Fröhliche Zahl

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In der Zahlentheorie ist im Dezimalsystem eine fröhliche Zahl (vom englischen happy number) eine natürliche Zahl , die als Ausgangswert für eine bestimmte Iterationsvorschrift nach endlich vielen Iterationsschritten zu dem Zahlenwert 1 führt, ähnlich dem Collatz-Problem.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer natürlichen Zahl mit der Dezimaldarstellung , wobei und , werden die einzelnen Ziffern quadriert und addiert, d. h. es wird

berechnet. Die daraus resultierende Zahl wird genauso behandelt. Ergibt sich irgendwann als Ergebnis eine 1, dann haben alle folgenden Zahlen ebenfalls diesen Wert, und die Zahl wird als fröhlich bezeichnet.

Alternative[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die einzige Alternative ist der Übergang in den einzigen, acht Zahlen umfassenden, periodischen Zyklus

Weitere Zyklen existieren nicht.

Beweis:
Sei eine -stellige Zahl. Dann ist die Summe der Quadrate ihrer einzelnen Ziffern genau dann maximal, wenn die Zahl ausschließlich aus er besteht. Die Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern ist somit maximal .
  • Sei nun eine mindestens -stellige Zahl. Dann ist mit . Ein einzelner obiger Iterationsschritt führt dann auf eine Zahl (die Ungleichung stimmt für ). Das bedeutet, dass jede Zahl durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt jeweils auf eine kleinere Zahl führt, die weniger Stellen hat.
  • Sei nun . Die maximale Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern erhält man bei und beträgt . Das bedeutet, dass jede Zahl durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl führt, für welche gilt.
  • Sei nun . Die maximale Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern erhält man bei und beträgt . Das bedeutet, dass jede Zahl durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl führt, für welche gilt.
  • Sei nun . Die maximale Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern erhält man bei und beträgt . Das bedeutet, dass jede Zahl durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl führt, für welche gilt.
  • Sei nun . Die maximale Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern erhält man bei und beträgt . Das bedeutet, dass jede Zahl durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl führt, für welche gilt.
Zusammenfassend wurde somit gezeigt, dass jeder obige Interationsschritt für jede Zahl auf eine kleinere Zahl führt und man letztendlich bei einer Zahl landet. Wenn man alle diese wenigen Zahlen untersucht, kann man feststellen, dass sie alle entweder fröhlich sind (also in münden), oder in dem erwähnten Zykel enden.

Beispiele für fröhliche Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist eine fröhliche Zahl:
  • Es gibt 143 fröhliche Zahlen, die kleiner oder gleich 1000 sind. Diese lauten:
1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000, … (Folge A007770 in OEIS)
  • Das erste Paar aufeinanderfolgender fröhlicher Zahlen ist das Paar und . Die folgende Liste gibt Aufschluss über die kleinsten weiteren Paare aufeinanderfolgender fröhlicher Zahlen, welche kleiner als 1000 sind (wobei immer nur der kleinere der beiden angegeben wird):
31, 129, 192, 262, 301, 319, 367, 391, 565, 622, 637, 655, 912, 931, … (Folge A035502 in OEIS)
  • Das erste Tripel (also Dreiertupel) aufeinanderfolgender fröhlicher Zahlen ist das Tripel , und . Der folgenden Liste kann man die kleinsten weiteren Tripel aufeinanderfolgender fröhlicher Zahlen entnehmen, welche kleiner als 10000 sind (wobei immer nur der kleinste der drei angegeben wird):
1880, 4780, 4870, 7480, 7839, 7840, 8180, 8470, 8739, 8740, 8810, … (Folge A072494 in OEIS)
  • Die folgende Liste gibt an, wie viele fröhliche Zahlen es gibt, welche kleiner oder gleich für gibt (beginnend mit ):
3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, 1418854, 14255667, 145674808, 1492609148, 15091199357, 149121303586, 1443278000870, 13770853279685, 130660965862333, 1245219117260664, 12024696404768025, 118226055080025491, 1183229962059381238, 12005034444292997294, … (Folge A068571 in OEIS)
Beispiel: An der 7. Stelle obiger Liste steht die Zahl . Es gibt also insgesamt verschiedene fröhliche Zahlen, welche kleiner oder gleich sind.

