Fredholm-Operator

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In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Klasse der Fredholm-Operatoren (nach E. I. Fredholm) eine bestimmte Klasse linearer Operatoren, die man „fast“ invertieren kann. Jedem Fredholm-Operator ordnet man eine ganze Zahl zu, diese wird Fredholm-Index, analytischer Index oder kurz Index genannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein beschränkter linearer Operator zwischen zwei Banachräumen und heißt ein Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: " ist Fredholm", wenn

  • endliche Dimension hat und
  • endliche Kodimension in hat.

Dabei ist der Kern von , also die Menge und ist das Bild von , also die Teilmenge .

Die Zahl

heißt Fredholm-Index von .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild ist abgeschlossener Unterraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Bild eines Fredholm-Operators ist ein abgeschlossener Unterraum.

Komposition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Komposition zweiter Fredholm-Operatoren und ist wieder ein Fredholm-Operator und für den Index gilt[1]

.

Dualer Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der zum Fredholm-Operator duale Operator. Dann gilt und . Daher ist auch ein Fredholm-Operator und für seinen Index gilt .[2]

Satz von Atkinson[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren und kompakte Operatoren gibt, so dass und gilt, das heißt wenn modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator genau dann ein Fredholm Operator, wenn seine Klasse in der Calkin-Algebra invertierbar ist.

Kompakte Störung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jeden Fredholm-Operator und jeden kompakten Operator ist ebenfalls ein Fredholm-Operator mit gleichem Fredholm-Index wie . Daher sagt man, dass der Index eines Fredholm-Operators invariant unter kompakten Störungen ist. Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form für einen kompakten Operator ein Fredholm-Operator vom Index 0.

Stetigkeit des Fredholm-Index[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien Fredholm-Operatoren und eine Homotopie mit und für alle , dann gilt . Der Fredholm-Index ist daher eine homotopie-invariante Zahl.[3] Betrachtet man also eine stetige Familie von Fredholm-Operatoren, dann ist

eine stetige Abbildung bezüglich der Operatornorm. Da die Menge der ganzen Zahlen ein diskreter topologischer Raum ist, ist eine lokal konstante Funktion, das heißt, sie ist auf einer Zusammenhangskomponenten konstant.

Surjektivität des Fredholm-Index[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Fredholm-Index, als Abbildung von der Menge der Fredholm-Operatoren in die Menge der ganzen Zahlen, ist surjektiv.[4]

Punctured Neighbourhood Theorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein , so dass für alle mit

  1. und

gilt.[5] Insbesondere ist also ein Fredholm-Operator. Da der Fredholm-Index stetig ist, folgt daraus . Bewiesen wurde das Punctured Neighbourhood Theorem von Israel Gohberg.[6]

Elliptische Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder gleichmäßig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm-Operator.

Sei und ein Gebiet mit Lipschitz-Rand. Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann-Randbedingungen definiert durch

für ein Fredholm-Operator.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Shiftoperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Shiftoperator

Integraloperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein klassisches Beispiel eines Fredholm-Operators ist der Operator

,

wobei der Identitätsoperator und ein kompakter Operator ist. Auf dem Banachraum der stetigen Funktionen beziehungsweise auf dem der quadratintegrierbaren Funktionen ist der Operator von der Form

,

wobei der Integralkern eine stetige beziehungsweise quadratintegrierbare Funktion ist. Dieser Fredholm-Operator hat den Index 0. In der Fredholm-Theorie werden Gleichungen des Typs untersucht. Die Fredholm-Alternative als ein zentrales Resultat der Fredholm-Theorie gibt eine Antwort, unter welchen Bedingungen Gleichungen diesen Typs lösbar sind.

Laplace-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Laplace-Operator

Der Laplace-Operator

definiert auf dem Sobolev-Raum der zweimal schwach differenzierbaren quadratische integrierbaren Funktionen ist ein stetiger elliptischer Operator. Daher ist er auch ein Fredholm-Operator. Da er auch selbstadjungiert ist, hat er den Fredholm-Index 0.

Betrachtet man den Laplace-Operator im distributionellen Sinn auf , ist er kein stetiger Operator und somit kein Fredholm-Operator bezüglich der obigen Definition. Im Sinne von unbeschränkten Operatoren, wie dies später im Artikel noch erklärt wird, ist er allerdings weiterhin ein Fredholm-Operator.

Elliptischer Operator auf einer Mannigfaltigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kreis (als gedacht) kann als eindimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit verstanden werden. Ein stetiger elliptischer Differentialoperator erster Ordnung auf den glatten Funktionen vom Kreis in die komplexen Zahlen ist durch

für eine komplexe Konstante gegeben. Der Kern von ist der von den Termen der Form aufgespannte Raum, falls , und 0 in den anderen Fällen. Der Kern des adjungierten Operators ist ein ähnlicher Raum, nur wird durch sein komplex-konjugiertes ersetzt. Der Fredholm-Operator hat damit den Index 0. Dieses Beispiel zeigt, dass Kern und Kokern eines elliptischen Operators unstetig springen können, falls man den elliptischen Operator so variiert, dass die oben erwähnten Terme erfasst werden. Da die Sprünge in den Dimensionen von Kern und Kokern aber gleich sind, ändert sich ihre Differenz, der Index, stetig.

Unbeschränkte Fredholm-Operatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bis jetzt wurde in diesem Artikel der Fredholm-Operator nur als spezieller beschränkter Operator betrachtet. Beispielsweise in der Indextheorie elliptischer Operatoren über nicht kompakten Räumen ist es jedoch sinnvoll die Definition des Fredholm-Operators auf unbeschränkte Operatoren zu erweitern. Im Gegensatz zum beschränkten Fall, müssen hier einige weitere Eigenschaften gefordert werden, die der beschränkte Fredholm-Operator automatisch erfüllt.

Seien und zwei Banachräume. Ein (unbeschränkter) Operator wird Fredholm-Operator genannt, falls

  • abgeschlossen ist,
  • der Operator dicht definiert ist,
  • die Dimension des Kerns endlich ist,
  • das Bild abgeschlossen ist und
  • die Kodimension von in endlich ist.

Der Fredholm-Index ist wie im Fall beschränkter Operatoren durch

definiert.

Ein unbeschränkter Fredholm-Operator beziehungsweise sein Index erfüllen ebenfalls die meisten der oben angeführten Eigenschaften. So ist die Verkettung unbeschränkter Fredholm-Operatoren wieder ein Fredholm-Operator, für den obige Indexformel gilt, der Satz von Atkinson gilt ebenfalls und der Fredholm-Index unbeschränkter Fredholm-Operatoren ist auch invariant unter kompakten Störungen. Eine Verbindung zur Calkin-Algebra besteht für unbeschränkte Fredholm-Operatoren allerdings nicht.[7]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 159.
  2. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 156.
  3. Masoud Khalkhali: Basic Noncommutative Geometry. 2. Auflage. EMS, 2013, ISBN 978-3-03719-128-6, S. 201.
  4. Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Springer/Vieweg, 2005, ISBN 978-3-322-80243-9, S. 164–165.
  5. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 171, 293–294.
  6. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 231.
  7. Martin Schechter: Fredholm Operators and the Essential Spectrum. (Online)