Hausdorff-Maß

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Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer -dimensionalen Fläche im -dimensionalen Raum (mit ) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten) -dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen“ Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des .)

Das bekannteste dieser Maße ist das -dimensionale Hausdorff-Maß , benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das -dimensionale sphärische Maß erläutert werden.

Definition des sphärischen Maßes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu einer Teilmenge des betrachtet man die Größen

für , wobei das Infimum über alle Überdeckungen von durch abzählbar viele -dimensionale Kugeln … im mit Durchmessern (Diametern) gebildet wird. Hierbei ist das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im , gleichbedeutend mit dem -dimensionalen Flächeninhalt des -dimensionalen Einheitskreises im . Der Formfaktor sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden sind gerade die -dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden -dimensionalen Ebenen im .

Das -dimensionale sphärische Maß von wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der -dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche .

Definition des Hausdorff-Maßes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Definition des Hausdorff-Maßes gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von ist definiert durch

für und , und man setzt entsprechend für

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen von durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen … des mit . Schließlich definiert man

das metrische äußere Maß , das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß .

Die Ausdrücke und sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang gegen 0 – jedoch liefern die beiden Maße und bei den rektifizierbaren (den „anständigen“) -dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

Zusammenhang mit der Flächenformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche mit einem Gebiet und einer injektiven differenzierbaren Funktion findet die Flächenformel Anwendung:

Dabei ist die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von , und bezeichnet das -dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“ die obigen Definitionen von und mit , wobei die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge des ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl mit für alle und für alle . Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen und bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
    In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
  2. Die Definition des -dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des ; das Gleiche gilt für das -dimensionale sphärische Maß. (Es wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Diameters durch die zugrundeliegende Metrik ersetzt, genauer: aus wird )

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Bd. 153). Springer 1969, ISBN 3-540-60656-4, ISSN 0072-7830 (Nachdruck ebenda 1996).