Eigenschaften von fröhlichen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Keine einzige Zahl außer ist die Summe der Quadrate ihrer eigenen Ziffern.
Beweis:
Würde es eine solche Zahl geben, die gleichzeitig die Summe der Quadrate ihrer eigenen Ziffern ist (also ), so würde diese Zahl, wenn man obige Iterationsschritte auf sie anwendet, jedes Mal in sich selbst enden und somit weder in noch in obigem angegebenen einzig möglichen Zykel münden. Weiter oben wurde aber bewiesen, dass nur diese beiden Fälle auftreten können. Somit kann es keine Zahl geben, welche die Summe der Quadrate ihrer eigenen Ziffern ist.
  • Es gibt unendlich viele fröhliche Zahlen.
Beweis:
ist eine fröhliche Zahl. Wendet man obige Iterationen auf Zahlen der Form mit an, so erhält man als Summe der Quadrate ihrer Ziffern schon mit einem einzigen Iterationsschritt den Wert . Somit sind alle Zahlen der Form fröhlich. Weil es unendlich viele Zahlen dieser Form gibt, gibt es auch unendlich viele fröhliche Zahlen.
  • Sei eine beliebige fröhliche Zahl. Dann erhält man beliebig viele weitere fröhliche Zahlen, indem man beliebig viele Nullen einfügt oder rausnimmt, da sich an der Summe der Quadrate ihrer Ziffern nichts ändert.
  • Sei eine beliebige natürliche Zahl. Dann existiert mindestens ein -Tupel von aufeinanderfolgender fröhlichen Zahlen .
Beweis: siehe[1]
Beispiel:
Der erste Wert der kleinsten -Tupel fröhlicher Zahlen (also aufeinanderfolgende fröhliche Zahlen) für aufsteigende sind:
1, 31, 1880, 7839, 44488, 7899999999999959999999996, 7899999999999959999999996, … (Folge A055629 in OEIS)
An der fünften Stelle obiger Liste steht die Zahl . Somit sind alle Zahlen des er-Tupels fröhliche Zahlen und es ist das kleinstmögliche er-Tupel mit dieser Eigenschaft.
  • Alle Zahlen der Form oder mit sind fröhliche Zahlen.
Beweis:
Sei mit (diese Zahl beginnt mit der Ziffer , hat danach Nullen und endet mit der Ziffer ). Die Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern dieser Zahl ist . Diese Zahl ist aber fröhlich, weil ist. Somit ist fröhlich.
Sei mit (diese Zahl beginnt mit der Ziffer , hat danach Nullen und endet mit der Ziffer ). Die Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern dieser Zahl ist . Wendet man obige Iterationsschritte auf die Zahl an, erhält man:
.
Somit ist auch fröhlich.
  • Vertauscht man die Ziffern einer fröhlichen Zahl, so erhält man wieder eine fröhliche Zahl.
Beweis:
Die Vertauschung der Ziffern einer fröhlichen Zahl ändert nichts an der Summe der Quadrate ihrer (nun vertauschten) Ziffern. Die Summe bleibt gleich. Führt die Iteration der ursprünglichen Zahl auf die Zahl , so führt sie auch jetzt auf die Zahl .

Traurige (nichtfröhliche) Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine natürliche Zahl , die nicht fröhlich ist, ist eine traurige Zahl (oder auch nichtfröhliche Zahl) (vom englischen unhappy number oder sad number).

Beispiele für traurige (nichtfröhliche) Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist eine traurige (nichtfröhliche) Zahl:
  • ist eine traurige (nichtfröhliche) Zahl:
… und man endet somit im einzig möglichen Zykel wie im Beispiel direkt darüber.

