Normalteiler

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Normalteiler sind im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete spezielle Untergruppen, sie heißen auch normale Untergruppen.

Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, dass sie genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen sind. Diese Abbildungen zwischen Gruppen ermöglichen es, einzelne Aspekte der Struktur einer Gruppe zu isolieren, um sie an der Bildgruppe in Reinform leichter studieren zu können.

Die Bezeichnung „…teiler“ bezieht sich darauf, dass sich aus einer Gruppe G und jedem ihrer Normalteiler N eine Faktorgruppe G/N bilden lässt. Diese Faktorgruppen sind homomorphe Bilder von G, und jedes homomorphe Bild von G ist zu einer solchen Faktorgruppe G/N isomorph.

Der französische Mathematiker Évariste Galois erkannte im 19. Jahrhundert als erster die Wichtigkeit des Konzeptes „Normalteiler“ für die Untersuchung nicht-kommutativer Gruppen.

Satz und Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei N eine Untergruppe der Gruppe G und g ein beliebiges Element von G. Die linke Nebenklasse gN von N nach dem Element g von G ist die Teilmenge

gN = \{gn\,|\,n\in N\} \subseteq G.

Genauso erklärt man die rechte Nebenklasse von N nach dem Element g als

Ng = \{ng\,|\,n\in N\} \subseteq G.

Man kann zeigen, dass für eine Untergruppe N \subseteq G folgende fünf Aussagen paarweise äquivalent sind:

  1. Für jedes g \in G gilt gNg^{-1} = N. (Man sagt auch: N ist invariant unter der Konjugation mit g.)
  2. Für jedes g \in G und jedes n \in N gilt gng^{-1} \in N, das heißt  \forall g\in G: gNg^{-1} \subseteq N.
  3. Für jedes g stimmt die linke mit der rechten Nebenklasse von N überein: gN = Ng.
  4. Die Menge N ist eine Vereinigung von Konjugationsklassen der Gruppe G.
  5. Es existiert ein Gruppenhomomorphismus aus G, dessen Kern N ist.

Erfüllt eine Untergruppe N eine und damit jede der oben genannten Eigenschaften, so nennt man die Untergruppe normal oder einen Normalteiler, die Begriffe Normalteiler und normale Untergruppe sind gleichbedeutend. Die Notation N \vartriangleleft G bedeutet „N ist Normalteiler von G“. Manche Autoren verwenden dafür auch N \trianglelefteq G und reservieren die Bezeichnung N \vartriangleleft G für den Fall, dass N \not= G.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist Normalteiler der Gruppe und viele Aussagen über Normalteiler sind für abelsche Gruppen trivial.
  • In der symmetrischen Gruppe S3 = \left\{e, d, d^2, s_1, s_2, s_3\right\} ist die dreielementige Untergruppe N=\{e, d, d^2\} ein Normalteiler. Die drei zweielementigen Untergruppen \{e, s_i\} sind keine Normalteiler.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Normalteilerrelation ist nicht transitiv, d. h., aus A \vartriangleleft B und  B \vartriangleleft C folgt im Allgemeinen nicht A \vartriangleleft C. Ein Beispiel für diese Tatsache ist die alternierende Gruppe A4, die einen zur kleinschen Vierergruppe V isomorphen Normalteiler hat. Jede darin enthaltene zweielementige Untergruppe ist Normalteiler in V, nicht aber in A_4.

Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in G, wenn ihr Normalisator ganz G ist. Eine Untergruppe ist immer Normalteiler in ihrem Normalisator.

Alle charakteristischen Untergruppen einer Gruppe sind Normalteiler der Gruppe, weil die Konjugation von Gruppenelementen ein Automorphismus ist. Die Umkehrung trifft im Allgemeinen nicht zu, so sind zum Beispiel die zweielementigen Untergruppen der kleinschen Vierergruppe normal, aber nicht charakteristisch.

