Untergruppe

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In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe einer Gruppe eine Teilmenge von , die bezüglich der Verknüpfung selbst wieder eine Gruppe ist. Es gibt die Kurzschreibweise , zu lesen als   " ist Untergruppe von ".

Die Gruppe heißt Obergruppe der Untergruppe , in Zeichen .

Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine nichtleere Teilmenge von bildet genau dann eine Untergruppe von ,

  1. wenn zu zwei beliebigen Elementen in auch deren Verknüpfung in ist, und mit jedem Element in auch dessen Inverses.
  2. wenn für alle gilt.
  3. wenn eine Äquivalenzrelation auf ist.
  4. wenn für alle gilt.
Beweise  

Ist Untergruppe, dann gelten alle 4 Kriterien.

Es gelte Kriterium 1.
Dann enthält das neutrale Element von , welches sich auch als neutrales Element in erweist.

Es gelte Kriterium 2.
Sei . Dann ist mit auch . Wegen ist auch . Ist schließlich , dann ist wegen auch .  ■

Es gelte Kriterium 3.
Die Reflexivität bedeutet für gemäß Kriterium .
Setzt man , dann folgt aus wegen der Symmetrie auch .
Die Transitivität bedeutet, dass aus und am Ende folgt.  ■

Es gelte Kriterium 4.
Wegen gibt es ein .
Sei .
Wegen kann nicht in sein.
Wegen kann nicht in sein.
Sei auch .
Wegen und kann nicht in sein.  ■

Die Bezugnahme auf Elemente außerhalb von in den Kriterien 3 und 4 ist eine scheinbare. Kriterium 3 ist . Und der gegebene Beweis zu Kriterium 4 basiert darauf, dass der rechte Faktor nicht sein kann, wenn das Produkt ist. Insofern bleiben alle relevanten Verknüpfungen innerhalb . Die Kriterien 3 und 4 sind auch völlig unabhängig von der Größe von . So betrachtet sind sie besondere Formulierungen der Transitivität der Untergruppenrelation (s. den § #Eigenschaften).

Je nach Art der Verknüpfung können verschiedene Kriterien zum Nachweis der Untergruppeneigenschaft von Vorteil sein. Das vierte Kriterium ist ohne Inversenbildung formuliert und kann daher ggf. in Fällen angewendet werden, bei denen die Inversenbildung Schwierigkeiten macht.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die ganzen Zahlen sind bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen .
  • Jede Untergruppe von hat die Form .
  • Die Menge der geraden Permutationen (Zyklenschreibweise) ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe .
  • Die Gruppe der -Matrizen mit Determinante 1 ist Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Matrizen.

Spezielle Untergruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Von einer Gruppe sind stets selbst sowie die einelementige Gruppe Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von genannt. Im Fall sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.
  • Eine von verschiedene Untergruppe wird echte Untergruppe genannt, in Kurzschreibweise .
  • Eine Untergruppe, die Kern eines Gruppenhomomorphismus der Gruppe ist, heißt Normalteiler der Gruppe . Mit ihr kann eine Faktorgruppe von gebildet werden.
  • Eine Untergruppe, die unter allen Automorphismen der Gruppe in sich abgebildet wird, heißt charakteristische Untergruppe der Gruppe. Offenbar sind charakteristische Untergruppen Normalteiler.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das neutrale Element einer Gruppe ist das neutrale Element jeder Untergruppe und somit ist es insbesondere in jeder Untergruppe enthalten.

Der Durchschnitt einer Familie von Untergruppen einer Gruppe ist eine Untergruppe von .

Die Untergruppenrelation ist transitiv. Das heißt, wenn Untergruppe einer Gruppe ist, die ihrerseits Untergruppe von ist, dann ist auch Untergruppe von . Kurz gilt also

Zu beachten ist, dass die entsprechende Aussage für Normalteiler nicht gilt.

Der Satz von Lagrange liefert für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe mit einer bestimmten Ordnung. Aus ihm folgt nämlich, dass die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe die Ordnung der Gruppe teilt. Ist beispielsweise eine Primzahl, so kann die Ordnung einer Untergruppe nur 1 oder betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von . Weitere Aussagen über die Existenz bestimmter Untergruppen mit einer bestimmten Ordnung erhält man aus den Sylow-Sätzen. Ist eine Primzahl und ein Teiler der Gruppenordnung, so gibt es Untergruppen der Ordnung . Die 12-elementige alternierende Gruppe A4 hat keine Untergruppe der Ordnung 6.

Erzeugte Untergruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da der Durchschnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge einer Gruppe eine bezüglich der Inklusion minimale Untergruppe von , die enthält. Diese Untergruppe wird mit bezeichnet und die von erzeugte Untergruppe von genannt. Abstrakt definiert man also

Man kann zeigen, dass die Elemente von genau die Elemente von sind, welche man durch Verknüpfungen von endlich vielen erhält. Hierbei bezeichnet die Menge der Inversen der Elemente von . Es gilt also:

Gilt für eine Untergruppe , dass , so heißt ein Erzeugendensystem von . Das Erzeugendensystem einer Untergruppe ist nicht eindeutig.

Eine Untergruppe , welche ein endliches Erzeugendensystem besitzt, wird als endlich erzeugte Gruppe bezeichnet. Besitzt ein Erzeugendensystem aus einem Element , so heißt zyklisch und man schreibt . Will man explizit durch seine Elemente beschreiben, so erhält man:

,

Die Gruppenordnung heißt die Ordnung des erzeugenden Elements .

Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen und entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes. Dabei sind die Verbandsoperationen

(Durchschnitt),
(von der Vereinigung erzeugte Untergruppe).

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Untergruppe – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen