Hausdorff-Maß

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Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer m-dimensionalen Fläche im n-dimensionalen Raum \R^n (mit m < n) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des \R^n definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten) m-dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen“ Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des \R^n.)

Das bekannteste dieser Maße ist das m-dimensionale Hausdorff-Maß \mathcal{H}^m, benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das m-dimensionale sphärische Maß \mathcal{S}^m erläutert werden.

Definition des sphärischen Maßes[Bearbeiten]

Zu einer Teilmenge A des \R^n betrachtet man die Größen

\mathcal{S}^m_\varepsilon(A)=\inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \alpha(m)\left(\frac{1}{2}\,\operatorname{diam}(B_i)\right)^m\right|\left.A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i;\;B_i\text{ Kugel im }\R^n;\; \operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon\right\}

für \varepsilon>0, wobei das Infimum über alle Überdeckungen (B_i)_{i\in\N} von A durch abzählbar viele m-dimensionale Kugeln B_1,B_2,… im \R^n mit Durchmessern (Diametern) \operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon gebildet wird. Hierbei ist \alpha(m) das Volumen der m-dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im \R^m, gleichbedeutend mit dem m-dimensionalen Flächeninhalt des m-dimensionalen Einheitskreises im \R^n. Der Formfaktor \alpha(m) sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden \alpha(m)(\operatorname{diam}(B_i)/2)^m sind gerade die m-dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln B_i mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden m-dimensionalen Ebenen im \R^n.

Das m-dimensionale sphärische Maß von A wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

\mathcal{S}^m(A)=\lim_{\varepsilon\to0}\mathcal{S}^m_\varepsilon(A).

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der m-dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche A.

Definition des Hausdorff-Maßes[Bearbeiten]

Zur Definition des Hausdorff-Maßes \mathcal{H}^m gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des \R^n bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von B\subset\R^m ist definiert durch

\operatorname{diam}(B)=\sup\,\left\{|x-y|\,:\,x,y\in B\right\}

für B\ne\O und \operatorname{diam}(\O)=0, und man setzt entsprechend für  A \subset \R^n

\mathcal{H}^m_\varepsilon(A)=\inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \alpha(m)\left(\frac{1}{2}\operatorname{diam}(B_i)\right)^m\right|\left.A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i;\;B_i\subset\R^n;\; \operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon\right\},

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen (B_i)_{i\in\N} von A durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen B_1,B_2,… des \R^n mit \operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon. Schließlich definiert man

\mathcal{H}^m(A)=\lim_{\varepsilon\to0}\mathcal{H}^m_\varepsilon(A)

das metrische äußere Maß \mathcal{H}^m , das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß \mathcal{H}^m .

Die Ausdrücke \mathcal{S}^m_\varepsilon und \mathcal{H}^m_\varepsilon sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang \varepsilon gegen 0 – jedoch liefern die beiden Maße \mathcal{S}^m und \mathcal{H}^m bei den rektifizierbaren (den „anständigen“) m-dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

\mathcal{H}^m\le \mathcal{S}^m\le[2n/(n+1)]^{m/2}\mathcal{H}^m.

Zusammenhang mit der Flächenformel[Bearbeiten]

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche A=f(G) mit einem Gebiet G\subset\mathbb R^m und einer injektiven differenzierbaren Funktion f:G\to\mathbb R^n findet die Flächenformel Anwendung:

\mathcal{H}^m(A)=\int_G\sqrt{\det(Df\,^tDf)}\,\mathrm{d}\mathcal{L}^m.

Dabei ist \sqrt{\det(Df\,^tDf)} die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von f, und \mathcal{L}^m bezeichnet das m-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im \R^m.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

  1. Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“ m die obigen Definitionen von \mathcal{S}^m und \mathcal{H}^m mit \alpha(m)=\Gamma(1/2)^m/\Gamma(1+m/2), wobei \Gamma die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge A des \R^n ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl m mit \mathcal{H}^s(A)=\infty für alle s < m und \mathcal{H}^s(A)=0 für alle s > m. Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen \mathcal{H}^m und \mathcal{S}^m bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
    In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des \R^n mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
  2. Die Definition des m-dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des \R^n; das Gleiche gilt für das m-dimensionale sphärische Maß. (Es wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Diameters durch die zugrundeliegende Metrik d ersetzt, genauer: aus |x-y| wird d(x,y).)

Literatur[Bearbeiten]

  •  Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Bd. 153). Springer, Berlin u. a 1969, ISBN 3-540-60656-4, ISSN 0072-7830 (Nachdruck ebenda 1996).