Eigenschaften von traurigen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es gibt unendlich viele traurige Zahlen.
Beweis:
Sei mit . Wendet man obige Iterationen auf Zahlen dieser Form an, so erhält man als Summe der Quadrate ihrer Ziffern schon mit einem einzigen Iterationsschritt den Wert und befindet sich am Anfang des einzig möglichen Zykels, der nicht in der Zahl mündet (die Zahl ist, wie im Beispiel vorher gezeigt, eine traurige Zahl). Somit sind alle Zahlen der Form traurig. Weil es unendlich viele Zahlen dieser Form gibt, gibt es auch unendlich viele traurige Zahlen.

Fröhliche Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Primzahl , die fröhlich ist, nennt man fröhliche Primzahl.

Beispiele für fröhliche Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die kleinsten fröhlichen Primzahlen, welche kleiner oder gleich 1000 sind, sind die folgenden:
7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487, 563, 617, 653, 673, 683, 709, 739, 761, 863, 881, 907, 937, … (Folge A035497 in OEIS).
  • Die Carmichael-Zahl ist das Produkt der ersten drei fröhlichen Primzahlen.
  • Die Palindrom-Primzahl ist eine fröhliche Primzahl mit Stellen, weil die Summe der Quadrate ihrer Ziffern gleich beträgt und eine fröhliche Zahl ist. Diese Primzahl hat Paul Jobling am 26. Dezember 2005 entdeckt.[2]
  • Die momentan (Stand: 24. Dezember 2018) größte bekannte fröhliche Primzahl ist die 46. Mersenne-Primzahl und gleichzeitig sechstgrößte[3] bekannte Primzahl . Wenn man auf sie obige Iteration anwendet, erhält man:
Sie hat 12837064 Stellen und wurde am 13. Juni 2009 von Odd Magnar Strindmo entdeckt.[4] Für die Berechnung der Iteration benötigt man nur wenige Sekunden mit einem geeigneten Mathematik-Programm.

Eigenschaften von fröhlichen Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alle Primzahlen der Form oder mit sind fröhliche Primzahlen.
Beweis:
Diese Eigenschaft resultiert aus der weiter oben schon bewiesenen Eigenschaft für fröhliche Zahlen, dass alle Zahlen der Form oder mit fröhliche Zahlen sind.
  • Vertauscht man die Ziffern einer fröhlichen Primzahl, so erhält man (im Gegensatz zu fröhlichen Zahlen) nicht wieder unbedingt eine fröhliche Primzahl.
Beweis:
Es genügt ein Gegenbeispiel: Die Zahl ist eine fröhliche Primzahl (siehe obige Liste). Vertauscht man ihre Ziffern, erhält man die Zahl , welche keine Primzahl mehr ist. Sie ist zwar fröhlich, aber eben keine Primzahl mehr. (Die Zahl ist im Speziellen eine fröhliche Fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 3, was aber mit diesem Problem nichts zu tun hat.)

Fröhliche Zahlen in anderen Basen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die obige Definition von fröhlichen Zahlen stützt sich auf das Dezimalsystem, also auf die Basis . Dies kann man verallgemeinern:

Eine Zahl ist eine fröhliche Zahl zur Basis , wenn die Summe der Quadrate ihrer Basis--Ziffern nach endlich vielen Iterationsschritten in der Zahl endet.

