Formel von Wald

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Die Formel von Wald oder Waldsche Identität ist in der Stochastik eine Gleichung, mit deren Hilfe der Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen mit einer zufälligen Anzahl von Summanden berechnet werden kann. Sie wurde 1944 in einer Arbeit des Mathematikers Abraham Wald bewiesen.[1]

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Folge unabhängiger, identisch verteilter, integrierbarer Zufallsvariablen und eine -wertige Zufallsvariable mit , die von der Folge unabhängig ist. Dann gilt[2]

.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weil unabhängig von der Folge ist, folgt durch Bedingen auf den Wert von :

,

also

.

Durch Anwenden des Erwartungswerts auf diese Gleichung erhält man schließlich

.

Sind die alle wertig, so kann der Beweis auch elementar über Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen mittels der Kettenregel erfolgen.

Verallgemeinerung auf Stoppzeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei nun eine Folge identisch verteilter integrierbarer Zufallsvariablen, die an eine Filtrierung adaptiert ist, das heißt für alle ist -messbar. Wenn von unabhängig ist für alle und eine integrierbare Stoppzeit bezüglich ist, so gilt ebenfalls die Formel von Wald:[3]

.

Verwandte Konzepte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnliche Aussagen über die Varianz von zusammengesetzten Verteilungen lassen sich mit der Blackwell-Girshick-Gleichung treffen.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Abraham Wald: On Cumulative Sums of Random Variables. In: The Annals of Mathematical Statistics Nr. 15, Bd. 3, S. 283–296, doi:10.1214/aoms/1177731235.
  2. David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 287.
  3. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, Kapitel 17.