Urbilder eines Normalteilers unter einem Gruppenhomomorphismus sind wieder Normalteiler. Bilder von Normalteilern sind im Allgemeinen nicht normal, wie etwa die Inklusionsabbildung einer Unterguppe, die nicht Normalteiler ist, zeigt. Die Bilder eines Normalteilers unter surjektiven Gruppenhomomorphismen sind aber wieder Normalteiler.

Eine Untergruppe von Index 2 ist immer ein Normalteiler. Allgemeiner gilt: Ist U eine Untergruppe und ist der Index von U gleich der kleinsten Primzahl, welche die Ordnung von G teilt, so ist U ein Normalteiler.

Normalteiler, Gruppenhomomorphismen und Faktorgruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Faktorgruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Nebenklassen eines Normalteilers N bilden mit dem Komplexprodukt eine Gruppe, die die Faktorgruppe G/N von G nach N heißt.

Die Faktorgruppe besteht also aus den Nebenklassen von N, das heißt G/N=\{g\cdot N \mid g\in G\}, und das Produkt zweier Nebenklassen ist als Komplexprodukt (gN)\cdot (hN)= \{x\cdot y \mid x\in gN, y\in hN\} definiert. Für einen Normalteiler N von G und beliebige Elemente g,\, h von G ist nämlich das Komplexprodukt zweier Nebenklassen wieder eine Nebenklasse, und zwar (gN)\cdot(hN)=(gh)N. Dies folgt aus der Gleichheit von Rechts- und Linksnebenklassen (s. o.): gN\cdot hN=g(Nh)N=g(hN)N=(gh)(NN)=(gh)N.

Für eine Untergruppe, die kein Normalteiler ist, ist das Komplexprodukt zweier Links- (oder Rechts-) Nebenklassen im Allgemeinen keine Links- bzw. Rechtsnebenklasse.

Kanonischer Homomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist N\trianglelefteq G ein Normalteiler, so ist die Abbildung


   \begin{array}{rl}
   \pi\colon & G \to G/N \\
             & g \;\mapsto g \cdot N
   \end{array}
,

die jedes Gruppenelement g\in G auf die Nebenklasse gN abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus von G in die Faktorgruppe G/N. \pi ist surjektiv und der Kern ist gerade N. Mann nennt diesen Gruppenhomomorphismus den kanonischen Homomorphismus G\rightarrow G/N.

Homomorphiesatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Homomorphiesatz und Isomorphiesatz

Der Kern \operatorname{ker}(\varphi) eines beliebigen Gruppenhomomorphismus \varphi ist stets ein Normalteiler der abgebildeten Gruppe. Zur Verdeutlichung der Definitionen wird der Beweis hier ausgeführt. Sei

 \varphi \colon G \to H
ein Gruppenhomomorphismus und
 \operatorname{ker}(\varphi) := \{n \in G \mid \varphi(n) = e_H \}
dessen Kern (mit  e_H als dem neutralen Element von  H ).

Dann ist für alle  g \in G und  n \in \operatorname{ker}(\varphi)

 \varphi(g \, n \, g^{-1}) = \varphi(g) \; \varphi(n) \; \varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \, e_H \, \varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \, \varphi(g^{-1}) = \varphi(g \; g^{-1}) = \varphi(e_G) = e_H,

also g \, n \, g^{-1} \in \operatorname{ker}(\varphi) und damit  \operatorname{ker}(\varphi) ein Normalteiler in G nach Definition 2.

Jeder Gruppenhomomorphismus  \varphi \colon G \to H induziert einen Isomorphismus


   \begin{array}{rl}
   \widetilde{\varphi} \colon & G/\operatorname{ker} (\varphi) \cong \varphi (G) \\
             & g \cdot \operatorname{ker}(\varphi) \;\mapsto \varphi(g)
   \end{array}

von der Faktorgruppe auf das Bild. Diese Aussage wird oft als Homomorphiesatz (für Gruppen) bezeichnet. Ist dabei der Homomorphismus \varphi surjektiv, dann ist die Faktorgruppe nach dem Kern isomorph zum Bild H = \varphi(G).

Die Isomorphiesätze der Gruppentheorie sind Folgerungen aus diesem Homomorphiesatz.

