Harshad-Zahl

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Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl ist eine natürliche Zahl, die durch ihre Quersumme, das heißt die Summe ihrer Ziffern (im Dezimalsystem mit Basis 10), teilbar ist.

Der Begriff Harshad-Zahl wurde vom indischen Mathematiker D. R. Kaprekar eingeführt und ist vom Sanskrit-Wort harsha („Freude“) abgeleitet, während Niven-Zahl auf den Mathematiker Ivan M. Niven zurückgeht, der diese Zahlen an einem Kongress im Jahre 1977 beschrieb.[1]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

777 ist durch seine Ziffernsumme teilbar und ist somit eine Harshad-Zahl: .

Die ersten Harshad-Zahlen (im Dezimalsystem) sind:

(Folge A005349 in OEIS)

(alle Harshad-Zahlen im Dezimalsystem bis 100000 siehe Diskussion:Harshad-Zahl)

Die kleinsten , sodass eine Harshad-Zahl ist, sind die folgenden:

(Folge A144261 in OEIS)
d. h.: sind Harshad-Zahlen

Die kleinsten , sodass keine Harshad-Zahl ist, sind die folgenden:

(Folge A144262 in OEIS)
d. h.: sind keine Harshad-Zahlen

n-Harshad-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Harshad-Zahlen nennt man auch n-Harshad-Zahlen (oder n-Niven-Zahlen), wenn man sie in der Basis n betrachtet.

Die ersten n-Harshad-Zahlen in der Basis 12 sind (wobei aus Ermangelung an weiteren Ziffern gesetzt wird):

Beispiel:

ist keine n-Harshad Zahl für die Basis 10:
hat die Ziffernsumme , es ist aber kein Teiler von .
ist aber eine n-Harshad Zahl für die Basis 12:
ist im Dezimalsystem die Zahl . Die Ziffernsumme von ist (im Dezimalsystem also ). Es ist tatsächlich ein Teiler von (im Dezimalsystem ).

Die kleinsten , sodass eine n-Harshad-Zahl zur Basis 12 ist, sind die folgenden (im Dezimalsystem geschrieben):

Die kleinsten , sodass keine n-Harshad-Zahl zur Basis 12 ist, sind die folgenden (im Dezimalsystem geschrieben):

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das oben angegebene Beispiel mit der Zahl 777 lässt sich auf alle 3-stelligen natürlichen Zahlen desselben Typs verallgemeinern:

  • Jede natürliche Zahl der Form , wobei eine beliebige Ziffer von 1 bis 9 darstellen kann, ist im Dezimalsystem eine Harshad-Zahl (lässt sich also durch ihre Quersumme teilen).
Der Beweis ergibt sich aus folgender Überlegung:
Nun ist aber die Quersumme von .
Somit ist jede natürliche Zahl der Form das 37-fache ihrer Quersumme, also eine Harshad-Zahl. q. e. d.
  • Alle ganzen Zahlen zwischen 0 und der Basis n sind n-Harshad-Zahlen.
  • Im Dezimalsystem gibt es keine 21 aufeinander folgende Harshad-Zahlen.[2][3]
  • Im Dezimalsystem gibt es unendlich viele 20 aufeinander folgende Harshad-Zahlen. Die kleinste davon ist größer als .[4]
  • Mit Basis n gibt es keine 2n+1 aufeinander folgende n-Harshad-Zahlen (Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft).[3][6]
  • Mit Basis n gibt es unendlich viele 2n aufeinander folgende Harshad-Zahlen (Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft).[3][6][7]
  • Sei die Anzahl der Harshad-Zahlen und sei . Dann gilt:[8]
Beispiel:
Es gibt unter 100000 genau 11872 Harshad-Zahlen. Somit ist und . Und tatsächlich gilt

Nivenmorphe Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine nivenmorphe Zahl (oder harshadmorphe Zahl) für eine Basis n ist eine ganze Zahl t, so dass eine Harshad-Zahl N existiert, dessen Ziffernsumme t ist, und t, geschrieben in dieser Basis n, die Zahl N in dieser Basis n beschreibt.

