Fredholmsche Alternative

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In der Mathematik ist die nach Ivar Fredholm benannte Fredholmsche Alternative ein Resultat der Fredholmtheorie. Sie kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden: als Theorem der linearen Algebra, als ein Theorem über Integralgleichungen oder als ein Theorem über Fredholm-Operatoren. Insbesondere besagt es, dass eine komplexe Zahl ungleich 0 im Spektrum eines kompakten Operators ein Eigenwert ist.

Version der linearen Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem n-dimensionalen Vektorraum V gilt für eine lineare Abbildung genau eine der folgenden Aussagen:

  1. Zu jedem Vektor v in V gibt es einen Vektor u in V so, dass . Mit anderen Worten: A ist surjektiv.
  2. , d.h. A hat nichtrivialen Kern.

Fredholmsche Integralgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein integrierbarer Kern. Betrachte die homogene Fredholmsche Integralgleichung,

,

sowie die inhomogene Gleichung

.

Die Fredholmsche Alternative besagt nun, dass für eine komplexe Zahl , entweder die erste Gleichung eine nichttriviale Lösung hat, oder die zweite Gleichung eine Lösung für beliebige rechte Seiten besitzt.

Eine hinreichende Bedingung, damit dieser Satz gilt, ist die Quadratintegrierbarkeit von auf dem Rechteck (wobei a und/oder b auch plus oder minus unendlich sein dürfen).

Fredholmsche Alternative[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein kompakter Operator auf und sei mit . Dann ist ein Fredholm-Operator mit Fredholm-Index 0. Die Fredholmsche Alternative lautet nun:

  • Entweder haben sowohl die homogene Gleichung
als auch die adjungierte Gleichung
nur die triviale Lösung Null und somit sind die inhomogenen Gleichungen
und
eindeutig lösbar,
  • oder die homogene Gleichung
und die adjungierte Gleichung
besitzen genau linear unabhängige Lösungen und somit wäre die inhomogene Gleichung
genau dann lösbar, wenn gilt.

Im Zusammenhang mit den Integralgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beachte, dass die Delta-Distribution die Identität der Faltung ist. Sei ein Banachraum so beispielsweise und sei ein Fredholm-Operator, welcher durch

definiert ist, wobei gelten muss, um einen Fredholm-Operator zu erhalten. So ist ein kompakter Operator und man sieht, dass diese Aussage die Aussage über die Fredholmschen Integralgleichungen verallgemeinert.

Die Fredholmsche Alternative kann man dann wie folgt formulieren: Ein ist entweder ein Eigenwert von oder es liegt in der Resolventenmenge

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]