Geodätischer metrischer Raum

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der geodätische metrische Raum ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt Räume, in denen man zu je zwei Punkten eine kürzeste Verbindungskurve finden kann. Der Begriff verallgemeinert das Konzept der vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten auf allgemeine metrische Räume. In der Literatur finden sich auch die Bezeichnungen Längenraum oder innerer metrischer Raum.

Geodäten in metrischen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein metrischer Raum. Eine Kurve ist eine stetige Abbildung , wobei ein abgeschlossenes Intervall im ist. Die Länge der Kurve ist definiert als

.

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Ungleichung . Die Kurve heißt minimierende Geodäte, wenn Gleichheit

gilt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein metrischer Raum heißt geodätisch, wenn es zu je zwei Punkten eine minimierende Geodäte mit

gibt.

Satz von Hopf-Rinow[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Satz von Hopf-Rinow

Für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit definiert man eine Metrik durch

für . Dabei durchläuft alle stückweise differenzierbaren Kurven, die und verbinden, und bezeichnet die Riemannsche Länge von , die gemäß

definiert ist. Damit wird die Riemannsche Mannigfaltigkeit zu einem metrischen Raum .

Aus dem Satz von Hopf-Rinow folgt:

  • ist ein geodätischer metrischer Raum

genau dann, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Gegenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

die punktierte komplexe Ebene mit der Metrik

für .

Dann ist zum Beispiel oder , in beiden Fällen lassen sich die Punktepaare aber nicht durch Kurven der Länge 2 verbinden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]