Fundamentalklasse

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In der Mathematik bezeichnet man als Fundamentalklasse einen Erzeuger der höchsten Homologiegruppe einer Mannigfaltigkeit. Im Falle triangulierter Mannigfaltigkeiten kann man die Fundamentalklasse durch die formale Summe der kohärent orientierten Simplizes der Triangulierung repräsentieren.

Zykel, welche die Fundamentalklasse repräsentieren (d. h., deren Homologieklasse die Fundamentalklasse ist), werden als Fundamentalzykel bezeichnet.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine geschlossene orientierbare -dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist

und man bezeichnet einen der beiden Erzeuger als Fundamentalklasse .

Mannigfaltigkeiten mit Rand[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine kompakte, orientierbare -dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist

und man bezeichnet einen der beiden Erzeuger als relative Fundamentalklasse .

Nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine geschlossene, nicht notwendig orientierbare, -dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist

und man bezeichnet den Erzeuger (d. h. das nichttriviale Element) als -Fundamentalklasse.

Lokale Orientierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine -dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gilt

für jeden Punkt . Falls geschlossen und orientierbar ist, dann ist

ein Isomorphismus und man bezeichnet das Bild der Fundamentalklasse unter als lokale Orientierung in .

Nichtkompakte Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine orientierbare -dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gibt es zu jeder kompakten Teilmenge eine Homologieklasse

so dass jede Inklusion kompakter Teilmengen die Klasse auf abbildet.

Kronecker-Paarung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die kanonische Kronecker-Paarung zwischen Homologie und Kohomologie lässt sich im Fall -dimensionaler, geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten wie folgt interpretieren. Sei die Kohomologieklasse in de-Rham-Kohomologie repräsentiert durch die Differentialform , dann ist

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

M. J. Greenberg, J. R. Harper: Algebraic topology, Benjamin/Cummings Publishing Co. Inc. Advanced Book Program, 1981

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fundamental class (Encyclopedia of Mathematics)