Frattinigruppe

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Untergruppendiagramm der Diedergruppe D4. Die drei Untergruppen der Ordnung vier in der zweiten Zeile sind die maximalen Untergruppen. Ihr Schnitt ist die Frattinigruppe. Sie ist eine der fünf Untergruppen der Ordnung 2.

In der Gruppentheorie ist die Frattinigruppe (oder genauer Frattiniuntergruppe) eine spezielle Untergruppe einer gegebenen Gruppe. Mit ihrer Hilfe kann insbesondere die Struktur endlicher p-Gruppen untersucht werden. Sie ist benannt nach dem italienischen Mathematiker Giovanni Frattini, der sie in einem 1885 erschienenen Artikel definiert hat.[1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Gruppe, dann ist die Frattinigruppe definiert als der Schnitt aller maximalen Untergruppen von .[2]

Dabei heißt eine Untergruppe von maximal, wenn gilt und es keine echt größere Untergruppe mit gibt.

Falls keine maximalen Untergruppen hat, etwa im Fall der trivialen Gruppe oder mancher unendlicher Gruppen wie der Prüfergruppe, setzt man .[3]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Frattinigruppe ist eine charakteristische Untergruppe, also insbesondere ein Normalteiler.
  • Ist endlich, dann ist nilpotent. Ist ebenfalls nilpotent, dann ist auch nilpotent.
  • Gilt mit einer Untergruppe von , dann ist .
  • Die Frattinigruppe besteht genau aus den Nichterzeugern von , d. h., es gilt genau dann, wenn für jede Teilmenge aus stets folgt. Mit anderen Worten: Die Elemente der Frattinigruppe sind in jedem Erzeugendensystem von überflüssig.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 134). Band 1. Nachdruck. Springer, Berlin u.a. 1979, ISBN 3-540-03825-6, Kapitel III.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Giovanni Frattini: Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni. In: Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti. Serie 4, Bd. 1, Fasc. 9, 1884/1885 (1885), ISSN 0001-4435, S. 281–285; Nota II. In: Serie 4, Bd. 1, Fasc. 14, 1885, S. 455–457.
  2. Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-60331-X, S. 98.
  3. Marshall Hall: The Theory of Groups. The Macmillan Company, New York NY 1959, S. 157.