Stoppzeit

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Hitting time als Beispiel für eine Stoppzeit

In der Stochastik bezeichnet der Begriff der Stoppzeit eine spezielle Art von Zufallsvariablen, die auf filtrierten Wahrscheinlichkeitsräumen definiert werden. Stoppzeiten sind nicht nur von Bedeutung für die Theorie der stochastischen Prozesse (beispielsweise bei der Lokalisierung von Prozessklassen oder Untersuchungen von gestoppten Prozessen), sondern auch von praktischer Relevanz, etwa für das Problem des optimalen Ausübungszeitpunkts für amerikanische Optionen.

Definition[Bearbeiten]

Sei  (\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{F}, P) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, also ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtrierung \mathcal{F} = (\mathcal{F}_t)_{t\ge 0}. Eine nichtnegative Zufallsvariable  \tau\colon \Omega \to \R_0^{+} \cup \{\infty\} heißt Stoppzeit, falls für alle t \geq 0

\{\omega \in \Omega : \tau(\omega ) \le t \} \in \mathcal{F}_t

gilt.

Eine Stoppzeit kann man als die Wartezeit interpretieren, die vergeht, bis ein bestimmtes zufälliges Ereignis eintritt. Wenn wie üblich die Filtrierung die vorhandene Information zu verschiedenen Zeitpunkten angibt, bedeutet die obige Bedingung also, dass zu jeder Zeit bekannt sein soll, ob dieses Ereignis bereits eingetreten ist oder nicht.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Ein Glücksspieler beginnt zum Zeitpunkt t = 0 mit einem Startkapital von 10 € zu spielen; dabei absolviert er jede Minute ein Spiel (das der Einfachheit halber selbst keine Zeit in Anspruch nimmt), bei dem er mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit einen Euro gewinnt und ansonsten einen Euro verliert (der Kontostand des Spielers ist dann ein Martingal). Die Wartezeit, bis der Spieler sein gesamtes Geld verspielt hat, ist dann ein Beispiel für eine Stoppzeit bezüglich der natürlichen Filtrierung des Experiments: Zu jedem Zeitpunkt weiß der Spieler, ob er bereits pleite ist oder nicht. Dagegen wäre die Wartezeit bis zum Augenblick seines vorletzten Spiels keine Stoppzeit: In dem Moment, da man sein vorletztes Spiel absolviert, weiß man noch nicht, dass das nächste Spiel das letzte sein wird.
  • Die Treffzeit (hitting-time) eines Wiener-Prozesses (W_t)_{t\ge 0} mit Drift \mu zum Level a > 0 ist definiert als \tau_a(\omega) = \inf\{t\ge 0 : W_t(\omega) = a\}.
\tau_a ist eine Stoppzeit. Sie ist nach einer inversen Gauß-Verteilung verteilt, die Dichte ist
f_{IG}(t)=\frac{a \exp(a \mu)}{\sqrt{2\pi}}t^{-3/2}\exp\left(-\frac{1}{2}(a^2 t^{-1}+\mu^2 t)\right),\quad t>0.
Beispiel einer hitting time: Die zweidimensionale Brownsche Bewegung berührt irgendwann die Ellipse.
 \tau_A(\omega) := \inf\{ t \ge 0: \; X_t(\omega) \in A \}
eine Stoppzeit.  \tau_A gibt also den infimalen Zeitpunkt an, an dem X zum ersten Mal die Menge A betritt. Dabei ist es essentiell, dass A abgeschlossen ist: Zum Zeitpunkt t könnte X bereits auf dem Rand von A, aber noch nicht in A sein und die Menge direkt im Anschluss betreten. Dann wäre zwar  \tau_A =t (man beachte das Infimum), jedoch ist in t noch nicht bekannt, ob A gleich betreten wird oder nicht.

Abgeleitete Konzepte[Bearbeiten]

Gestoppter Prozess[Bearbeiten]

Hauptartikel: Gestoppter Prozess

Ein gestoppter Prozess ist eine Kombination eines stochastischen Prozesses und einer Stoppzeit, die Werte in der Indexmenge ("Zeitmenge") des stochastischen Prozesses annimmt. Gestoppte Prozesse sind Prozesse, die nach einer zufälligen Zeit angehalten werden bzw. ihren Wert nicht mehr verändern. Sie modellieren beispielsweise Ausstiegsstrategien bei einer zeitlichen Abfolge von Glücksspielen.

Lokalisierung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lokalisierung (Stochastik)

Unter einer Lokalisierung versteht man die Erweiterung einer Prozessklasse, die eine gewisse Eigenschaft besitzt, um die Menge aller Prozesse, die gestoppt unter aufsteigenden Folgen von Stoppzeiten ebenfalls diese Eigenschaft besitzt. Typisches Beispiel sind die Martingale und die lokalen Martingale.

σ-Algebra der τ-Vergangenheit[Bearbeiten]

Die σ-Algebra der τ-Vergangenheit ist eine spezielle σ-Algebra, welche über die Filtrierung und die Stoppzeit definiert wird. Sie findet beispielsweise Anwendung bei der Definition der starken Markow-Eigenschaft und dem Optional Sampling Theorem.

Rechenregeln[Bearbeiten]

Es seien  \sigma, \tau und  \tau_j Stoppzeiten bezüglich einer Filtration  \mathcal{F}_t . Dann gilt

  • Das Minimum  \sigma \wedge \tau ist eine  \mathcal{F}_t -Stoppzeit.
  • Das Maximum  \sigma \vee \tau ist eine  \mathcal{F}_t -Stoppzeit.
  •  \sup_j \tau_j ist eine  \mathcal{F}_t -Stoppzeit.
  •  \sigma+a ist eine  \mathcal{F}_t -Stoppzeit, wobei  a\ge 0 eine feste Konstante ist.
  •  \sigma+\tau ist eine  \mathcal{F}_t -Stoppzeit
  •  \inf_j \tau_j ist eine  \mathcal{F}_{t+} -Stoppzeit.
  •  \limsup_j \tau_j ist eine  \mathcal{F}_{t+} -Stoppzeit.
  •  \liminf_j \tau_j ist eine  \mathcal{F}_{t+} -Stoppzeit.

Literatur[Bearbeiten]