Geodätischer metrischer Raum

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Der geodätische metrische Raum ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt Räume, in denen man zu je zwei Punkten eine kürzeste Verbindungskurve finden kann. Der Begriff verallgemeinert das Konzept der vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten auf allgemeine metrische Räume. In der Literatur finden sich auch die Bezeichnungen Längenraum oder innerer metrischer Raum.

Geodäten in metrischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein metrischer Raum. Ein Weg ist eine stetige Abbildung , wobei ein abgeschlossenes Intervall im ist. Die Länge der Bildkurve ist definiert als

.

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Ungleichung . Der Weg heißt minimierende Geodäte, wenn Gleichheit

gilt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein metrischer Raum heißt geodätisch, wenn es zu je zwei Punkten eine minimierende Geodäte mit

gibt.

Beispiele nicht-geodätischer metrischer Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

die punktierte komplexe Ebene mit der Metrik

für .

Dann ist zum Beispiel oder , in beiden Fällen lassen sich die Punktepaare aber nicht durch Kurven der Länge 2 verbinden.

Allgemeiner folgt aus dem Satz von Hopf-Rinow, dass eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit dann und nur dann ein geodätischer metrischer Raum ist, wenn sich alle Geodäten auf ganz fortsetzen lassen.

Satz von Hopf-Rinow[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit definiert man eine Metrik durch

für . Dabei durchläuft alle stückweise differenzierbaren Wege, die und verbinden, und bezeichnet die Riemannsche Länge von , die gemäß

definiert ist. Damit wird die Riemannsche Mannigfaltigkeit zu einem metrischen Raum .

Aus dem Satz von Hopf-Rinow folgt:

  • ist ein geodätischer metrischer Raum

genau dann, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]