourier-Koeffizient ist. Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejér einen konstruktiven Beweis für den Satz von Weierstraß, der aussagt, dass jede -periodische, stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmäßig approximiert werden kann. Diese Aussage wird auch als Satz von Fejér bezeichnet.

Konvergenzaussagen - Satz von Fejér[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Satz von Fejér

Fejér führte den Beweis über das (erste) arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe

wobei

die -te Partialsumme ist, indem er zeigte:

Für jede -periodische, stetige Funktion konvergiert die Folge der Fejér-Polynome gleichmäßig gegen , d. h.

Fejér-Kern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der n-te Fejér-Kern ist definiert durch

.

Faltung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fejér-Polynome lassen sich als Faltung mit dem Fejér-Kern darstellen. Es gilt

Arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Interpretation der Fejér-Polynome als (erstes) arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejér-Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

wobei der Dirichlet-Kern definiert ist über

Positiver reeller Kern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neben der Summenschreibweise über komplexe Funktionen lässt sich der Fejér-Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen. Hierzu wird verwendet, dass der Dirichlet-Kern die Darstellung

besitzt. Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejér-Kerns mit den Dirichlet-Kernen und der Regel

ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejér-Kerns.

Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivität des Fejér-Kern kann für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Fejér-Polynome der Satz von Bohman-Korowkin angewendet werden, der besagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz der Testfunktionen und die gleichmäßige Konvergenz für alle Funktionen folgt.

Konvergenz in anderen Funktionenräumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch für nichtstetige Funktionen anderer Funktionenräume, z. B. der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben.

Quantitative Aussagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Hölder-stetige Funktionen lassen sich direkte Abschätzungen zum Konvergenzverhalten der Fejér-Polynome angeben.

Gehört für ein zur Klasse der Hölder-stetigen Funktionen , d. h.

so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • N. I. Achieser: Vorlesungen über Approximationstheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1953.
  • P. L. Butzer, R. J. Nessel: Fourier Analysis And Approximation, Vol. 1: One-Dimensional Theory. Birkhäuser, Basel 1971.
  • Leopold Fejér: Über trigonometrische Polynome. In: J. Reine Angew. Math. Band 146, 1916, Seiten 53-82.
  • Leopold Fejér: Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 13, 1933, Seiten 80-88.
  • Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Cambridge University Press, Cambridge 1968, 2nd Edition.