Dirichlet-Kern

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Die ersten vier Dirichlet-Kerne. (Die Funktionen sind 2π-periodisch.)

Der Dirichlet-Kern ist eine von Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der Analysis im Teilgebiet der Fourier-Analysis verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit Leonhard Euler diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als Integralkern verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge

Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von Dn(x) mit einer Funktion f der Periode 2π ist der n-te Grad der Fourierreihe seiner Näherung für f. Beispielsweise ist

wobei

der k-te Fourierkoeffizient von f ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die L1-Norm von Dn für logarithmisch gegen geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden.[1] Explizit gilt nämlich:

Für die -Notation siehe Landau-Symbole.

Beziehung zur Delta-Distribution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die periodische Delta-Distribution ist das neutrale Element für die Faltung mit -periodischen Funktionen:

für jede Funktion f mit Periode . Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

Beweis der trigonometrischen Identität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die trigonometrische Identität

kann wie folgt bewiesen werden. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:

Insbesondere gilt

Multipliziert man Zähler und Nenner mit r−1/2, erhält man

Im Fall von r = eix erhält man

und kürzt schließlich durch "−2i".

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7.Auflage, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
  • Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S.620 (vollständige Online-Version (Google Books))

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. Abschnitt 5.11, S. 101