Normalteiler- und Untergruppenverband[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Normalteiler einer Gruppe G bilden ein Mengensystem, das sogar ein Hüllensystem ist. Dieses Hüllensystem ist ein vollständiger Verband, der Normalteilerverband. Hier bedeutet dies konkret:

  1. Die Schnittmenge von Normalteilern von G ist ein Normalteiler,
  2. Zu jeder Teilmenge T von G existiert ein eindeutig bestimmter kleinster Normalteiler \mathcal{N}(T), der diese Menge enthält. (Diese Operation \mathcal N ist hier die Hüllenoperation). Spezialfälle: Der triviale Normalteiler \{e\}, der nur das neutrale Element e der Gruppe enthält, ist \mathcal{N}(\emptyset), \mathcal{N}(G)=G selbst ist Normalteiler. Hieraus folgt die Vollständigkeit des Verbandes.

Darüber hinaus ist der Normalteilerverband ein modularer Unterverband des Untergruppenverbandes. Letzterer ist im Allgemeinen nicht modular, siehe dazu „Modulare Gruppe (M-Gruppe)“.

In den folgenden beiden Abschnitten muss bei den betrachteten Produktgruppen zwischen äußeren und inneren Produkten unterschieden werden, obwohl die beiden Versionen stets die gleiche algebraische Struktur haben (isomorph sind). Die formalen Unterschiede zwischen inneren und äußeren Produkten werden im Artikel über das Semidirekte Produkt und im vorliegenden Artikel am Ende des Abschnitts über das semidirekte Produkt erläutert.

Komplementäre Normalteiler und inneres direktes Produkt [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Allgemeinen gibt es im Normalteilerverband keine Komplementärobjekte. Hat ein Normalteiler N_1 jedoch ein Komplementärobjekt N_2, das heißt, gilt für die Normalteiler N_1\cap N_2=\{e\} und \mathcal{N}(N_1\cup N_2)=G, dann ist die Gruppe G als (inneres) direktes Produkt dieser Normalteiler darstellbar: G\cong N_1\times N_2, das heißt, jedes Gruppenelement g\in G hat eine eindeutige Darstellung als Produkt g=n_1\cdot n_2 von Elementen n_1\in N_1 und n_2\in N_2. Umgekehrt ist jeder Faktor H_j eines (äußeren) direkten Produktes G=H_1\times H_2 \cdots \times H_n (isomorph zu einem) Normalteiler der Produktgruppe G und das Produkt aus den übrigen Faktoren ist isomorph zu einem dazu komplementären Normalteiler.

Eine Verallgemeinerung dieser Aussage: Für zwei Normalteiler, die eine triviale Schnittmenge haben, d. h. N_1\cap N_2=\{e\}, gilt:

  • Ihre Elemente kommutieren untereinander, ohne dass natürlich einer der beiden Normalteiler kommutativ sein müsste:
 n_1\cdot n_2 = n_2\cdot n_1\quad \text{falls}\; n_1\in N_1,\, n_2\in N_2
  • Ihr Supremum im Verband der Normalteiler stimmt mit ihrem Komplexprodukt überein, das wiederum zu ihrem (äußeren) direkten Produkt isomorph ist:
 \mathcal{N}(N_1\cup N_2)=N_1\cdot N_2\cong N_1\times N_2

Beide Aussagen treffen im Allgemeinen für Untergruppen, die keine Normalteiler sind, nicht zu. Zum Beispiel schneiden sich in der freien Gruppe über zwei Elementen F=\langle a,b \rangle die beiden unendlichen zyklischen Untergruppen A=\langle a \rangle und B=\langle b \rangle in der Einsgruppe. Die Gruppe A\times B (äußeres direktes Produkt) ist aber zu keiner Untergruppe von F isomorph. Das Komplexprodukt A\cdot B ist keine Untergruppe von F, da z. B. ab\in A\cdot B ist, aber (ab)^2=abab\not\in A\cdot B.