Beispiel 1:

ist eine nivenmorphe Zahl für die Basis 10:
ist eine Harshad-Zahl (zur Basis n=10). Die Ziffernsumme von ist . Es ist tatsächlich ein Teiler von .

Beispiel 2:

ist eine nivenmorphe Zahl für die Basis 12:
ist eine Harshad-Zahl (zur Basis n=12) und ist im Dezimalsystem die Zahl . Die Ziffernsumme von ist (im Dezimalsystem also 11). Es ist tatsächlich ein Teiler von (im Dezimalsystem ).

Die nächste Liste gibt die jeweils kleinste Zahl (im Dezimalsystem) an, deren Ziffernsumme n ist und die durch n teilbar ist (falls es keine solche Zahl gibt, wird 0 angegeben):

(Folge A187924 in OEIS)
Zum Beispiel hat die Ziffernsumme und tatsächlich ist ein Teiler von . Somit ist eine nivenmorphe Zahl zur Basis 10.

Eigenschaften:

  • Alle positiven ganzen Zahlen mit Basis 10 sind nivenmorphe Zahlen, außer der Zahl 11.[9]
  • Alle positiven geraden ganzen Zahlen mit Basis n>1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis n, außer n+1.
  • Alle positiven ungeraden ganzen Zahlen mit Basis n>1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis n.

Multiple Harshad-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine multiple Harshad-Zahl ist eine Harshad-Zahl, welche, durch seine Ziffernsumme dividiert, wieder eine (andere) Harshad-Zahl ergibt.[10]

Beispiel 1: ist eine multiple Harshad-Zahl, weil , , und ebenfalls Harshad-Zahlen sind. Man bezeichnet diese Zahl auch als MHN-4, man kann also vier (verschiedene) weitere Harshad-Zahlen daraus machen.

Beispiel 2: ist eine MHN-12, man kann also 12 verschiedene weitere Harshad-Zahlen durch Division mit ihren jeweiligen Ziffernsummen (die erste Ziffernsumme ist ) finden.

Beispiel 3: ist eine weitere, kleinere MHN-12.

Beispiel 4: ist eine MHN-(n+2).

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory II. Springer-Verlag, S. 381 und 451, abgerufen am 27. Mai 2018 (englisch).
  2. Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. Fibonacci Quarterly, S. 146–151, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch).
  3. a b c József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory II. Springer-Verlag, S. 382, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch).
  4. Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. Fibonacci Quarterly, S. 148, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch).
  5. primepuzzles.net: Problems & Puzzles: Puzzle 129. Abgerufen am 30. Mai 2018 (englisch).
  6. a b Helen G. Grundman: Sequences of consecutive n-Niven numbers. Fibonacci Quarterly, S. 174–175, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch).
  7. Brad Wilson: Construction of 2n consecutive n-Niven numbers. Fibonacci Quarterly, S. 122–128, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch).
  8. a b Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon: On the number of Niven numbers up to x. Fibonacci Quarterly, S. 431–440, abgerufen am 30. Mai 2018 (englisch).
  9. Sandro Boscaro: Nivenmorphic integers. In: Journal of Recreational Mathematics. Band 28, Nr. 3, 1996, S. 201–205.
  10. E. Bloem: Harshad numbers. In: Journal of Recreational Mathematics. Band 34, Nr. 2, 2005, S. 128.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Curtis Cooper, Robert E. Kennedy, On consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly, 31 2, (1993), 146–151
  • Helen G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly, 32 2, (1994), 174–175
  • Brad Wilson, Construction of 2n consecutive n-Niven numbers, Fibonacci Quarterly, 35, (1997), 122–128
  • Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly, 41 5, (November 2003), 431–440
  • Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon, I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265–275
  • Sandro Boscaro, Nivenmorphic Integers, Journal of Recreational Mathematics 28, 3 (1996–1997): 201–205
  • E. Bloem, Harshad numbers, Journal of Recreational Mathematics 34, 2 (2005): 128

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]