Givens-Rotation

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In der linearen Algebra ist eine Givens-Rotation (nach Wallace Givens) eine Drehung in einer Ebene, die durch zwei Koordinaten-Achsen aufgespannt wird. Manchmal wird dies auch als Jacobi-Rotation (nach Carl Gustav Jacobi) bezeichnet.

Die Anwendung als Methode in der numerischen linearen Algebra zum Beispiel bei der Bestimmung von Eigenwerten und QR-Zerlegung stammt aus den 1950er Jahren, als Givens am Oak Ridge National Laboratory war. Solche Drehungen werden schon im älteren Jacobi-Verfahren (1846) benutzt, praktikabel wurden sie allerdings erst mit dem Aufkommen von Computern.

Beschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Transformation lässt sich durch eine orthogonale Matrix der Form

beschreiben, wobei und in der -ten und -ten Zeile und Spalte erscheinen. Eine solche Matrix heißt Givens-Matrix. Formaler ausgedrückt:

Das Matrix-Vektor-Produkt stellt eine Drehung des Vektors um einen Winkel in der -Ebene dar, diese wird Givens-Rotation genannt.

Die Hauptanwendung der Givens-Rotation liegt in der numerischen linearen Algebra, um Nulleinträge in Vektoren und Matrizen zu erzeugen. Dieser Effekt kann beispielsweise bei der Berechnung der QR-Zerlegung einer Matrix ausgenutzt werden. Außerdem werden solche Drehmatrizen beim Jacobi-Verfahren benutzt.

QR-Zerlegung mittels Givens-Rotationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Verfahren ist stabil. Pivotisierung ist nicht erforderlich.
  • Flexible Berücksichtigung von schon vorhandenen 0-Einträgen in strukturierten (insbesondere dünnbesetzten) Matrizen.
  • Die Idee besteht darin, sukzessiv die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen auf Null zu setzen, indem man die Matrix von links mit Givens-Rotationen multipliziert. Zunächst bearbeitet man die erste Spalte von oben nach unten und dann nacheinander die anderen Spalten ebenfalls von oben nach unten.
  • Man muss also Matrizenmultiplikationen durchführen. Da sich jeweils pro Multiplikation höchstens 2n Werte verändern, beträgt der Aufwand für eine QR-Zerlegung einer vollbesetzten m×n-Matrix insgesamt . Für dünn besetzte Matrizen ist der Aufwand allerdings erheblich niedriger.
  • Will man den Eintrag an der Matrixposition zu null transformieren, so setzt man und , wobei .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

mit

,

Man erhält schließlich die QR-Zerlegung:

Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Berechnung einer QR-Zerlegung einer Matrix geht man wie folgt vor.

Drehe die erste Spalte der Matrix auf einen Vektor mit einer Null als letzten Eintrag:

wobei für wie oben beschrieben gewählt werden müssen:

Nun geht man analog mit den nächsten Einträgen der ersten Spalte vor und speichert sich alle Umformungsmatrizen in der Matrix :

Dabei muss unbedingt darauf geachtet werden, dass sich die einzelnen Einträge der Matrizen nicht mehr auf die ursprüngliche Matrix beziehen, sondern auf die schon umgeformte Matrix: .

Nun muss man die folgenden Spalten analog bearbeiten und somit Umformungsmatrizen finden, welche jeweils die -te Spalte der Matrix auf einen Vektor mit Nulleinträgen unterhalb des -ten Elements transformiert.

Schlussendlich ergibt sich die QR-Zerlegung mittels:

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In drei Dimensionen gibt es 3 Givens-Rotationen:

Diese 3 zusammengesetzten Givens-Rotationen können jede Drehmatrix nach dem Davenport's chained rotation theorem erzeugen. Dies bedeutet, dass sie die Standardbasis des Vektorraums in jede andere Basis im Vektorraum umwandeln können.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations. 2nd Edition. The Johns Hopkins University Press, 1989.
  • Martin Hermann: Numerische Mathematik, Band 1: Algebraische Probleme. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage, Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020, ISBN 978-3-11-065665-7.
  • W. Dahmen, A. Reusken: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006, ISBN 3-540-25544-3