Inneres semidirektes Produkt [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist nur N ein Normalteiler und H eine nicht notwendig normale Untergruppe der Gruppe G und schneiden sich die beiden in der Einsgruppe, gilt also N\cap H =\{e\}, dann gilt:

  • Das Komplexprodukt U=N\cdot H ist eine (nicht notwendig normale) Untergruppe von G.
  • Jedes Element u\in U ist als Produkt u=n\cdot h von Elementen n\in N und h\in H eindeutig darstellbar.
  • Natürlich ist der Normalteiler N von G stets normal in U. Die Untergruppe H<U ist genau dann normal in U, wenn die Elemente von N und H untereinander kommutieren (s. o.).

In der beschriebenen Situation (N\vartriangleleft G,\; H<G,\; N\cap H =\{e\}) bezeichnet man das Komplexprodukt U=N\cdot H als (inneres) semidirektes Produkt der Untergruppen N und H. Das äußere semidirekte Produkt besteht, wie in dem genannten Artikel ausgeführt, aus dem kartesischen Produkt zweier Gruppen (hier N und H) zusammen mit einem Homomorphismus  \theta : H\rightarrow \operatorname{Aut}(N) von H in die Gruppe der Automorphismen von N. Das äußere semidirekte Produkt wird dann häufig als A=N\rtimes_\theta H geschrieben. Von den technischen Details interessiert in unserem Zusammenhang nur, dass durch \theta die Rechenregel (Relation)

\left(e_N,h\right)\cdot\left(n,e_H\right)=\left(\theta(h)(n),h\right)

auf dem kartesischen Produkt N\times H eingeführt wird. Die Schreibweise \theta(h)(n) bedeutet hier, der Automorphismus \theta(h) wird auf n angewandt, es gilt hier wie im Folgenden immer n\in N, h\in H. Diese Rechenregel ermöglicht es, alle Produkte (durch Durchschieben der Elemente von H nach rechts) auf die Standardform (n, e_H)\cdot (e_N, h) zu bringen. In unserem Fall eines inneren Produkts entspricht dem die Rechenregel

 h\cdot n = h\cdot n\cdot\left(h^{-1}\cdot h\right)= \left(h\cdot n \cdot h^{-1}\right)\cdot h =\theta(h)(n)\cdot h,

das heißt, H operiert auf N durch Konjugation, \theta(h)\in \operatorname{Aut}(N) ist der durch diese Konjugation definierte Automorphismus des Normalteilers N. Im Sinne dieser Überlegungen ist das Komplexprodukt U (hier ein inneres semidirektes Produkt) isomorph zu dem äußeren semidirekten Produkt A=N\rtimes_\theta H.

Jedes direkte Produkt ist auch ein spezielles semidirektes, U wie hier beschrieben ist genau dann das (innere) direkte Produkt von N und H, wenn eine der folgenden, paarweise äquivalenten, Bedingungen zutrifft:

  • H\vartriangleleft U (auch H ist ein Normalteiler des Produkts).
  • \forall n\in N\, \forall h\in H:\; nh=hn (Elemente der beiden Faktorgruppen können in Produkten untereinander vertauscht werden, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert).
  • \forall h\in H:\; \theta(h)=\operatorname{Id}_N (Konjugation mit Elementen aus H lässt N punktweise fest).

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Normalteiler spielen eine tragende Rolle bei der Klassifikation der endlichen Gruppen, einen Überblick über die Methoden gibt der Artikel Reihe (Gruppentheorie). Besonders interessant sind Gruppen, deren Normalteilerverband bestimmte Besonderheiten aufweist. Dazu zählen z. B. die auflösbaren Gruppen und die nilpotenten Gruppen.

Für endliche Gruppen lässt sich oft anhand der Gruppenordnung entscheiden, ob gewisse Untergruppen, die p-Untergruppen und besonders die Sylowgruppen Normalteiler sind. Die wichtigsten Sätze hierzu sind die Sylow-Sätze.

Eine Verallgemeinerung des Begriffs Normalteiler ist der Subnormalteiler.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]