Charakteristik (Algebra)

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Die Charakteristik ist in der Algebra eine Kennzahl eines Ringes oder Körpers. Sie gibt die kleinste Anzahl der benötigten Schritte an, in denen man das multiplikative neutrale Element (1) eines Körpers oder Rings addieren muss, um das additive neutrale Element (0) zu erhalten. Ist dies nicht möglich, so ist die Charakteristik 0. Davon zu unterscheiden ist der mathematische Begriff Charakter.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Charakteristik eines unitären Ringes ist die kleinste natürliche Zahl , für die in der Arithmetik des Ringes die n-fache Summe des Einselementes gleich dem Nullelement wird, also

Ist jede endliche Summe von Einsen ungleich Null (wie das zum Beispiel bei den reellen Zahlen der Fall ist), dann wird dem Ring definitionsgemäß die Charakteristik zugeordnet.

Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von ist .

Alternative Definitionsmöglichkeiten sind:

  • Die Charakteristik des unitären Rings ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus
.
  • Die Charakteristik des unitären Rings ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl , für die einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring ist. (Beachte, dass ist.)

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obige Definitionen erklären insbesondere auch die Charakteristik von Körpern, denn jeder Körper ist ein unitärer Ring.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder unitäre Teilring eines unitären Rings hat dieselbe Charakteristik wie .

Gibt es einen Ringhomomorphismus zwischen zwei unitären Ringen und , so ist die Charakteristik von ein Teiler der Charakteristik von .

Für jeden Integritätsring (und insbesondere jeden Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl. Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.

Ist ein kommutativer unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik p, dann gilt für alle . Die Abbildung ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobeniushomomorphismus genannt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Restklassenring hat die Charakteristik n.

Für ein irreduzibles Polynom g vom Grad n über dem Restklassenkörper ist der Faktorring ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper ), der enthält und demnach die Charakteristik p hat.

Bei Körpern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da der Körper der komplexen Zahlen die rationalen Zahlen enthält, ist auch seine Charakteristik 0.

Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen Funktionen über oder der algebraische Abschluss von .

Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik ist eine Potenz von . Denn in diesem Fall enthält er den Teilkörper und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von ist.

Daraus folgt, dass jeder endliche Körper als Mächtigkeit eine Primzahlpotenz hat, da dieser dann ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper sein muss: Sei die Ordnung des endlichen Teilkörpers und die Dimension des ursprünglichen Körpers als Vektorraum über dem Teilkörper. Dann hat dieser Vektorraum viele Elemente, was eine p-Potenz ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]