Beispiele für fröhliche Zahlen in anderen Basen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Zahl ist eine fröhliche Zahl zur Basis , weil für die Summe der Quadrate ihrer Ziffern gilt:

Eigenschaften von fröhlichen Zahlen in anderen Basen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alle Zahlen der Form mit sind fröhliche Zahlen zu jeder Basis .
Beweis:
Sei mit . Dann ist die Summe der Quadrate ihrer Ziffern gleich und somit fröhlich.
  • Zur Basis sind alle Zahlen fröhlich.
Beweisidee:
Alle binären Zahlen, welche größer als sind, gehen nach mehrmaligen Iterationen in einen Wert über, welcher kleiner oder gleich ist. Alle binären Zahlen, welche kleiner oder gleich sind, sind aber fröhlich, wie die folgende Rechnung zeigt:
(siehe obiges Beispiel)
Alle Sequenzen enden in der Zahl , daraus folgt, dass alle Zahlen im Dualsystem (also zur Basis ) fröhlich sind. Dies macht die Basis zu einer fröhlichen Basis (vom englischen happy base).
  • Die einzigen bekannten fröhlichen Basen sind die Basen und . Es gibt keine weiteren bekannten Basen, welche kleiner als 500.000.000 sind.
Beweis: siehe[5]
  • Im Duodezimalsystem (also mit der Basis ) gibt es drei Fixpunkte, in denen obige Iterationen enden können: , und (die beiden Zahlen und sind Armstrong-Zahlen zur Basis (Folge A161949 in OEIS)). Außerdem gibt es vier Zykel (dabei sei und ):
(im Dezimalsystem , also ein Zykel der Länge )
(ein Zykel der Länge )
(ein Zykel der Länge )
(ein Zykel der Länge )
  • Im Duodezimalsystem (also mit der Basis ) gibt es keine fröhlichen Zahlen zwischen und .
  • Im Hexadezimalsystem (also mit der Basis ) gibt es nur einen Fixpunkt, in denen obige Iterationen enden können: . Außerdem gibt es auch nur einen Zykel:
(ein Zykel der Länge )
Somit ist der Sachverhalt im Hexadezimalsystem ähnlich zu dem im Dezimalsystem.

Traurige Zahlen in anderen Basen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine traurige Zahl zur Basis führt nach obigen Iterationen zu einem Zykel von Zahlen.

Eigenschaften von traurigen Zahlen in anderen Basen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine traurige Zahl zur Basis führt nach obigen Iterationen zu einem Zykel von Zahlen, welche (mit zu oben analogen Argumenten) allesamt kleiner als sind. Wenn ist, dann ist die Summe der Quadrate ihrer Basis--Ziffern kleiner oder gleich (was ist für ). Dies zeigt, dass wenn eine Iteration eine Zahl kleiner als erreicht, sie für den Rest der Sequenz immer unter bleibt und somit entweder in einen Zykel oder in die Zahl übergehen muss (im ersten Fall ist sie traurig, im zweiten Fall fröhlich).

Verallgemeinerung von fröhlichen und nichtfröhlichen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die Definition von fröhlichen Zahlen erweitern, indem man nicht die Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern einer Zahl betrachtet, sondern die -ten Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl . Die Basis sei in diesem Abschnitt immer , also immer das Dezimalsystem.

Beispiele für verallgemeinerte fröhliche und nichtfröhliche Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Zahl ist eine verallgemeinerte fröhliche Zahl für , weil gilt:
Kurz geschrieben:
  • Die Zahl ist eine verallgemeinerte nichtfröhliche Zahl für , weil gilt:
Kurz geschrieben:
Somit bleibt die Zahl schon nach drei Iterationen "stecken" und verweilt dann quasi als Konstante bei der Zahl . Weil sie somit nicht in der mündet, ist sie keine verallgemeinerte fröhliche, sondern eine verallgemeinerte nichtfröhliche Zahl.

