Geordie Williamson

Geordie Williamson, Oberwolfach 2012

Geordie Williamson (* 1981 in Bowral, Australien) ist ein australischer Mathematiker.

Leben und Werk

Williamson studierte ab 2000 an der University of Sydney mit dem Bachelor-Abschluss 2003 und danach an der Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, an der er 2008 bei Wolfgang Soergel promoviert wurde (Singular Soergel Bimodules). Als Post-Doktorand war er an der Universität Oxford (St. Peter´s College) und ab 2011 war er am Max-Planck-Institut für Mathematik (Advanced Researcher mit einer Forschungsprofessur).

Williamson befasst sich mit geometrischer Darstellungstheorie von Gruppen. Mit Ben Elias gelang ihm der erste rein algebraische Beweis und eine Vereinfachung der Theorie der Kazhdan-Lusztig-Vermutungen (zuvor 1981 bewiesen von Jean-Luc Brylinski und Masaki Kashiwara, Alexander Beilinson und Joseph Bernstein). Dazu bauten sie auf Arbeiten von Wolfgang Soergel auf und entwickelten eine rein algebraische Hodge-Theorie von Soergel-Bimodulen über Polynomringen. In diesem Zusammenhang gelang ihnen auch der Beweis der lange offenen Positivitätsvermutung für die Koeffizienten der Kazhdan-Lusztig-Polynome für Coxetergruppen. Für Weylgruppen (spezielle Coxetergruppen, die mit Liegruppen verbunden sind) gelang dies schon David Kazhdan und George Lusztig, indem sie die Polynome als Invarianten (lokale Schnittkohomologie) von Singularitäten von Schubert-Varietäten interpretierten. Elias und Williamson gelang es diesen Beweisweg auch für allgemeinere Spiegelungsgruppen (Coxetergruppen) zu beschreiten, obwohl es dort im Gegensatz zum Fall der Weylgruppen keine geometrische Interpretation gibt.

Außerdem ist er für einige Gegenbeispiele bekannt. Lusztig vermutete 1980 eine Charakterformel für einfachen Module reduktiver Gruppen über Körpern endlicher Charakteristik $p$. Die Vermutung wurde 1994 von H. H. Andersen, Jens Carsten Jantzen und Soergel für genügend große gruppenspezifische Charakteristiken bewiesen (ohne explizite Schranke) und später von Peter Fiebig für eine sehr hohe explizit angegebene Schranke. Williamson fand mehrere unendlich große Familien von Gegenbeispielen zu den allgemein vermuteten Gültigkeitsschranken von Lusztigs Vermutung. Er fand auch Gegenbeispiele zu einer Vermutung von Gordon James von 1990 über Symmetrische Gruppen. Seine Arbeit lieferte auch neue Sichtweisen auf die jeweiligen Vermutungen.

2016 erhielt er den Chevalley Preis der AMS und den Clay Research Award. Er ist eingeladener Sprecher auf dem Europäischen Mathematikerkongress in Berlin 2016 (Shadows of Hodge theory in representation theory). 2016 erhielt er den EMS-Preis, für 2017 wurde ihm der New Horizons in Mathematics Prize zugesprochen.

Schriften

• mit Ben Elias: The Hodge Theory of Soergel bimodules, Annals of Mathematics, Band 180, 2014, 1089-1136, Arxiv
• Schubert calculus and torsion explosion, (mit Appendix von A. Kontorovich, P. McNamara, G. Williamson), Preprint 2013, Arxiv
• Modular intersection cohomology complexes on flag varieties, Mathematische Zeitschrift, Band 272, 2012, S. 697-727 (mit Appendix von Tom Braden), Arxiv
• On an analogy of the James conjecture, Representation Theory, Band 18, 2014, S. 15-27, Arxiv
• mit Ben Elias: Kazhdan-Lusztig conjectures and shadows of Hodge theory, Preprint 2014, Arxiv
• mit Daniel Juteau, Carl Mautner: Parity sheaves, Journal of the AMS, Band 27, 2014, S. 1169-2012, Arxiv

Weblinks

• Homepage am MPI
• Notices AMS, 2016, Nr.4, Chevalley-Preis für Williamson, pdf