Eigenschaften von verallgemeinerten fröhlichen und nichtfröhlichen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei (man betrachte also die Summe der 3. Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl ). Kubiert man die einzelnen Ziffern einer Zahl und summiert man diese auf, so erhält man die Summe , für welche gilt:
(Wenn man die Ziffern nicht kubiert, sondern wie ursprünglich nur quadriert, so gilt diese Aussage für und wurde zu Beginn dieses Artikels behandelt.)
Beweis:
Sei eine -stellige Zahl. Dann ist die Summe der 3. Potenzen ihrer einzelnen Ziffern genau dann maximal, wenn die Zahl ausschließlich aus er besteht. Die Summe der 3. Potenzen der einzelnen Ziffern ist somit maximal .
  • Sei nun eine mindestens -stellige Zahl. Dann ist mit . Ein einzelner obiger Iterationsschritt führt dann auf eine Zahl (die Ungleichung stimmt für ). Das bedeutet, dass jede Zahl durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt jeweils auf eine kleinere Zahl führt, die weniger Stellen hat.
  • Sei nun . Die maximale Summe der Quadrate der einzelnen Ziffern erhält man bei und beträgt . Das bedeutet, dass jede Zahl durch jeden einzelnen obigen Iterationsschritt auf eine Zahl führt, für welche gilt.
  • Sei (man betrachte also die Summe der 3. Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl ). Dann münden verallgemeinerte nichtglückliche Zahlen entweder in eine der folgenden Konstanten:
oder oder oder
oder in einen der folgenden vier Zykeln:
(Zykel der Länge )
(Zykel der Länge )
(Zykel der Länge )
(Zykel der Länge )
Beweis:
Wegen voriger Eigenschaft muss man nur alle Zahlen bis kontrollieren, wozu ein nicht besonders schneller Rechner ausreicht. Man erkennt, dass verallgemeinerte nichtfröhliche Zahlen in eine der obigen acht Möglichkeiten münden.
Für die ersten vier Konstanten gilt:
ergibt tatsächlich eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
ergibt ebenfalls tatsächlich eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
ergibt ebenfalls tatsächlich eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
ergibt ebenfalls tatsächlich eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
Für die weiteren vier Zykel gilt:
ergibt einen Zykel der Länge .
ergibt ebenfalls einen Zykel der Länge .
ergibt einen Zykel der Länge .
ergibt einen Zykel der Länge .
  • Die einzigen Zahlen, die gleich der Summe der 3. Potenzen ihrer Ziffern sind, sind die folgenden Zahlen:
0, 1, 153, 370, 371, 407 (Folge A046197 in OEIS)
Beweis:
Gäbe es noch weitere Zahlen mit dieser Eigenschaft, so würde es bei der vorigen Eigenschaft noch weitere Varianten geben, dass verallgemeinerte nichtfröhliche Zahlen in speziellen Konstanten münden. Die vorige Eigenschaft gibt aber nur die Konstanten und an. Die beiden Zahlen und haben trivialerweise diese Eigenschaft.
  • Sei (man betrachte also die Summe der 4. Potenzen der einzelnen Ziffern einer Zahl ). Dann münden verallgemeinerte nichtglückliche Zahlen entweder in eine der folgenden Konstanten:
oder oder
oder in einem der beiden folgenden Zykel:
(Zykel der Länge )
(Zykel der Länge )
Beweis:
Die Zahlen zwischen 1 und 100 kann man mit einem Computer schnell kontrollieren und stellt tatsächlich fest, dass sie in den folgenden Zahlen bzw. Zykel münden:
ergibt tatsächlich eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
ergibt ebenfalls eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
ergibt ebenfalls eine Konstante, die bei der Iteration in sich übergeht.
ergibt einen Zykel der Länge .
ergibt einen Zykel der Länge .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hao Pan: On consecutive happy numbers. (PDF) Cornell University, 2006, S. 1–8, abgerufen am 9. Dezember 2018.
  2. Chris K. Caldwell: 10150006 + 7426247·1075000 + 1. The Largest Known Primes, abgerufen am 9. Dezember 2018.
  3. Liste der größten bekannten Primzahlen (englisch). Abgerufen am 24. Dezember 2018.
  4. Chris K. Caldwell: 242643801 − 1. The Largest Known Primes, abgerufen am 14. Dezember 2018.
  5. N. J. A. Sloane: Smallest unhappy number in base n (or 0 if no unhappy numbers in the base) – Comments. OEIS, abgerufen am 9. Dezember 2018.